Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 374

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Рис. 142.

Г Л А В А 20

ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ

§ 131. Сложение волн от двух источников

Рассмотрим, прежде всего, два идеальных источника, излучаю­ щих сферические волны. Оба источника колеблются синхронно. Как известно, в этом случае для волн любого типа (проще всего это продемонстрировать на примере водяных волн) возникает харак­ терное поле, в котором мы видим светлые и темные «борозды», про­ ходящие через те места, где волны усиливают или ослабляют друг друга.

Расчет этой картины несложен. Рассмотрим любую точку, на­ ходящуюся на расстоянии г1 от одного и г2 от другого источника волны. Тогда максимальное усиление волн будет иметь место в том случае, если разность хода между волнами гх — г 2 равняется целому числу длин волн пХ. Напротив, погашение будет иметь место в тех точках, где разность хода равняется нечетному числу полуволн

( 2 п + 1 ) | .

Как известно из аналитической геометрии, кривая поверхность, все точки которой удо­ влетворяют условию: разность расстояний до двух фокусов есть величина постоянная, есть гиперболоид. На рис. 59 (стр. 107) прове­ дено сечение через источники волн. В этом се­ чении показаны гиперболы — места, для ко­ торых разность хода имеет одно и то же зна­ чение вдоль кривой.

Рассмотрим теперь (рис. 142) сечение вол­ нового поля цилиндрической поверхностью, ось которой проходит через излучатели (кото­

рые мы все время предполагаем точечными). Н а таком экране интер­ ференционная картина даст о себе знать системой чередующихся темных и светлых прямых линий, поскольку все точки цилиндра, лежащие на одинаковой высоте, находятся в совершенно одинако­ вых условиях, т. е. в одинаковом положении по отношению к ис­ точникам излучения. На средней линии цилиндра мы будем иметь светлую полосу, так как расстояния от обоих источников равны и волны усиливают друг друга. Для точек, лежащих на высоте z над центральной прямой, разность хода лучей rt— г2 представим как

ri

Но r\—r\^2lz,

где

/ — расстояние

между источниками.

+ r2

 

 

 

Значит, условие n-й

светлой

полосы имеет

вид

2/г

—lik.

Если экран далек, то для полос, близких к центру,

/-! + /-, « 2 f l ,

где R — радиус цилиндра. Светлые полосы пройдут через точки г, удовлетворяющие условию

1гR _= пХ.

Расстояние между соседними полосами будет Az=XR/l.

П р и м е р . Если два когерентных (см. § 132) источника, расстояние между которыми 1=1 мм, испускают свет с длиной волны Я,=6000 А, то на поверхности цилиндра с радиусом R=\ м появятся интерференционные полосы, расстояния между которыми равны Дг=А,#//=0,6 мм.

Если источник света излучает волны разных длин, то интерфе­ ренционная картина будет окрашена, так как условия максимума различны для разных К.

Нас может заинтересовать не только положение максимумов и минимумов интерференции, но и вид кривой интенсивности поперек полос.

Если IzlR — разность хода меж­ ду волнами, то

с2л tz

б= т т

есть разность фаз,

и суммарная ам­

 

плитуда в любой

точке запишется

 

в виде

 

 

A cos (ut + A cos (cut + б).

Рис.143.

Если амплитуды равны, то это дает обсуждавшееся на стр. 90 выражение

2А cos у cos [ Ы

Измеряемая на опыте интенсивность (квадрат амплитуды волны) равна среднему значению этого выражения, взятому за период коле­ баний. Так как

cos2 (^(at - Ь у

J ср

(см. о вычислении среднего в следующем параграфе), то

I = 2А2 cos2, XRліг"

Кривая интенсивности может быть построена на графике в функции вертикальной координаты г (рис. 143).

§ 132. Когерентность

Описанное в предыдущем параграфе сложение двух волн можно пытаться осуществить различными способами и для разных длин волн. Можно, например, установить близко друг от друга две ан­ тенны, излучающие радиоволны; можно установить близко друг от друга две электрические лампочки с точечной нитью накала; можно свести воедино падающий луч и этот же луч, отраженный зеркалом. Опыт показывает, что интерференционные явления осуществляются далеко не во всех случаях. Выяснить, в чем здесь дело, всегда можно, изучая сложение полей двух антенн. Легко показать, что интерфе­ ренционная картина будет наблюдаться лишь в том случае, если между налагающимися волнами имеется разность фаз, постоянная за время наблюдения. В таком случае говорят о когерентных коле­ баниях.

Если разность фаз фиксирована, то электромагнитное

колебание

в данной точке пространства происходит все время с одной

и той же

амплитудой. Таким образом, точка максимума всегда будет тако­ вой; место, где волны предельно гасят друг друга, будет все время сохранять нулевую интенсивность.

Если же разность фаз беспорядочно меняется, то картина будет совсем иной. В течение некоторого времени колебание в данной точке происходит с максимальной амплитудой, в следующий ин­ тервал — с какой-либо средней, а затем волны на какой-то срок га­ сят друг друга. Если бы эти периоды длились время, соизмеримое с практическими возможностями инструментов, то мы установили бы наличие меняющегося интерференционного поля. Если же пере­ мены в разности фаз следуют столь быстро, что инструменты не могут обнаружить этих изменений, то интерференционное поле не проявит себя и инструменты покажут среднее значение интенсив­ ности. В этих случаях говорят о некогерентных колебаниях.

Чему же будет равна та средняя интенсивность, которая проя­ вится в пространстве, где налагаются поля? Покажем это элемен­ тарным расчетом.

Амплитуда суммарной волны в данной точке и в данное мгнове­ ние может быть записана в виде

Л х cos at 4- Л 2 cos (at + 8).

Мгновенная интенсивность пропорциональна квадрату этого выра­ жения, т. е. равна

Л 2 cos2 at - f Л 2 cos2 (at + 8) 4- 2A1A2 cos at • cos (at 4- 6).

Нас интересует средняя по времени интенсивность излучения, кото­ рая равна

/ = Al (cos2 ©Оср + At [cos2 (at 4- 6)]c p

+

+ 2Л Х Л 2

[cos at -cos (at 4- 6)]c p .

Средние значения тригонометрических величин довольно часто встречаются в физических вычислениях. Полезно поэтому напомнить, что средние значения

sin л; и cos* равны нулю, а средние значения sin2 * и cos2* равны 1 / 2 , если только аргумент * тригонометрической функции с равной вероятностью принимает любые значения. Среднее значение какой-либо функции /(*) по смыслу понятия равно

[/ ( * ) ] с р + f ( * 2 > + " - - + f

.

Эта формула пригодна для подсчета среднего, если переменная * принимает дис­ кретные значения. Если же переменная х непрерывна и принимает любые значе­ ния в интервале от а до Ь, то формулу для вычисления среднего значения мы по­ лучим следующим образом. Разделим интервал (Ь — а) на п отрезков Д*. Помно­ жим числитель и знаменатель на Дх, получим

I/Wlcp-

Д * + / ( *

2 ) Д У + . . .

лДдс

 

 

 

Переходя к пределу, имеем

b

 

 

 

[/(*))сР = - У

dx.

 

а

 

По этой формуле можно вычислить среднее значение любой функции от не­ прерывно меняющейся случайной величины. При вычислении среднего значения периодической функции надо взять в качестве пределов интегрирования величину одного периода, поскольку среднее значение за один период несомненно равно среднему значению за любое число периодов. Таким образом, например,

[cos2 х]с? = — ^ cos2 х dx

l_

о

2 '

 

Запишем формулу интенсивности в виде

/ = А\ (cos2 соОср + At [cos2 (со/ + б)]с р +

+ Л И . [cos (2со/ + 5)]с р + АгАг (cos б) с р .

Пользуясь сведениями о средних значениях cos х и cos2 * , получим: если разность фаз двух волн меняется беспорядочно, т. е. если ко­ лебания некогерентны, то

/ = 4 ( Л Г - М 1 ) ;

напротив, если разность фаз фиксирована, колебания когерентны, то

/ = у (At + Л | - j - АхАг cos б)

или для равных амплитуд

/= 2 Л с о з 2 - | ,

—мы пришли к интерференционной формуле предыдущего пара­ графа.

Когерентность радиоволн, излучаемых соседними антеннами, может быть нарушена или создана техническими приемами.

Что же касается световых колебаний, то здесь прежде всего надо отличать свет обычных источников от света лазеров. В обыч­ ных источниках излучения отдельных атомов не находятся в согла­ сии друг с другом. Фазы волн, посылаемых отдельными атомами, сдвинуты на случайные величины. Вполне естественно, что два ис­ точника света, сколь угодно близких по размерам к точке, не дают

Рис. 144.

интерференционного поля. Создать когерентные световые колебания с помощью обычных источников света можно лишь одним способом— «расщеплением» одной и той же световой волны.

Способы искусственного осуществления когерентных источни­

ков показаны

на рис. 144. Два зеркала / и / / ,

слегка наклоненные

друг к другу,

или сдвоенная призма (бипризма)

являются источни­

ками волн от двух мнимых центров. В любом месте интерференци­ онного поля может быть установлен экран, на котором будут на­ блюдаться интерференционные полосы. Проведенные выше теоре­ тические рассуждения вполне подходят к этим случаям; ход полос определяется расстоянием между мнимыми изображениями источ­ ника света и расстояниями от этих изображений до точки наблю­ дения.

Вполне очевидна причина когерентности двух частей «расщеп­ ленного» луча. Между любой парой атомов истинного источника нет когерентных соотношений. Расщепляя же луч на две части, мы

даем возможность излучению каждого атома интерферировать само­ му с собой.

Существующие многочисленные устройства, позволяющие на­ блюдать интерференцию с помощью источников обычного света, отличаются различными способами расщепления луча света путем отражения и преломления с последующим наложением частей рас­ щепленной волны в области интерференционного поля.

 

Размер источника света сказывается существенным

образом на

когерентности его «расщепленных» лучей. Положим

(рис. 145),

что источник света имеет размер б и в

создании

интерференцион­

ного

поля

принимают

участие

лучи,

выходящие

в телесном

угле 2м. Лучи типа 1, Ґ

 

исхо­

 

 

 

 

дят от одного атома и, следова-

 

/

 

 

тельно, когерентны. То же самое

 

 

 

 

верно

и для лучей

2,

2'.

 

Поло­

 

 

 

 

жим,

что

мы

хотим

наблюдать

 

 

 

 

интерференцию,

наложив

друг

 

 

 

 

на

друга

поля лучей

/,

2

и

 

 

 

 

 

2'.

Чтобы

интерференция

 

имела

£

 

 

 

место, надо, чтобы поля коге­

 

 

 

 

рентных лучей 1,

Ґ

и. 2,2'

под­

 

 

 

 

держивали

друг

друга.

 

Этому

 

 

 

 

мешает разность хода Д—Ь sin

и,

 

 

 

 

имеющая

место

между

 

2',

а

 

 

 

 

также

J

я

2.

Интерференция

 

 

 

 

станет

возможной

лишь

при

 

 

 

 

условии b sinsj^ А/2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Понятно,

что

интерфериро­

 

Рис.

145.

 

вать могут лишь световые волны

 

 

 

 

 

 

одинаковой длины. Следовательно, интенсивность интерференцион­ ной полосы определяется не интегральной мощностью излучения, а мощностью излучения света данной волны.

Большим ограничением в постановке интерференционных опы­ тов с обычным светом является ограниченная когерентная длина светового луча. Дело в том, что в один прием атом излучает в тече­ ние времени порядка Ю - 8 с. Принимая во внимание значение ско­ рости света, нетрудно убедиться в том, что испущенный «цуг» волн имеет протяженность порядка метра. Таким образом, при строгой мо­ нохроматичности когерентная длина для видимого света будет поряд­ ка метра. Если используется такой источник света как ртутная лампа высокого давления, то когерентная длина будет всего лишь порядка миллиметра. Это значит, что излучение одного и того же атома, подвергшееся расщеплению и сведенное в одну точку с раз­ ностью хода, большей миллиметра (большей когерентной длины) уже не даст явления интерференции.

Стимулированное излучение лазера, происхождение которого рассмотрено на стр. 402, обладает идеальной монохроматичностью: частотный интервал в миллионы раз меньше частоты света. Самое

Смотрите также файлы