Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

боте [9]. Канонический анализ позволяет преобразовать оценку уравнения регрессии к более простой форме и интерпретировать полученное выражение с помощью геометрических понятий. Сна­ чала рассмотрим дву- и трехмерные поверхности, чтобы можно было сопоставить геометрические образы и алгебраические члены уравнения регрессии. Затем будет объяснено, как совершить каноническое преобразование. И наконец, на примере покажем,

Первоначальные

координаты

Ф и г . 8.2.1. Преобразование координат к главным осям.

как, используя каноническое уравнение, можно интерпретировать поверхность отклика, уравнение которой содержит много пере­ менных.

Каноническое уравнение представляет собой уравнение второго (или более высокого) порядка в первоначальной системе коорди­ нат, преобразованное к новой системе координат переносом нача­ ла координат в точку экстремума поверхности отклика и после­ дующим поворотом осей для достижения определенной симметрии. Общая процедура показана на фиг. 8.2.1. Здесь ^ и і 2 — старые

нение намного проще первоначального, так как из него исключены все члены первого порядка, а также члены взаимодействия. Напри­

сверху означает «в канонической форме». Перенос начала коорди-

Ф и г . 8.2.2. Контуры поверхностей отклика для моделей второго порядка с двумя независимыми переменными [10].

нат, указанный на фиг. 8.2.1, приводит к устранению линейных членов, а поворот осей — к исключению члена взаимодействия, входящего в уравнение (8.1.5). На фиг. 8.2.2 изображены типичные двумерные поверхности отклика, приведенные к первоначальным и главным осям.

х2 (с меньшим коэффициентом). Если координата центра на оси х2

они возникают, когда один из коэффициентов по абсолютной вели­ чине оказывается много меньше другого. На фиг. 8.2.2 дана лишь

при оценивании структуры поверхностей отклика.

Все, что говорилось о поверхностях отклика, уравнения кото­ рых содержат две экспериментальные переменные, можно распро­ странить на случай большего числа переменных. На фиг. 8.2.3 в качестве иллюстраций даны примеры для случая трехмерного

канонического уравнения

Если один или несколько коэффициентов Ъц малы, то поверхность имеет вид гребня. Другие характеристики поверхностей, приведен­ ные в табл. 8.2.1, также применимы для случая трехмерных поверх-

Ф и г. 8.2.3. Контуры поверхностей отклика для моделей второго порядка с тремя независимыми переменными [10].

ностей и поверхностей более высокой размерности. Таким образом, можно мысленно представить себе картину поверхности, если даже

еенельзя изобразить графически.

Для того чтобы осуществить преобразование к канонической

форме для модели второго-порядка, необходимо: 1) найти положе­ ние У е , центр новой системы в старых координатах, 2) перенести начало координат в точку, соответствующую Ye, и 3) повернуть оси относительно нового начала координат так, чтобы они совпали

с главными осями Ху, х2, . . . . Сначала выведем уравнение, по ко­ торому можно определить положение центра поверхности в экспе-

риментальном пространстве. Для сокращения записи часто будем использовать матричные обозначения.

Общее уравнение поверхности отклика второго порядка с тремя контролируемыми переменными, соответствующее выражению (8.1.9), можно записать в виде

Y = bo -f- M i + М г + М з + bnx\ + b22x\ + b33x\ +

Для получения полной матрицы оценки коэффициентов при сме­ шанных произведениях расщепляются на два равных слагаемых; по определению btj = Ъуг. Недиагональные коэффициенты btj равны половине соответствующих коэффициентов в обычном урав­ нении поверхности отклика.

Центр новой системы координат в экспериментальном простран­ стве должен быть расположен в точке экстремума (минимума или максимума) относительно старой системы; следовательно, для опре­ деления координат центра нужно приравнять нулю частные произ­ водные функции отклика, затем, используя вторые производные, выяснить, является этот экстремум минимумом или максимумом,

иразрешить получившуюся систему уравнений относительно

Для трехмерного уравнения второго порядка (8.2.3) общий член, получающийся при дифференцировании, равен

іФІ

Решение уравнения (8.2.6) относительно х дает набор координат точки экстремума:

Теперь для устранения членов первого порядка введем новые независимые переменные, которые должны измеряться от нового центра:

можно проверить, перемножая элементы соответствующих матриц;

в этом уравнении, как и требовалось, нет членов первого порядка. Последним шагом является поворот осей. Соответствующая процедура, детально описанная в приложении Б . 5, приводит к уравнению без членов взаимодействия. Наиболее существенным здесь является нахождение действительной унитарной (ортого­ нальной) матрицы U, такой, что после подстановки x' = s U x в урав­

нение (8.2.11) получается

где Xt — собственные значения матрицы b1 4 , определяемые уравне­ нием'det (b1 4 — XI) = 0 . Переменные х обозначают оси системы координат, изображенной на фиг. 8.2.2. Такую систему координат