Файл: Графыдеревья. Остовные деревья.pdf

Лекция 5
Тема: Графы-деревья. Остовные деревья
Учебные вопросы:
1. Графы-деревья и их свойства.
2. Остовные деревья.
3. Способы
построения
минимального
остовного
дерева
взвешенного графа
Содержание лекции
1 Графы-деревья и их свойства.
Дерево – это граф без циклов.
Понятие дерева широко используется во многих областях математики и информатики. Например, как инструмент при вычислениях, как удобный способ хранения данных, способ сортировки или поиска данных.
Рисунок 1 – Графическое представление дерева
Достаточно развитое генеалогическое дерево образует дерево.
Типичное частичное организационное дерево для университета (рисунок 2).
Рисунок 2 - Типичное частичное организационное дерево для университета

Если дерево имеет хотя бы одно ребро, оно имеет две вершины со степенью 1. Вершины со степенью 1 называются листьями. Другие вершины называются внутренними вершинами.
Предположим, что дерево представляет физический объект, подвижный в вершинах (рис. 3).
Рисунок 3 - Дерево - физический объект, подвижный в вершинах
Подвесим дерево за одну из его вершин. Если подвесить за вершину
V3, то получим следующую картину (рис. 4).
Рисунок 4 – Исходное дерево, подвешенное за вершину V3
Если подвесить за вершину V4, то получим следующую картину (рис.
5).
Рисунок 5 – Исходное дерево, подвешенное за вершину V4

Вершина в верхней части называется корнем дерева, если корень определен, то дерево называется корневым. При необходимости корневое дерево Т можно заменить на ориентированное корневое дерево Т’, порожденное корневым деревом Т (рис. 6).
Ориентированное дерево представляет собой ориентированный граф без циклов, в котором полустепень захода каждой вершины (за исключением одной, например v
1
) не больше 1, а полустепень захода вершины v
1
(называемой также корнем) равна нулю.
Рисунок 6 – Ориентированное корневое дерево
Если корень выбран, уровень вершины V определяется длиной единственного пути из корня в вершину V.
Высотой дерева называется длина самого длинного пути от корня дерева до листа.
Если рассматривается корневое ориентированное дерево Т’, порожденное данным корневым деревом
Т, тогда вершина u называется родителем вершины v; a v называется сыном вершины u, если существует ориентированное ребро из u в v.
Если u — родитель v и v1, тогда v и v1 называются братьями.
Если существует ориентированный путь из вершины u в вершину v, тогда u называется предком вершины v, v называется потомком вершины u.
Если наибольшая из степеней выхода для вершин дерева равна m, тогда дерево называется m - арным деревом.
В частном случае, когда m = 2, дерево называется бинарным деревом.
В каждом бинарном дереве каждый сын родителя обозначается либо как левый сын, либо как правый сын (но не то и другое одновременно).

Теорема (основные свойства деревьев):
Пусть граф G(V,E) имеет n вершин. Тогда эквивалентны следующие утверждения:
1. G является деревом;
2. G не содержит циклов и имеет n-1 рёбер;
3. G связан и имеет n-1 рёбер;
4. G связан, но удаление ребра нарушает связность;
5. Две вершины графа G соединены ровно одним путём;
6. G не имеет циклов, но добавление ребра порождает ровно один цикл.
2 Остовные деревья
Остовным деревом (остовом) связного графа называется любой его остовный подграф, являющийся деревом.
В любом связном графе найдется подграф, являющийся деревом.
Подграф в G, являющийся деревом и включающий в себя все вершины G, называется остовным деревом (рис. 8).
Рисунок 8 - Граф и два его остовных дерева (удаленные ребра показаны пунктиром)
Остовным деревом (spanning tree) связного неориентированного графа G на n вершинах будем называть подмножество его ребер размера n −
1, не содержащее циклов. Понятно, что тогда по этим ребрам можно добраться из любой вершины до любой, и эти ребра образуют дерево. Если

граф G взвешенный, суммарный вес ребер остовного дерева будем называть весом остовного дерева.
Классическая задача — построить остовное дерево минимального веса
(minimal spanning tree, или MST).
Задачи о кратчайших расстояниях на графах.
1.
Построение минимального остовного дерева (кратчайшей связывающей сети) – соединение всех узлов сети с помощью путей наименьшей длины.
2.
Задача о нахождении дерева кратчайших расстояний – нахождение кратчайшего пути из одной вершины в любую другую.
3.
Построение матрицы кратчайших расстояний – нахождение кратчайших путей для любой пары вершин.
Необходимо проложить линии коммуникаций (дороги, линии связи, электропередач и т.п.) между n заданными "точечными" объектами, при условии:

во-первых, известны "расстояния" между каждой парой объектов (это может быть геометрическое расстояние или стоимость прокладки коммуникаций между ними),
во-вторых, объекты могут быть связаны как непосредственно, так и с участием произвольного количества промежуточных объектов.
При допущении, что разветвления возможны только в этих же n объектах, задача сводится к нахождению кратчайшего остовного дерева
(SST - shortest spanning tree, или MST - minimal spanning tree) во взвешенном графе, вершины которого соответствуют заданным объектам, а веса ребер равны «расстояниям» между ними.
Определение 1. Вес остовного дерева взвешенного графа G равен сумме весов, приписанных ребрам остовного дерева. Вес остовного дерева будем обозначать

(T).
Определение 2. Минимальным остовным деревом (МОД) называется такое остовное дерево графа G, что вес T меньше или равен весу любого другого остовного дерева графа G. Вес минимального остовного дерева будем обозначать

min
(T).
Задача 1: Найти кратчайшее остовное дерево (минимальный
покрывающий остов) взвешенного графа.
Пусть дан неориентированный связный граф со взвешенными ребрами
(рис. 9). Вес ребра (x i
, x j
) обозначим c ij
. Из всех остовов графа необходимо найти один, у которого сумма весов на ребрах наименьшая.
Стоимость остовного дерева вычисляется как сумма стоимостей всех рёбер, входящих в это дерево.
Рисунок 9 – Неориентированный граф и его минимальный покрывающий остов

Построение остова графа G, имеющего наименьший вес, имеет широкое применение при решении некоторого класса задач прикладного характера.
Например:
Пусть, например, G=(V, E,

) служит моделью железнодорожной сети, соединяющей пункты v
1
, v
2
, …, v
n

V, а

(v
i
, v
j
) – расстояние между пунктами v
i
и v
j
Требуется проложить сеть телеграфных линий вдоль железнодорожной сети так, чтобы все пункты v
1
, v
2
, …, v
n
были связаны между собой телеграфной сетью, протяженность которой была бы наименьшей.
Рассмотрим два способа построения минимального остовного дерева взвешенного графа: алгоритм Крускала и алгоритм Прима.
3 Способы построения минимального остовного дерева взвешенного
графа
Алгоритм Крускала имеет следующий вид:
1) Выбрать в графе G ребро e минимального веса, не принадлежащее множеству E и такое, что его добавление в E не создает цикл в дереве T.
2) Добавить это ребро во множество ребер E.
3) Продолжить, пока имеются ребра, обладающие указанными свойствами.
ПРИМЕР. Для данного взвешенного графа найти минимальное корневое остовное дерево, используя алгоритм Крускала. Определить высоту построенного дерева.
Выбираем ребро с минимальным весом. Это ребро, (
,
) с весом, равным 4.
Пусть вершина будет корнем дерева. Далее выбираем ребра, инцидентные вершинам
, и имеющие минимальный вес.

Это ребро (
,
) с весом 5. Затем к вершине присоединяем ребро
(
,
) с весом 7.
Далее, добавляем ребро (
,
) с весом 7 и ребро (
,
) с весом 6.
Минимальный вес построенного дерева (рисунок 10) равен:

min
(T)=4+5+7+7+6=29.
Рисунок 10 - Минимальный вес построенного дерева
Алгоритм Прима имеет следующий вид:
Всегда имеется дерево, к которому ребра добавляют до тех пор, пока не получится остовное дерево.
Используя алгоритм Прима, сначала выбираем вершину v
0
графа G, а затем выбираем ребро с наименьшим весом e
1
= {v
0 ,
v
1
}, инцидентное к вершине v
0
и формируем дерево Т
1
Следующим выбираем ребро с наименьшим весом е
2
такое, что одна вершина ребра принадлежит дереву T
1
, а вторая — нет, и добавляем его в дерево, после чего получаем дерево T
2 с двумя ребрами.
Сформировав дерево Т
k формируем дерево Т
k+1
, выбирая ребро с минимальным весом e k+1
такое, что одна его вершина принадлежит дереву Т
k
, а другая — нет, и добавляем это ребро в дерево.
Продолжаем процесс до тех пор, пока дерево не будет содержать все вершины графа G.
1) Выбрать вершину v
0
графа G и ребро с наименьшим весом e
1
, для которого v
0
– одна из вершин, и сформировать дерево T
1

2) Для заданного дерева T
k
с ребрами e
1
, e
2
, e
3
, …, e
k
, если имеется вершина, не принадлежащая T
k
, выбрать ребро с наименьшим весом, смежное с ребром дерева T
k
и имеющее вершину вне дерева T
k
. Добавить в дерево T
k
, формируя дерево T
k+1 3) Продолжить, пока имеются вершины графа G, не принадлежащие дереву.
Построение минимального остовного дерева можно проводить двумя способами:
1) остов графа строится непосредственно на самом графе, выделяя ребра утолщенной линией, которые входят в остовное дерево;
2) строится отдельно корневое дерево, которое будет минимальным остовным деревом. Второй случай используется, если требуется определить высоту построенного дерева.
ПРИМЕР. Рассмотрим граф (рис. 11).
Рисунок 11 – Исходный граф
Начав с вершины а, первым выбираем ребро {а, е}, поскольку оно имеет минимальный вес равный 2.
Т. о. дерево T1 состоит из ребра {а, е}.
Теперь выбираем ребро {e,d}, так как это ребро с минимальным весом равным 2, из тех, что имеют только одну вершину в дереве T1.
Получаем дерево Т2.
Рисунок 12 - Дерево Т2
Далее выбираем ребро {d, b}, поскольку это ребро с минимальным весом из тех, что имеют только одну вершину в Т2. Получаем Т3 (рис. 13).

Рисунок 13 - Дерево Т3
Теперь, так как имеется два ребра с одинаковым весом и одной вершиной в Т3, имеем выбор.
Предположим, выбрано ребро {d,c}, поэтому дерево Т4 имеет следующий вид (рис. 14).
Рисунок 14 - Дерево Т4
Следующим выбираем ребро {е, f}. Это ребро имеет минимальный вес из тех, что имеют только одну вершину в дереве Т4; отсюда Т5
Наконец, выбираем ребро {f,g}. Поскольку это ребро минимального веса из тех, что имеют одну вершину в Т4, а вершина g — последняя из оставшихся вершин, имеем дерево Т6, которое является искомым остовным деревом (рис. 15). При этом ВЕС МОД 2+2+1+4=9.
Рисунок 15 - Дерево Т6

Вопросы для контроля
1) Дайте определение графа-дерева и приведите его иллюстрацию.
2) Дайте определение ориентированного корневого дерева и приведите его иллюстрацию.
3) Основные свойства деревьев (теорема).
4) Остовное дерево (остов) связного графа и порядок его получения.
5) Задачи о кратчайших расстояниях на графах.
6) Дайте определение веса остовного дерева и минимального остовного дерева.
7) Алгоритм Крускала построения минимального остовного дерева взвешенного графа.
8) Алгоритм Примапостроения минимального остовного дерева взвешенного графа.