Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

— 6,98 хух^-

Предположим теперь, что во втором блоке экспериментов значе­ ния отклика уменьшены на 10 единиц, т. е. второе наблюдение имело бы значение 78,7 — 10 = 68,7 и т. д. Тогда

За исключением коэффициента Ь0, подогнанная модель тождест­ венно совпадает с первой. Таким образом, форма поверхности оди­ накового уровня остается неизменной, несмотря на то что во вто­ ром блоке все данные были уменьшены на 10.

Для того чтобы выявить различие, если оно имеет место, между данными из двух блоков, можно провести дисперсионный анализ. Сумма квадратов, обусловленная влиянием блоков, вычисляется по формуле

где B t — полная сумма квадратов для блока i, a.nt — число наблю­ дений в блоке і:

Число различных наборов данных минус число коэффициентов составляет 1 степень свободы (7 — 6 = 1) для суммы квадратов отклонений от эмпирической линии регрессии. Сумма квадратов ошибок подсчитывается сначала внутри каждого из блоков и затем полученные результаты объединяются. Так как в каждом блоке имеется по два повторных измерения, сумма квадратов ошибок дается выражением 2 d%!2 или

(4,4)' + (4,2)» = 1 8 ) 5

с двумя степенями свободы. Видно, что неадекватность не является значимой, члены второго порядка оказываются значимыми и что влияние блоков дает значимый вклад. Однако различие между блоками не влияет на форму поверхности отклика, так как все оценки коэффициентов, связанных с переменными х1г х2, х\, х\ и Хіх2, остались прежними.

зовании методов поверхности отклика, описанных выше, можно

непрактичным. Фиксирование уровней независимых переменных может привести к неэкономичным или просто опасным рабочим условиям, так что ортогональные планы могут оказаться несовме­ стимыми с производственными требованиями. Регулировка одной переменной может вывести другие переменные за пределы допусти­ мого интервала. Может оказаться непрактичным повторение опы­ тов в центральной точке.

2. Рандомизация может быть неосуществимой на практике; возможно, что опыты в намеченных точках не могут быть выполне­ ны в случайном порядке. Рандомизация устраняет возможность спутать влияние некоторой неконтролируемой независимой пере­ менной с наблюдаемым эффектом контролируемой переменной.

Две другие проблемы, связанные с методами поверхности откли­ ка, касаются предположений, лежащих в основе используемого метода линейной регрессии. Эти проблемы еще не разрешены и по­

ние регрессионного анализа, обсуждавшееся в гл. 4, состоит в том,

характер ошибок в переменных x-t совершенно неизвестен, и экспе­ риментальные данные анализируются так, как будто ошибок нет.

Бокс [7] показал, что стандартный статистический анализ справед­ лив, даже если экспериментальные уровни содержат ошибки, до тех пор, пока отклик линеен по х. Каждый случай квадратичной (по х) функции и других нелинейных функций должен быть рас­ смотрен отдельно, ибо величина ошибки, переносимой из пере­ менных X; в отклик, зависит от наклона поверхности отклика в со­ ответствующей точке плана. Двухуровневый факторный план и некоторые дробные факторные планы, по-видимому, весьма устойчивы по отношению к ошибкам в переменных х-г.

4. Использование планов для коррелированных данных. Второе основное предположение регрессионного анализа, используемое в методах поверхности отклика, состоит в том, что эксперимен­ тальные отклики некоррелированы; однако хорошо известно, что данные, полученные для непрерывных процессов, весьма часто подвержены влиянию различных трендов или сдвигов среднего уровня (низкочастотные изменения), а также сериальной или вре­ менной корреляции, несмотря на постоянные попытки избежать этого. Некоторые трудности анализа коррелированных данных описаны в разд. 5.4.

Наконец, следует упомянуть, что ортогональные планы, опи­ санные в этом разделе, составляют лишь один из многих полезных классов планов. Существует обширная литература по экспери­ ментальным планам другого типа, которые были предложены или использованы и примеры которых можно найти в соответствую­ щих ссылках в конце этой главы.

8.2. К А Н О Н И Ч Е С К И Й А Н А Л И З

В этом разделе будет дана графическая и аналитическая интер­ претация поверхности отклика (т. е. поверхности, описываемой оценкой уравнения регрессии). Поверхности, уравнения которых выражаются функциями двух экспериментальных переменных, нетрудно изобразить на двумерной плоскости, на которой отклик представляется в виде контуров постоянного значения. Поверхно­ сти, которые описываются уравнениями, содержащими три экспе­ риментальные переменные, также можно изобразить графически, хотя это и не так просто, как в предыдущем случае. Линд и Янг [8] предложили трехмерное устройство для воспроизведения повер­ хности отклика; можно составить машинную программу для построения графиков поверхностей отклика и воспроизведения их с помощью осциллографов. Если уравнение поверхности откли­ ка содержит больше трех экспериментальных переменных, то гра­ фическое изображение этой поверхности связано с большими труд­ ностями.

Для ясного понимания структуры поверхности отклика можно эффективно использовать канонический анализ, описанный в ра-