Файл: 29. Интегрирование уравнения Эйлера для потенциального потока.docx

Скачать файл (5,26Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.03.2024

Просмотров: 11

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

29.Интегрирование уравнения Эйлера для потенциального потока.

30.интегрирование в случае установившегося движения. Интеграл Эйлера-Бернулли.

41. Определение компонент вихря и полного значения вихря при ламинарном движении.

Существенно отметить, что ламинарное движение является вихревым. Чтобы убедиться в этом, найдем величину компонентов вихря

для этого движения. Для ламинарного потока в цилиндрической трубе:

в соответствии с чем:

Но производные

не равны нулю, а потому для компонентов вихря найдем:

Следовательно, вихрь

не равен нулю.

Представим выражение для скорости

в функции координат

.

Так как

, то

, откуда

Максимальную скорость вращения имеют частицы у стенок трубы

. Для частиц, расположенных на оси трубы,

31. Уравнение движения вязкой жидкости (уравнение Навье - Стокса.)

Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости могут быть составлены путем дополнения уравнений Эйлера теми слагаемыми, которые определяют собой силы сопротивления движению, обусловленные вязкостью жидкости.

Где Fx, Fy, Fz - проекции сил вязкости на координатные оси, отнесенные к единице массы жидкости, т. е. записанные в виде ускорений Fx=F’x/ρ∆W (здесь F’x -проекция силы, действующей на массу ρ∆W, а Fx - проекция ускорения).
Под действием сил вязкости (сил сопротивления смещению од них частиц жидкости относительно других, смежных с ними)
возникают как тангенциальные (касательные), так и нормальные
напряжения (напряжения сжатия или растяжения).
Найдем силы F’x, F’y, F’z; предполагая, что жидкость движется
слоями без перемешивания движущейся массы. В общем случае
направление движения не совпадает с направлением координатных осей, вследствие чего не совпадает с направлением этих осей и сила вязкости.

Рассмотрим площадку d площадью dydz, лежащую в плоскости y0z. Пусть в некоторой точке М этой площади
действует сила вязкости R, отнесенная к единице площади (как
напряжение). Разложим эту силу по координатным осям на три
составляющих. Тогда получим силу р_х нормальную к данной
площадке d, и две касательные силы: _y, _z .В соответствии с
этим для всей площадки d получим три силы: нормальную

Рx=p_хdydz (параллельную оси Ох) и две касательные Ty=_ydydz
и Tz=_zdydz, соответственно параллельные осям Oу и Ох. Понятно, что из этих трех сил только сила Px проектируется на ось
Ох в натуральную величину, а силы Тx и Ту проектируются на ось
Ох в нуль. Сказанное справедливо для любой площадки, выбранной в любой координатной плоскости.
Теперь выделим элемент жидкости в форме параллелепипеда
с ребрами, параллельными координатным осям, и определим сумму проекций сил вязкости, действующих только на те три грани

параллелепипеда, которые образуют трехгранный угол с верши ной А.

Отметим, что для каждой координатной оси мы получим проекции только трех сил (из девяти); остальные будут проектироваться в точку. Так, для оси Ох:
Px=p_xdydz; Tx,₁=_xdxdу и Тх,₂=_xdxdz.

Для удобства дальнейших рассуждений введем двойную индексацию напряжений: например, для нормального напряжения р_хх, для касательного напряжения _ху и т. д.; здесь первый индекс указывает на то, что площадка, для которой определяется напряжение, расположена нормально к данной оси координат, а второй - направление действия напряжения. С учетом этого по лучим следующую запись проекции сил на ось Ох:

Проекция нормальной силы на грань ABCD …. p_x_хdydz

Касательной ABB’A’A …. _y_хdхdz

AA’D’D …. _z_хdxdy

Аналогичные выражения можем составить и для двух других
координатных осей, в результате чего получим следующие выражения для проекций сил, действующих на грани трехгранного угла с вершиной А:

Для оси Ох … p_x_хdydz; _y_хdхdz; _z_хdxdy
Оу ... p_yydxdz; _х_ydydz; _z_ydxdy
Оz ... p_zzdxdy; _х_zdydz; _yzdxdz
Переходя затем к проекциям сил, действующих на грани трехгранного угла с вершиной С', отметим, что напряжения на этих
гранях будут отличаться от напряжений на гранях первого угла
(с вершиной в точке А) на величину соответствующих частных
дифференциалов этих напряжений. Следовательно:

Для оси Ох … p’_x_хdydz; '_y_хdхdz; '_z_хdxdy
Оу ... p'_yydxdz; '_х_ydydz; '_z_ydxdy
Оz ... p'_zzdxdy; '_х_zdydz; '_yzdxdz

где для оси Ох:

p'_x_х

'_y_х

'_z_х

Аналогичные выражения можно получить и для двух других осей.

Составим теперь выражение для силы F’x, представляющей собой, как сказано выше, сумму проекций на ось Ох всех сил вязкости, действующей на массу жидкости в объеме выделенного параллелепипеда.
Полагая, что направление сил, действующих на грани угла
с вершиной С, противоположно направлению сил,
действующих на грани трехгранного угла с вершиной А, получим

Но:
p_xx-p'_x_х

_y_х -'_y_х

_z_х -'_z_х

в силу чего, делая соответствующую подстановку, найдем

Сила

, входящая в уравнение Эйлера, как указано выше,
представляет собой проекцию силы вязкости, отнесенную к единице массы жидкости, т. е. Fx=F’x/ρ∆W, где в данном случае
∆W=dxdydz, а поэтому для силы Fx, получим следующее выражение:

Здесь

- нормальные, а

- касательные напряжения.
Касательные напряжения

в пределах грани dxdz остаются
одинаковыми для всех точек этой площадки, т. е. не зависят от
координат х и z и изменяются только при перемещении этой площадки вдоль оси Оу, т. е. зависят от координаты у. Другими словами,

- это касательные напряжения, зависящие только от
градиента скорости

. Поэтому в соответствии с законом Ньютона _yx=ϻ

и по аналогии _zx=ϻ

,

Откуда

и.

Рассмотрим производную

. Здесь

представляет
собой нормальиое к площади dydz напряжение, обусловленное
влияннем вязкости (сжатия - в условиях торможения и растяжения - в условиях ускоренного движения) в зависимости от
изменения скорости вдоль оси Ох, т. е. в зависимости от градиента скорости