Файл: Китайгородский А.И. Введение в физику учеб. пособие для студентов высш. техн. учеб. заведений.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 377

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

плеча їх и догнать зеркало, уходящее со скоростью v вперед. Сле­ довательно, путь схх пройденный лучом, должен равняться ых — = / 1 + и т 1 . Затраченное фронтом волны время будет:

т =

1

с(1 —о/с) *

На пути «обратно» луч пройдет длину плеча 1Х за вычетом пути, пройденного прибором ему навстречу. Путь луча cx2=lx— от2 и

2 c(\+v/c) •

Измеряемое на опыте время Т ! + т 2

равно

2/i

 

С(1— Vі/с2)'

•

Обратимся теперь к поперечному лучу (рис. 184). За полное время т, прошедшее от момента выхода до момента возвращения луча в центр прибора 5, зеркало сместится так, как показано на рисунке. Следовательно, путь

волны будет

 

 

 

 

 

) /

11 +

 

 

 

 

 

 

откуда время

 

т равно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с Y~\—v2/c2 '

 

 

 

 

 

 

При первом измерении плечи /х

и / 2

подбира­

 

 

ются так,

что

лучи затрачивают одинаковое

 

 

время на раздельные пути. Значит,

 

 

 

 

21х

_

 

2/2

 

і і і т і г

 

/j

 

и

 

 

с(1— v2/c2)

 

с

V\—v2/c2

или У

l—v2/c2

7777Г~ГТ77777Т

 

 

Но при втором опыте, т. е. при повороте ин­

Рис. 184.

терферометра

на 90°, сдвига

интерференцион­

 

 

 

 

ной полосы

нет и времена

прохождения ос­

таются по-прежнему равными,

хотя

плечи

1Х

и / 2

поменялись ме­

стами! В этом и заключался неожиданный результат опыта.

 

Итак,

если первое плечо установлено продольно,

то

 

 

 

 

lx = l2

V\—vVc2;

 

 

 

 

 

 

если второе плечо установлено

продольно,

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•v2/c2.

 

 

 

 

 

 

При о=0

/і = / 2 , но при уфО мы приходим к замечательному

резуль­

тату: длина одного и того же отрезка меняется в зависимости от того, установлен этот отрезок вдоль движения или поперек движе­ ния. Полученный результат справедлив для любого тела, для лю-

бого расстояния между двумя точками. Итак, первое следствие теории относительности: движущееся по отношению к инерциальному наблюдателю тело сокращает свой размер в направлении дви­ жения. Поперечные размеры остаются неизменными. Если непод­ вижный по отношению к предмету наблюдатель установит, что длина

интересующего

его предмета /„, то наблюдатель, по отношению к

которому этот

предмет движется со скоростью v, найдет для него

длину / — /0

V\

—v'lic%.

П р и м е р .

Если предмет движется со скоростью 1 ООО км/с относительно

некоторого «неподвижного» наблюдателя, то последний обнаружит уменьшение длины предмета в направлении движения в 1,000005 раза. Если же скорость пред­ мета будет 200 000 км/с, то /0 /Ь-Л,34.

В разных системах отсчета длина одного и того же отрезка, ка­ ким-то определенным образом движущегося, будет разной. Надо отчетливо представить себе относительный характер этого сокра­ щения. Возьмем два стержня одинаковой длины /„. Приведем их в движение с относительной скоростью v. Пусть имеются два наблю­ дателя: один — движущийся с первым, а другой — со вторым стерж­ нем. Тогда первый наблюдатель найдет для своего стержня длину

/„,

а для

чужого 10

У 1—і>2/с2. Для этого наблюдателя

второй

стержень короче первого. Напротив, второй наблюдатель

найдег

для

второго

стержня

длину

а для первого /0 У\ —Vіjс*; для

него

первый

стержень

короче

второго.

 

Длина стержня и вообще расстояние между двумя точками — относительное понятие. Из всех длин стержня, измеренных в раз­ ных инерциальных системах, выделяется длина покоя /0 . Эта мак­ симальная длина стержня имеет абсолютный смысл.

§ 156. Время в теории относительности

В выражении, связывающем длину покоящегося и движущегося стержня, появилась величина \ г \ — р2 (|3 = і>/с). Этот квадратный корень появится и в других аналогичных формулах, связывающих значения различных физических величин для покоящегося и движу­ щегося наблюдателей. Рассуждения, похожие на те, которыми мы пользовались в предыдущем параграфе, приводят к интересным вы­ водам в отношении времени и ускорения, массы и силы, импульса и энергии, напряженностей поля, плотности заряда и тока и т. д. Формулы теории относительности позволяют переходить от зна­ чений величин, устанавливаемых покоящимся наблюдателем, к значениям, которые установит движущийся наблюдатель. Отно­ шение $~vlc является во всех случаях важным критерием необхо­ димости релятивистской поправки.

Нетрудно видеть, что сравнимые с единицей значения р*2 получит лишь при огромных скоростях. Даже при v= 100000 км/с Vl — (5і будет отличаться от единицы всего лишь на несколько процентов. Поэтому ясно, что выводы теории относительности не представляют

интереса для медленных движений, и в этих случаях мы не должны учитывать изменение физических свойств с движением. Особенное значение приобретает теория для микромира, где скорости частиц, приближающиеся к скорости света, встречаются весьма часто.

Остановимся, прежде всего, на следствиях теории, касающихся времени.

Промежуток т, в течение которого происходит то или иное собы­ тие, также оказывается различным с точки зрения двух инерциальных систем. Поэтому два события, одновременные с одной точки зрения, будут происходить одно раньше, а другое позже с точки зрения другой системы отсчета.

Качественно это утверждение сразу же следует из принципа постоянства скорости света. Действительно, рассмотрим систему, движущуюся равномерно и прямолинейно по отношению к другой инерциальной системе. В одной из них установлен излучатель, свет от которого идет во все стороны. В той системе, где находится ис­ точник, выберем два пункта, равноудаленных от источника вдоль прямой по ходу относительного движения. Ясно, что в этой системе свет придет в оба приемника одновременно. Так обстоит дело с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с источником. Однако для наблюдателя во второй системе дело обстоит не так. Для этого наблюдателя один приемник движется навстречу сиг­ налу, а другой — уходит от него. Поскольку скорость с и для этого наблюдателя имеет то же самое значение (притом одинаковое в обе стороны), то для него свет поступит раньше в тот приемник, кото­ рый находится позади.

Может возникнуть сомнение: не приведет ли нас подобный вывод к бессмыслице? Поскольку понятие одновременности относительно,

то может случиться

так, что

с точки зрения одной системы отсче­

та сначала стреляет

ружье, а

затем падает с ветки подстреленная

птица, а с точки зрения другой системы отсчета птица упадет рань­ ше, чем выстрелит ружье. Внимательный анализ показывает, что относительность последовательности событий ограничена скоростью распространения взаимодействия (меньше с). Поэтому «раньше» и «позже» могут меняться местами лишь в тех случаях, когда они не находятся в причинной связи (т. е. не являются результатом взаи­ модействия).

Весьма интересен вывод теории, касающийся собственного вре­ мени предмета,— так называют время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным'телом. Если по часам наблюдателя некоторой инерциальной системы прошло время т, то стрелка часов, движущихся с предметом, передвинется на время

Это означает, что произвольным образом движущиеся часы идут медленнее неподвижных *).

*) Эта формула находит экспериментальное подтверждение в опытах с и.- меэонами (см. стр. 542).

Надо отчетливо понять относительный смысл этого утверждения. Если два наблюдателя находятся в разных инерциальных системах, то каждый из них будет утверждать, что отстают часы другого на­ блюдателя. Казалось бы, возникает противоречие. Остановим на­ блюдателей и сверим их часы. Однако для того, чтобы произвести такую проверку, надо по крайней мере одного из наблюдателей за­ ставить проделать кольцевой путь. По возвращении на исходное место часы могут быть сверены. Но теперь суждения наблюдате­ лей потеряли относительность. Тот наблюдатель, который оста­ вался в инерциальной системе, имеет право применить написан­ ную выше формулу. Наблюдатель, совершивший кольцевой путь, двигался ускоренно, и формула т0 = т К і — Ра не может быть им применена. Значит, после возвращения «кольцевого» наблюда­ теля и сверки часов окажется, что отстали его часы, и он не может «оспаривать» этот результат, мотивируя принципом относительнос­ ти, который верен только для инерциальных наблюдателей.

§ 157. Масса

Если обозначить через т 0 массу тела, измеренную в системе координат, с ним связанной, то для наблюдателя, по отношению к которому это тело движется, масса будет равна

Величина т0 носит название массы покоя. Увеличение массы со ско­ ростью является естественным следствием основных принципов тео­ рии. Скорость света с является предельной скоростью для любых движений или передачи взаимодействия. При v=c масса любого тела обращается в бесконечность. Естественно, что ускорение тела дается с тем большей трудностью, чем ближе мы к пределу возмож­ ной скорости.

Возрастание массы со скоростью было впервые установлено для электронов 6-лучей еще в начале нашего века. Поскольку возможно раздельное определение скорости электронов v и отношения elm

(см. стр. 421), то, считая заряд электрона неизменным, мы

имеем

возможность проверить формулу для массы.

 

В настоящее время поправки, даваемые множителем

V\—[5а,

играют решающую роль при конструировании ускорителей заря­ женных частиц. Скорости частиц, достигаемые в современных уско­ рителях, столь велики, что, например, в одном из них р1 достигает 0,9986, и, таким образом, масса становится в 60 раз больше массы покоя. Во всех опытах, проводимых в земных условиях с макроскопическими телами, мы не нуждаемся в учете поправки |/~1—р*3 к значению массы. В то же время было бы желательным убедиться в ее справедливости не только для элементарных частиц. Такую воз­ можность дают точные астрономические наблюдения. Оказывается,

что изменение массы планеты Меркурий при ее движении по орбите объясняет небольшие отклонения орбиты от эллипса.

Выражение массы движущегося тела меняет формулу импульса, которая приобретает вид

 

 

'

-»/ 1

о •>

 

Заметим,

что закон Ньютона остается

в силе, если его писать

 

dp

 

 

 

 

к а к Р =

^ - .

В то же время

формула

F=ma

уже не будет справед-

< F =

^ - .

В то же вре

 

 

 

ливой во всех случаях.

§158. Энергия

В§ 10 мы нашли выражение энергии движущегося тела, найдя функцию, на возрастание которой затрачивается работа ускорения тела. Повторим эти вычисления с учетом поправок, которые дала теория относительности.

Работа перемещения тела на пути dl равна

dp

dl

 

Fdl = 1Jdl=dp1-

=

vdp,

где v — вектор скорости. Если эта работа идет на увеличение энер­ гии $ тела, то

d<§ = vdp =

vd

(mv)

= mvdv-\- v2 dm.

Так как

m„

 

 

,

mvdv

m =

: ,

то

 

dm •

 

значит,

 

 

 

 

mv dv

d<S=(\+ci(lv^^jmvdv,

 

 

 

т. e.

 

 

 

dtf^_( T -_

Сравнивая последнее выражение с формулой приращения массы,

находим: d$=c2dm,

т. е.

<§ = тс2.

Мы отбрасываем аддитивную постоянную, возникающую при инте­ грировании: при т=0 и g должно равняться нулю.

Таким образом, работа, сообщенная телу, идет на увеличение функции & =тс2, которая получает, следовательно, смысл энергии тела.

Фундаментальный результат этого вычисления заключается в следующем: увеличение массы тела сопровождается увеличением его энергии (а значит, затратой энергии со стороны); напротив, уменьшение массы тела или системы сопровождается уменьшением его энергии (а значит, передачей ее окружению). Между прираще­ нием массы и приращением энергии имеется прямое и универсаль­ ное соотношение, поскольку с2 есть постоянное число.

Смотрите также файлы