Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл (30,27Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 749

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

546

Глава 8

ментальной оптимизацией состоит в том, что в последнем случае форма холма неизвестна; следовательно, ее описание может меняться от эксперимента к эксперименту.

Исследователю хотелось бы оптимизировать денежную прибыль от всего процесса, однако при этом так много качественных фак торов переплетаются с количественными (как, например, насколь ко безопасен процесс, сколько он будет продолжаться, какова роль

	•я.
а
Ф и г. 8.3.1. Восхождение на вершину холма	к а к аналог процесса оптими
зации посредством последовательного	экспериментирования.

а — трехмерное представление целевой функции F двух независимых переменных Х і и хг\

б — контурное представление целевой функции F двух независимых переменных жі и Х2.

примесей, удастся ли продать продукт), что на практике трудно установить универсальную целевую функцию. Поэтому исследо ватель обычно выбирает один или несколько главных откликов процесса, приписывает им веса по их стоимости или исходя из не которых субъективных соображений, чтобы образовать целевую функцию, и решает, каким ограничениям должны удовлетворять эти отклики и контролируемые переменные. В качестве простого примера целевой функцией может служить просто выход химиче ского реактора, а ограничениями — тот факт, что контролируемые переменные процесса должны быть положительными.

8.3.1. Метод Бокса — Вильсона (градиентный

метод)

В 1951 г. Бокс и Вильсон стали пропагандировать новую кон цепцию в экспериментировании, подметив тот факт, что для мно гих процессов исследователь не столько заинтересован в испыта нии переменных процесса на значимость, сколько в простом опре делении наилучших рабочих условий процесса. Более ранняя работа на эту тему принадлежит Хотеллингу [12]. Описываемый здесь метод разработан Боксом и его сотрудниками [2, 9, 10, 13, 14], которые использовали планы экспериментов и анализ поверх ности отклика, рассмотренные выше в разд. 8.1 и 8.2.

Пусть требуется найти экстремум (например, максимум) откли ка У, зависимой переменной квадратичного выражения (8.1.10).

Стратегия эффективного экспериментирования 5 4 7

Так как истинная функциональная форма поверхности отклика неизвестна, в принципе вместо выражения (8.1.10) можно исполь зовать любую функциональную форму, однако первую легче под

гонять	и интерпретировать, и поэтому именно она используется
в методе Бокса — Вильсона.		Цель состоит в том, чтобы	найти
такую	комбинацию значений	xt, которая оптимизирует	отклик

в той области g-мерного пространства наблюдений, где эксперимен тирование можно осуществить с наименьшими затратами или при наименьшем возможном числе экспериментальных наблюдений. Необходимое число наблюдений, конечно, будет зависеть от тре буемой точности оценивания, а также и от его стоимости.

Так как оценка поверхности отклика представляет истинную функциональную связь лишь в некоторой локальной области,, используются простейшие возможные модели. Обычно эксперимен татор начинает работу с моделей первого порядка, пока не будет достигнута окрестность оптимального значения. По начальной оценке поверхности отклика он определяет направление наиско рейшего подъема, вычисляя составляющие градиента функции У. Градиент функции У можно нормировать, разделив его на норму

I V У I, что дает единичный		вектор
	SY	. дУ .
уу „ ^ 7 6 l + ^ Ô 2 + - - -			{ 8 3 Л )
I ѴУ I	г[vi 2/ dY( \2£-\|i/aП '
составляющие которого	определяют относительный		размер шага

по каждому из координатных направлений xt для наискорейшего подъема. Единичный вектор градиента оценки регрессионной

функции первого порядка У =	Ъ0 +	+ Ъгхг равен
_	6161 + 6262	(8 3	2)
\VY\~	VkJ+Щ *	'	;

т.е. некоторому постоянному (не зависящему от х) вектору. Единичный вектор градиента оценки регрессионной функции

для модели второго порядка

У	== Ь0 +	ЬіХі + bzx2 + Ъпх\	+ Ъггх\	\ Ъі2ХіХг		(8.3.3)
имеет	вид
	VY	(6і + 2fcu*i + 612^2) 61 + (b2		+ Zb22x2 + bi2xi)	ô2	(8.3.4)
	\| V Y \|	- [(бі + г Ь ц ^ + Ь ^	+ ^г + гбгг^ + ЬігЖі)2]172			(8.3.4)
	\| V Y \|	- [(бі + г Ь ц ^ + Ь ^	+ ^г + гбгг^ + ЬігЖі)2]172

и меняет свое положение в пространстве наблюдений, как пока зано на фиг. 8.3.2, ибо является функцией ху и х2.

548

Глава 8

После того как направление наискорейшего подъема установле но, экспериментатор выбирает для экспериментирования некото рую новую локальную область на некотором расстоянии в направ лении вектора наискорейшего подъема. На какое расстояние отой ти для дополнительного экспериментирования, зависит от модели, стоимости и т. п. или просто от интуиции. В этой новой области

а	ô
Ф и г. 8.3.2. Векторы,	указывающие направление наискорейшего подъема
	для модели второго порядка .

собирают данные для подгонки модели первого порядка, и весь цикл повторяется снова. Так шаг за шагом достигаются все более и более высокие значения отклика.

Однако одних моделей первого порядка недостаточно для опре деления максимума отклика, если он лежит внутри исследуемой области пространства наблюдений, а не на границе, так как по мере того, как экспериментатор приближается к экстремуму, составляющие градиента уменьшаются и тем самым становится все труднее их оценивать. После достижения ближайшей окрест ности оптимального значения определение оптимальной точки требует ряда «координатных» экспериментов и использования моде ли второго порядка.

На практике, двигаясь вдоль пути наискорейшего подъема, исследователь может обнаружить, что один (или несколько) коэф фициент уравнения поверхности отклика станет очень малым раньше других. В этом случае следует рассмотреть три возмож ных объяснения:

1.Переменная находится вблизи своего оптимального значе

ния.

2.Схема кодирования дает слишком малый интервал варьиро вания, слабо влияющий на процесс подгонки (проблема масштаба).

Стратегия эффективного	экспериментирования	549
3. Переменная в действительности	не является значимой.

Проблемы 2 можно легко избежать, с самого начала выбирая под ходящую схему кодирования; движение в сторону от направления наискорейшего подъема поможет разрешить проблему 1. Для рас познавания проблемы 3 можно использовать критерии, описанные в разд. 5.3 и гл. 7.

Как только достигнута область экстремума и модель нужного порядка подогнана к экспериментальным данным, можно оценить положение оптимальной точки. Если экстремум Y расположен на одной из границ, как точка В на фиг. 8.3.2, б, то одномерный поиск (последовательность экспериментов с изменением лишь переменной Ху) вдоль этой границы даст максимальное значение Y. В случае многомерного пространства наблюдений несколько пере менных могут быть равны своим физическим предельным значени ям; следовательно, несколько переменных в модели можно будет поддерживать на постоянных уровнях и в то же самое время позво лить изменяться остальным. Если экстремум лежит внутри иссле дуемой области, как точка А на фиг. 8.3.2, а, его положение можно достаточно точно установить, определяя аналитически максимум (или минимум) функции отклика. В случае двух независимых пере менных, согласно критерию Лагранжа, функция ф должна в неко торой ограниченной области удовлетворять необходимым услови ям (определяющим стационарную точку)

		\| £	= 0 и		\| * = 0			(8.3.5)
		ОХу			ОХ2
и достаточным условиям:			В2	— АС <			А + С <
в	случае	максимума	В2	— АС <		0 и	А + С <	О,
в	случае	минимума	В2	—	<	0 и	Л + С >	0, где

А==дІі	в= э 2 ф	С = ^-.
дх\ '	дху дх2 '	дх\

Если В2 — АС > 0, имеет место седловая точка; если В2 —	АС =
= 0, природа стационарной точки неопределенная (нужно	иссле

довать высшие производные).

Для функций отклика, включающих более двух независимых переменных, для проверки достаточных условий удобно образо вать матрицу Гессе, или гессеан,

h =

где

h k	2 dxj dxk »

550	Глава 8
и подсчитать hjh	в стационарной точке пространства наблюдений.

Если каждый из главных миноров h в стационарной точке отрица тельно определен ( < 0), то отклик имеет максимум; если каждый из главных миноров h положительно определен ( > 0), то отклик имеет минимум.

Экспериментатор может провести дисперсионный анализ, как описано в разд. 8.1, используя экспериментальные данные в окре стности точки оптимума, чтобы установить значимость соответ ствующих переменных и адекватность модели. Если некоторая модель второго или более высокого порядка достаточно хорошо аппроксимирует данные, после того как положение оптимальной точки определено, поверхность отклика можно изобразить графи чески (для дву- и трехмерных моделей) и осуществить каноническое преобразование уравнения отклика, как описано в разд. 8.2. По знакам и относительным величинам коэффициентов в канониче ском уравнении нетрудно получить представление о структуре поверхности отклика

Пример 8.3.1. Оптимизация посредством последовательного

экспериментирования

Метод оптимизации был применен к процессу, в котором зависи мая переменная Y, качество продукта, связана со следующими тремя независимыми переменными:

		Единицы	Возможный
Переменная		Единицы	интервал
Переменная		измерений	интервал
			изменения
Вязкость (ХІ)		Н -С/м 2	1 — 100
Давление	(ж2 )	к г с / с м 2	1—100
Скорость	подачи (х3)	кг/мин	0—100
Цель исследования — максимизировать			качество. Каждая

независимая переменная была кодирована следующим образом:

х,—50 25

Д л я уменьшения начального числа экспериментов в центре экспериментального пространства была выполнена полуреплика факторного плана 23 с четырьмя повторениями в центре, что дало следующие результаты (в некодированном виде):

х2

хз

Х2

Хз