Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

По первым четырем наборам данных можно вычислить оценку дис­ персии ошибки а\

se = 63.

Коэффициенты в оценке уравнения регрессии

Далее, достаточно проницательный экспериментатор может начать экспериментирование вблизи оптимальных условий, почти на вершине холма. При этом уравнение плоскости не будет доста­ точно хорошей аппроксимацией поверхности отклика, ибо поверх­ ность отклика будет иметь значительную кривизну. Однако в дан­ ном случае для остаточной суммы квадратов была оставлена лишь одна степень свободы (п — m = 5 — 4), что не позволяет провести достаточно корректно дисперсионный анализ на этом этапе опти­ мизации. В целях уменьшения объема экспериментирования был сделан один шаг в направлении к точке оптимума, а затем был составлен полный факторный план. Конечно, вместо этого можно было бы провести несколько контрольных шагов в направлении градиента, чтобы посмотреть, насколько хорошо подтверждается модель (а), и продолжать их до тех пор, пока можно было бы с до­ статочной уверенностью экстраполировать это уравнение.

Нормированный градиент функции отклика (а) равен

дУ . . дУ . . ÔY .

0,54А + 0,48ôj + 0,616g. (б)

Основываясь на выражении (б), но учитывая приближенный характер выражения (а), заменим значения х для плана 23 с цен­ тром в точке (50, 50, 50) на значения для факторного плана 23 (ядро центрального композиционного плана) с центром в точке <85, 85, 85).

Чтобы не превысить заданные верхние пределы, переменные были перекодированы так, что

X J — 8 5

Zi = —i.

552 Глава 8

и факторный эксперимент 23 дал следующие результаты (в некоди-

что дисперсия ошибки не была постоянной (сравните 30 440 и 4030) и модель первого порядка обеспечивала достаточно хорошую под­ гонку.

(табл. П.8.3.16). Из этого дисперсионного анализа следует, что переменную хг вполне можно исключить из модели.

Весьма часто оказывается возможным, особенно к тому момен­ ту, когда все уже готово для подгонки модели второго порядка, исключить из модели некоторые переменные. Это, конечно, умень­ шает необходимое число опытов и упрощает экспериментирование. Для того чтобы предотвратить ошибки, вызванные кодированием переменных, приводящим к слишком малому изменению перемен-

1) Используется объединенная оценка дисперсии sf-. = =24 015; F 0 ) 9 5 (1, 7) = 5 ,59.

нои xt, осуществляют опыт, в котором рассматриваемая перемен­ ная ХІ изменяется на большую величину. Это можно сделать в сле­

При описании процедуры движения в направлении наискорей­ шего подъема не упоминались никакие специальные масштабные множители, однако очевидно, что экстремальная экстраполяция скорее может увести в сторону от оптимального значения, чем приблизить к нему (см. снова фиг. 8.3.2,6). Нужно провести изме­ рения в одной из экстраполированных точек. Если наблюдаемое значение отклика близко к вычисленному значению, можно экстра­ полировать дальше. После одной или нескольких экстраполяции модель (в) уже больше не будет правильно предсказывать значение отклика. Тогда нужно определить новый набор коэффициентов, проводя дополнительные опыты таким же способом, как при полу­ чении модели (в). Однако на этом этапе для рассматриваемого эксперимента возникло такое положение, как будто оптимальные рабочие условия находились вблизи верхних пределов, по крайней мере для xt и х3. Следовательно, скорее в предвидении такой воз­ можности, чем двигаясь строго в направлении наискорейшего подъма, определяемого выражением (г), в качестве плана 23 была выб­ рана полуреплика с центром при х^ = х2 = х3 = 97,5. Получи-

лись следующие экспериментальные результаты:

После этих экспериментов стало ясно, что при таких высоких зна­ чениях качества для процесса характерна очень большая измен­ чивость, маскирующая влияние изменений соответствующих трех переменных. При значениях xt = 98,0, х2 = 99,0 и х3 = 99,0 (была проведена серия из трех повторных экспериментов:

•откуда получили s| = 6,55 -104 nse = 254. Исходя из этого доволь­ но большого значения среднего квадрата, вместо дорогостоящего проведения повторных экспериментов было начато исследование причин заметной изменчивости величины Y. Было достигнуто •существенное улучшение рабочих условий и четко выявлено боль­

•с несколькими откликами. На вопрос о том, как посредством экспе­ риментирования оптимизировать многооткликовые модели, нет достаточно определенного ответа. При одном подходе к этой про­ блеме, в котором используется одномерная модель отклика, состав­ ляется линейная комбинация индивидуальных откликов. Если объединенную целевую функцию построить нельзя, нужно анали­ зировать каждый отклик отдельно. После каждого этапа экспери­ ментирования каждый отклик следует обсудить с точки зрения его относительного влияния на выбор области для следующей серии экспериментов. Например, Линд, Голдин и Хикмен [15] провели ряд экспериментов с целью определения влияния комплексообразующих реагентов на выход некоторого антибиотика. Они исполь­ зовали модель второго порядка с двумя откликами: 1) стоимостью и 2) выходом продукта. На фиг. 8.3.3 в виде контурных диаграмм в двумерном пространстве наблюдений показаны эти два отклика вблизи их оптимальных'значений. Авторам работы удалось найти новые рабочие условияДпри которых выход продукта увеличился

на 5%, а его стоимость снизилась на 5 долл. за 1 кг, так как обе точки оптимума попали внутрь области, доступной для экспери­ ментирования, и матрица независимых переменных для обоих откликов была известна приблизительно в той же области. Конеч­ но, такие благоприятные условия имеют место далеко не всегда.

3.0

хп процент А

Фи г . 8.3.3. Контуры стоимости (одного килограмма) и контуры выхода продукта в виде функций от концентраций двух комплексообразующих реагентов А и В для некоторого антибиотика [15].

Много других примеров оптимизации моделей со многими отклика­ ми посредством экспериментирования дано в работе [16].

Хантер [17] определил эволюционное планирование как «метод, заставляющий производственный процесс давать информа­ цию о самом себе, которая немедленно используется без ухудше­ ния качества продукции и уменьшения производительности». Этот подход является преднамеренно упрощенным методом экспе­ риментальной оптимизации, который предназначается для непо­ средственного применения заводским персоналом. Хорошую свод­ ку теоретических и расчетных аспектов ЭВОП можно найти в рабо-