Файл: Контрольная работа по дисциплине Математика Студент гр. Ат а. П. Мальцев 2022.pdf

Задача 3. Вычислить циркуляцию вектора i⃗ = o , w⃗ + p , x⃗ = −4 ∙ + 5 ∙ w⃗ + 4 ∙ − 5 ∙ вдоль треугольного контура с вершинами
A(-6;7), B(3;9), C(3;7) непосредственно и с помощью формулы Грина. Сделать чертеж. Решение Заданный контур γ, составленный сторонами треугольника АВС, изображен на рисунке
1. Рисунок 1 – Контур γ Вычислим циркуляцию непосредственно
( , )
( , Ц x y dx Y x y Разобьем этот интеграл по замкнутому контуру γ натри интеграла, соответствующих отрезкам BA, CB, AC: Ц =
−4 ∙ + 5 ∙
+ 4 ∙ − 5 ∙
z
{
+
+
−4 ∙ + 5 ∙
+ 4 ∙ − 5 ∙
{
\
+
+
−4 ∙ + 5 ∙
+ 4 ∙ − 5 ∙
\
z

Найдем уравнение стороны AB, используя уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
−
z
{
−
z
=
−
z
{
−
z
;
− −6 3 − −6 =
− 7 9 − 7 ; =
2 9 ∙ +
75 9 Учтем, что на отрезке
BA
=
1
∙ +
!
1
, dy = y’dx = 2/9∙dx, x изменяется от 3 до -6;
CB
= 3
, dx = 0, y изменяется от 7 до 9;
AC
= 7
, dy = y’dx = 0∙dx, x изменяется от -6 до 3. Тогда Ц =
|−4 ∙ + 5 ∙
2 9 ∙ +
75 9 }
+ |4 ∙ − 5 ∙
2 9 ∙ +
75 9 } ∙
2 9
+
+ −4 ∙ 3 + 5 ∙ ∙ 0 + 4 ∙ 3 − 5 ∙
1
!
+
+
−4 ∙ + 5 ∙ 7
+ 4 ∙ − 5 ∙ 7 ∙ 0
=
= −
91 81 ∙
+
875 27 ∙
+ −
5 2 ∙
+ 12 ∙
!
1
+ −2 ∙
+ 35 ∙ | =
= |−
91 81 ∙ −6 +
875 27 ∙ −6 − −
91 81 ∙ 3 +
875 27 ∙ 3 } +
+ |−
5 2 ∙ 9 + 12 ∙ 9 − −
5 2 ∙ 7 + 12 ∙ 7 } +
+ −2 ∙ 3 + 35 ∙ 3 − −2 ∙ −6 + 35 ∙ −6
= −322 − 56 + 369 = Вычислим циркуляцию по формуле Грина
( , )
( , Ц x y dx Y x y Находим частные производные ap ,
a
=
a 4 ∙ − 5 ∙
a
= 4;
ao ,
a
=
a −4 ∙ + 5 ∙
a
= По формуле Грина имеем Ц = / 4 − 5 0
= −1 ∙ .
∆z{\
= −1 ∙
1 2 ∙ qU ∙ •U = −1 ∙
1 2 ∙ 9 ∙ 2 = −9.

Задача 4. Проверить, будет ли векторное поле i⃗ = −8 ∙ ∙ C + w⃗ + −2 ∙ ∙ − 9 ∙ ∙ C + 3 ∙ ∙ C x⃗ + 2 ∙
+ 5 ∙
− 5 ∙ ∙ C потенциальными соленоидальным. В случае потенциальности поля i⃗
найти его потенциал
U = U(x,y,z). Решение Векторное поле i⃗
, заданное в пространственной области Т потенциально, если выполняется условие rot i⃗ = Вычисляем ротор векторного поля rot i⃗ =
aƒ
a −
ap aC w⃗ +
ao aC −
aƒ
a x⃗ +
ap a −
ao a €
•⃗ =
= L
a 2 ∙
+ 5 ∙
− 5 ∙ ∙ C
a
−
a −2 ∙ ∙ − 9 ∙ ∙ C + 3 ∙ ∙ C
aC
M w⃗ +
+ L
a −8 ∙ ∙ C +
aC
−
a 2 ∙
+ 5 ∙
− 5 ∙ ∙ C
a
M x⃗ +
+ L
a −2 ∙ ∙ − 9 ∙ ∙ C + 3 ∙ ∙ C
a
−
a −8 ∙ ∙ C +
a
M €•⃗ =
= 10 ∙ − 5 ∙ C + 9 ∙ − 3 ∙ w⃗ + −8 ∙ − 4 ∙ x⃗ + −2 ∙ − 9 ∙ C €•⃗ ≠ Условие потенциальности поляне выполняется, значит, полене потенциально. Векторное поле i⃗
является соленоидальным, если div i⃗ = Вычисляем дивергенцию поля i⃗
: div i⃗ =
ao , , C
a
+
ap , , C
a
+
aƒ , , C
aC
=
=
a −8 ∙ ∙ C +
a
+
a −2 ∙ ∙ − 9 ∙ ∙ C + 3 ∙ ∙ C
a
+
a 2 ∙
+ 5 ∙
− 5 ∙ ∙ C
aC
=
= −8 ∙ C + 1 − 2 ∙ + 3 ∙ C − 5 ∙ ≠ Дивергенция неравна нулю, значит, полене является соленоидальным.

Контрольная работа 10 Числовые и степенные ряды Задача 1. Задан числовой ряд
13 11
+
+
17 15 +
21 19 +
25 23
H
+ Составить формулу общего члена ряда и исследовать его на сходимость. Решение. Члены заданного ряда
‡
+
=
13 11
+
=
4 ∙ 1 + 9 4 ∙ 1 + 7
+
;
‡ =
17 15 =
4 ∙ 2 + 9 4 ∙ 2 + 7 ;
‡ =
21 19 =
4 ∙ 3 + 9 4 ∙ 3 + 7 ;
‡
H
=
25 23
H
=
4 ∙ 4 + 9 4 ∙ 4 + Формула общего члена ряда
‡
ˆ
=
4 ∙ ‰ + 9 4 ∙ ‰ + Необходимый признак сходимости числового ряда lim
ˆ→Œ
‡
ˆ
= Так как lim
ˆ→Œ
4 ∙ ‰ + 9 4 ∙ ‰ + 7
ˆ
= •1
Œ
Ž = lim
ˆ→Œ
1 +
2 4 ∙ ‰ + 7
ˆ
= lim
ˆ→Œ
1 +
2 4 ∙ ‰ + 7
ˆ∙H∙ˆ2!∙H∙ˆ2!
=
= lim
ˆ→Œ
5 1 +
2 4 ∙ ‰ + 7
H∙ˆ2!
6
∙ˆ
H∙ˆ2!
= 5 lim
ˆ→Œ
1 +
2 4 ∙ ‰ + 7
H∙ˆ2!
6
••‘
’→“
∙ˆ
H∙ˆ2!
= ”
••‘
’→“
∙ˆ
H∙ˆ2!
= ”
+
≠ необходимый признак не выполняется, то данный ряд расходится.

Задача 2. Разложить функцию
=
∙ ln
5 6 ∙ + вряд Маклорена и указать область сходимости полученного ряда. Решение. Используем известное разложение вряд Маклорена ln 1 +
= − 2 + 3 −
H
4 + ⋯ + −1
ˆ
ˆ2+
‰ + 1 + ⋯ −1; Полагая 5/6·x вместо x, получаем ряд
∙ ln 1 +
5 6 ∙
=
=
∙
5 6 ∙ −
∙
5 6 ∙
2
+
∙
5 6 ∙
3
−
∙
5 6 ∙
H
4
+ ⋯ + −1
ˆ
∙
5 6
ˆ2+
∙
ˆ2
‰ + Область сходимости полученного ряда, находим, решая неравенство
5 6 ∙ ∈ −1; 1• или − 1 <
5 6 ∙ ≤ 1, −
6 5 < ≤
6 Таким образом, ряд сходится при
∈ −
6 5 ;
6 5™.

Задача 3. Вычислить приближенно с точностью ε = 10
-3
функцию Лапласа Ф ”
›
c при c
= Решение Используя ряд Маклорена для элементарной функции
”
œ
= 1 +
C
1! +
C
2! +
C
3! + ⋯ −∞; +∞ при
C получим Ф 0.91 =
1
√2t
∙
L1 − 2 ∙ 1! +
H
2 ∙ 2! − 2 ∙ 3! +
3 2
H
∙ 4! − ⋯ M , ∈ −∞; +∞ Степенные ряды внутри интервала сходимости можно интегрировать почленно. Значит, Ф 0.91 =
1
√2t
∙ 5 1 ∙
c.1+
c
−
2 ∙
c.1+
c
+
H
8 ∙
c.1+
c
−
48 ∙
c.1+
c
+
3 384 ∙
c.1+
c
− ⋯ 6 =
=
1
√2t
∙ L −
1 2 ∙ 3 +
1 8 ∙ 5 −
1 48 ∙
!
7 +
1 384 ∙
1 9 − ⋯ MŸ
c c.1+
=
=
1
√2t
∙ L0.91 −
1 2 ∙
0.91 3 +
1 8 ∙
0.91 5 −
1 48 ∙
0.91
!
7 +
1 384 ∙
0.91 1
9 − ⋯ M ≈
≈ 0.3989 ∙ 0.91 −
0.753571 6
+
0.6240321451 40
−
0.5167610194 336
+
0.4279298001298 3456
− ⋯ ≈
≈ 0.36303748 − 0.05010522 + 0.00622382 − 0.00061356 + 0.00004939 − Если учтем три члена, то отброшенная часть составляет ошибку
= |−0.00061356 + 0.00004939 − ⋯ Итак, ошибка ряда равна модулю суммы знакочередующегося ряда
0.00061356 − 0.00004939 + Его члены по модулю убывают, и общий член стремится к нулю. Значит, по теореме Лейбница сумма этого ряда меньше его первого члена, те.
< 0.00061356 < и заданная точность будет обеспечена. Таким образом, с заданной точностью находим Ф 0.91 ≈ 0.36303748 − 0.05010522 + 0.00622382 = 0.31915607 ≈ 0.319.

Задача 4. Найти четыре первых члена разложения вряд Маклорена решения задачи Коши. rr
+
r
+ 3 ∙
∙
H
= sin 3 ∙ ; 0 = −8; r
0 = Решение. Из уравнения видно, что неизвестная функция y(x) имеет производные любых порядков. Значит, ее можно разложить вряд Маклорена:
= 0 +
r
0 ∙ +
1 2! ∙
rr
0 ∙
+
1 3! ∙
rrr
0 ∙
+ ⋯
(1)
C учетом начальных условий
0 = −1; r
0 = 2 из заданного уравнения rr
+
r
+ 3 ∙
∙
H
= sin 3 находим rr
= −
r
− 3 ∙
∙
H
+ sin 3 Значит, при x = 0 rr
0 = −
r
0 − 3 ∙ 0 ∙
0
H
+ sin 3 ∙ 0 = −2 − 0 + 0 = Изданного уравнения rr
= −
r
− 3 ∙
∙
H
+ sin 3 ∙ находим (учтем, что произведение необходимо дифференцировать по формуле
PF
r
= P
r
∙ F + P ∙ F′
): rrr
= −
rr
− 6 ∙ ∙
H
− 3 ∙
∙ 4 ∙
∙
r
+ 3 ∙ cos 3 ∙ При x = 0 rrr
0 = −
rr
0 − 6 ∙ 0 ∙
0
H
− 3 ∙ 0 ∙ 4 ∙
0
∙
r
0 + 3 ∙ cos 3 ∙ 0
rrr
0 = − −2 − 0 − 0 + 3 ∙ 1 = Подставим найденные значения в формулу (1) и получим искомое решение
≈ −8 + 2 ∙ − 1 ∙
+
5 6 ∙ .

Контрольная работа Элементы гармонического анализа Задача 1. периодическая функция задана графически на отрезке [-π; π]. Требуется а) представить функцию аналитически б) проверить выполнение условий Дирихле в) найти разложение функции вряд Фурье. Рисунок 1 Решение. Получим аналитический вид функции f(x) на отрезке [-π; π], необходимый для вычисления коэффициентов Фурье. На промежутке [-π;0] уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через точки (-π;3) и (0; 0): l3 = € ∙ −t + ¢;
0 = € ∙ 0 + откуда k = -3/π, b = 0, а на интервале (0; π] l−2 = € ∙ 0 + ¢;
−2 = € ∙ t + откуда k = 0, b = -2. В итоге аналитическое задание исходной функции на отрезке [-π; π] имеет вид
£
= ¤−
3
t ∙ , −t ≤ ≤ 0;
−2; 0 < ≤ Построим график периодической функции f(x), добавив к основному периоду по одному периоду слева и справа (рисунок 2).

Рисунок 2 По графику f(x) на рисунке 2 проверим условия Дирихле. Период функции T = 2π, а ее полупериод l = π. Функция f(x) имеет на отрезке [-π; π] два участка монотонности и поэтому является на этом отрезке кусочно-монотонной. Для функции f(x) выполняется неравенство
-2 ≤ f(x) ≤ 3, те. она ограничена Таким образом, условия Дирихле выполняются и по теореме 2 ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех точках непрерывности. В точках скачков функции, задаваемых общей формулой
= t¥, ¥ ∈ ℤ
, значение суммы S(x) ряда Фурье будет отлично от f(x). Функция f(x) не обладает свойством четности-нечетности, поэтому коэффициенты Фурье будем находить по общим формулам
‡
c
=
1
t
£
s s
=
1
t ∙ 5
−
3
t ∙
c s
+
−2
s c
6 =
=
1
t ∙ |L−
3 2 ∙ t MŸ
s c
+ −2 ∙ |
c s
} =
=
1
t ∙ |−
3 2 ∙
0
t − L−
3 2 ∙
−t t M + −2 ∙ t − −2 ∙ 0 } = −
1 2 ;
‡
§
=
1
t
£
∙ cos €
s s
=
1
t ∙ 5
−
3
t ∙
∙ cos €
c s
+
−2 ∙ cos €
s c
6 ;
−
3
t ∙ ∙ cos €
c s
= −
3
t ∙ € ∙ sin € +
1
€ ∙ cos €
s c
=
= −
3
t ∙ L
0
€ ∙ sin € ∙ 0 +
1
€ ∙ cos € ∙ 0 −
−t
€ ∙ sin € ∙ −t +
1
€ ∙ cos € ∙ −t M =
= −
3
t€ ∙ 1 − −1
§
;
−2 ∙ cos €
s c
= −
2
€ ∙ sin €
c s
=
2
€ ∙ sin € ∙ t − sin € ∙ 0 = 0;
‡
§
=
1
t ∙ L−
3
t€ ∙ 1 − −1
§
M = −
3
t € ∙ 1 − −1
§

¢
§
=
1
t
£
∙ sin €
s s
=
1
t ∙ 5
−
3
t ∙
∙ sin €
c s
+
−2 ∙ sin €
s c
6 ;
−
3
t ∙ ∙ sin €
c s
= −
3
t ∙ − € ∙ cos € +
1
€ ∙ sin €
s c
=
= −
3
t ∙ |−
0
€ ∙ cos € ∙ 0 +
1
€ ∙ sin € ∙ 0 − L−
−t
€ ∙ cos € ∙ −t +
1
€ ∙ sin € ∙ −t M} =
=
3
€ ∙ −1
§
;
−2 ∙ sin €
s c
=
2
€ ∙ cos €
c s
=
2
€ ∙ cos € ∙ t − cos € ∙ 0 =
2
€ ∙ −1
§
− 1 ;
¢
§
=
1
t ∙ L
3
€ ∙ −1
§
+
2
€ ∙ −1
§
− 1 M =
1
t€ ∙ 5 ∙ −1
§
− 2 Коэффициенты Фурье
‡
c
= −
1 2 ; ‡
§
= −
3
t € ∙ 1 − −1
§
; ¢
§
=
1
t€ ∙ 5 ∙ −1
§
− 2 Запишем итоговое разложение функции f(x):
£
= −
1 4 + ¨ ©−
3
t € ∙ 1 − −1
§
∙ cos € +
1
t€ ∙ 5 ∙ −1
§
− 2 ∙ sin € ™
Œ
§ª+
, при
≠ t¥, ¥ ∈ ℤ.