Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 743

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

560

Глава 8

Сущность этих правил состоит в использовании лишь самых последних наблюдений, а также частых, но малых изменений неза­ висимых переменных. Метод, который будет описан ниже, приме­ ним к правильным симплексам. (Симплексы изменяющихся разме­ ров из разд. 6.2.1 еще недостаточно проверены при эксперименталь­ ной в отличие от детерминистической оптимизации. Если отклик содержит ошибку, возникает опасность, что система симплек­ сов окажется «привязанной» к неоправданно высокому (низкому) отклику). Вершины правильного симплекса (фиг. 6.2.1) представля­ ют план первого порядка с минимальным числом эксперименталь­ ных точек. Если используются g переменных, правильный сим­ плекс содержит g + 1 вершин. В разд. 6.2.2 был полностью опре­ делен правильный симплекс с длиной ребра а, одна из вершин которого помещена в начало координат (0, 0, . . ., 0). Желательно выбрать такой масштаб для каждой независимой переменной, чтобы единичное изменение любой из них вызывало приблизитель­ но такое же изменение отклика.

Экспериментальная оптимизация осуществляется путем построе­ ния на грани старого симплекса некоторого нового симплекса напротив вершины, соответствующей самому плохому отклику, как показано на фиг. 6.2.1. Новая точка, добавляемая к симплексу, определяет условия проведения нового эксперимента; таким обра­ зом, при каждом продвижении план включает g старых экспери­ ментов и один новый. Для определения координат х н о в добавляе­ мой вершины, которая является зеркальным изображением исклю­ чаемой точки, возьмем удвоенное среднее по всем координатам общих точек (которые остаются в симплексе) и вычтем координаты исключаемой вершины ху.

2

Хнов = — (хі -Ь х 2 + . . . + Х;-_і + х і + 1 + . . . 4- Xq+i) — Xj = q+l

i = l

где xt — вектор координат вершины i. Координаты центра нового симплекса равны

 

1

9 + 1

 

 

с аов =

-^ру-[Е Хі~~х;

+ х н о в ] ,

(8.3.8)

 

 

»=i

 

 

а предсказываемый отклик в точке х н о в равен х )

 

^ H O B =

Y 2 ^ - ( T

+1 ) ^ -

(8.3.9)

 

і=1

 

 

 

1 ) Данное соотношение справедливо лишь постольку, поскольку спра­ ведливо предположение о локальной линейности функции отклика относи­ тельно независимых переменных в области симплекса.— Прим. ред.

Стратегия эффективного экспериментирования 561

Ниже приведены правила оптимизации с использованием после­ довательного симплексного метода [21, 22].

1. На каждом этапе устанавливается наинизший отклик и ис­ ключается соответствующая вершина из симплекса. Исключен­ ная вершина заменяется новой, координаты которой вычисляются по формуле (8.3.7).

2. Чтобы уменьшить риск зацикливания около точки, соответ­ ствующей некоторому неоправданно высокому отклику (если эта точка сохраняется в q + 1 симплексе и не исключается соглас­ но правилу 1), этот отклик отбрасывается и заменяется на резуль­

тат нового повторного опыта

в данной

точке.

3. Если новый отклик YH0B

является

наинизшим в новом сим-'

плексе, то, чтобы можно было двигаться вдоль гребня, правило 1

не применяется, а возвращаются к предыдущему симплексу; вместо

X j исключается вершина,

соответствующая второму из наинизших

откликов. Это приводит к

движению симплекса по второму наибо­

лее

благоприятному направлению.

4.

Если экспериментальная ошибка слишком велика по срав­

нению с ожидаемыми изменениями отклика, то, чтобы избежать появления ошибки смещения, все старые наблюдения заменяются на новые после каждого 2 (g + 1)-го эксперимента.

5.Новая вершина, не удовлетворяющая какому-нибудь огра­ ничению, заменяется на альтернативную вершину, выбранную согласно правилу 3.

6.Чтобы ускорить поиск оптимального значения, применяется одно из правил разд. 6.2.

7.Чтобы подойти к оптимальному значению (если оно не меняется с течением времени), последовательно уменьшается раз­

мер

симплекса (используется некоторый множитель, напри­

мер

Ѵ4).

Спиндлей, Хецт и Химсуорс, используя имитированные дан­ ные, сравнили последовательный симплексный метод с одномерным поиском, факторными экспериментами, методом наискорейшего подъема и случайным поиском; они пришли к выводу, что последо­ вательный симплексный метод, вообще говоря, столь же удовле­ творителен, как любой другой. План на основе правильного сим­ плекса является как эффективным, так и ротатабельным и дает оптимальную оценку наклона поверхности отклика в присутствии ошибки. Наиболее сильными сторонами последовательного сим­ плексного метода, по-видимому, являются следующие: 1) направ­ ление продвижения зависит лишь от ранжировки откликов, а не от их абсолютных значений, 2) метод можно относительно просто распространить на случай большего числа измерений и 3) на каж­ дом этапе необходимо провести лишь один эксперимент. Как было замечено с помощью имитированных данных, траектория движения при использовании последовательного симплексного метода при-

562 Глава 8

близительно такая же, как при применении метода наискорейшего подъема, что и можно было ожидать из характера локальной линеаризации поверхности отклика, связанной с симплексом.

8.3.4.[Оптимизация методом прямого поиска

Метод, при котором каждая независимая переменная изменяет­ ся по очереди, циклически, также можно использовать для опти­ мизации посредством экспериментирования. Если Y — неизвест­ ная функция нескольких переменных жц х2, • • -, xq, то в любом

реальном эксперименте значения xk

будут ограничены снизу ниж­

ним пределом lk

и сверху верхним пределом uk. В матричных обо­

значениях, где

x = («j, х2, . . .,

хч)Т, неравенство

КX < U

определяет допустимую область. В процессе экспериментирова­ ния изменяют значения xk. Если при этом значение переменной оказывается меньше lk или превышает uh, то вместо планируемых значений подставляют предельные значения.

Поиск оптимального набора рабочих условий х* производится по циклам, начиная с некоторого начального набора значений xhf обозначаемых xßK Для того чтобы начать п-ж цикл, изменяют каж­ дое значение xk для предыдущего цикла и измеряют величины Y* Можно изменять одну переменную xh или одновременно изменять

все xh или же, как описывалось

в гл. О при

изложении метода

Хука — Дживса [23], можно

осуществлять

последовательные

индивидуальные изменения, за которыми следуют групповые. Принятие решения о том, как изменять переменные xk на п + 1-м цикле, основа'но на изменениях величин Y, отмеченных на п-ж цикле.

Теперь опишем один из методов прямого поиска, при котором не требуется записывать функциональную форму модели. Начиная с тг-го цикла, изменения набора.значений xk можно осуществить следующим образом (индекс при векторе х<и> указывает порядок проведения изменения, индекс в круглых скобках означает номер

цикла, a

ôjj7" — изменение величины

х^):

 

 

 

 

 

Порядок

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Векторное

Отклик

0 (старт)

[х[

 

— 8[

 

]

[х2

—ô2

]

 

. . .

[4">-

op

обозначение

 

0

 

 

 

 

х о

1

1

 

 

п)

+ ô<

п)

] [х

ю

 

n)

 

]

. . .>n

[xq

( ю-

•finю

 

„(71)

y(7l>

[х[

 

 

 

 

п)— ô'

 

 

Ä l

y(7l)

2

 

п)

 

 

n)

 

 

2п)

 

 

n )

 

 

n)

 

+ 8 ]

„(71)

уШ

 

 

 

 

 

 

 

[х[ —ô<] [х

 

... [X™-

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

ôH

А 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

„(71)

 

q

[x\

-o\

>][x2

>-ô2

>] ... [4

fiH-

 

 

Xg

1

9

 

 

 

 

n)

n

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

П )

 

 

„(71)

У(71)

(8.3.10)

Стратегия

эффективного

экспериментирования

563

Величины ô можно вычислять практически любым способом и мож­ но постепенно уменьшать их от цикла к циклу или же они могут возрастать или спадать в зависимости от достигнутого успеха или неудачи в улучшении У , как в методе Хука — Дживса. Здесь величины ô уменьшаются,по закону

 

 

 

 

 

W

=

l = Z * ^ t

 

 

 

(8.3.11)

где

0^ = 0,1 (ыь—h)-

В

качестве

начального

условия

для хъ

возьмем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xil)

= j(uh

+ h).

 

 

 

 

(8.3.12)

Из

некоторой

серии экспериментов получается ряд

значений

У , п ) ,

указанных

в списке

(8.3.10). По этим значениям

Уд-П> прини­

мается некоторое решение, как изменить величины xk

для следую­

щего

цикла,

согласно

следующему правилу:

 

 

 

 

 

 

 

 

4 w " = 4 n , + A r M n -

 

 

 

 

(8.3.13)

Символ

А Й п >

определяется

на п-м

цикле в

соответствии

со сле­

дующими правилами:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

+ 1 ,

если

У<-"> — У < ш > 0 ,

 

 

 

 

 

 

ДУ»»=<

0,

если

УУ" — Уд п )

= 0,

 

(8.3.14)

 

 

 

 

[

— 1 , если

У , п ) — У ' п

>

< 0 .

 

 

 

Постоянные

 

связанные с ôfcn>, принимают произвольные

значе­

ния

и

могут

быть вычислены, например,

по

 

формуле

 

 

 

 

 

 

 

4"»= {-%1ак1>

 

 

 

 

(8.3.15)

где

 

= 0,2 (uh

— lk)

=

2Ô£\ Постоянную

p

 

можно

положить

равной единице или приравнять любому ускоряющему множителю, выбранному так, чтобы процесс оптимизации сходился быстрее, чем при р = 1.

После выполнения ряда последовательных экспериментов, ука­

занных в списке (8.3.10), знак

становится известным. Далее,

может оказаться желательным,

оставаясь на том же цикле,

одно­

временно скорректировать все величины xh,

чтобы ускорить

схо­

димость:

 

 

 

x<?'h) = x{P + h№a(?\

(8.3.16)

где h — вторичный коэффициент, равный 1 для первой совместной корректировки, 2 — для второй и т. д. Корректировка по формуле (8.3.16) продолжается до тех пор, пока величины У ( П ) не переста-

 

\

564

Глава 8

нут возрастать в цикле, т. е. пока не нарушатся неравенства

y(n; 1) у ( п ; 2) ^

^ у(п; Л- 1) ^ у(п; Л)

(так как величина У ( п ' Л ) оказывается меньше, чем У ( п ' Л - 1 ) ) . При этом начиная n + 1-я цикл, величину х& приравнивают выра­ жению

Вообще говоря,

описанная выше последовательность сходится

к точке локального

оптимума х*; практически она может сходить­

ся довольно быстро, так что требуется не слишком много циклов. Некоторые легко удовлетворимые требования для сходимости процесса указал Фабиан [24]. Если отклик некоторого гипотети­ ческого процесса имеет лишь один экстремум, рассмотренная последовательность сходится к нему; если же существует несколь­ ко экстремумов, конечно, нельзя гарантировать, что будет найден абсолютный экстремум, однако в практических расчетах это ослож­ нение не является существенным. Радикальное изменение исход­ ной точки может помочь исследователю выяснить структуру целе­ вой функции, но требует дополнительного экспериментирования. Главным преимуществом метода прямого поиска является то, что при возрастании числа переменных свыше трех или четырех число экспериментальных серий при добавлении каждой переменной оказывается намного меньше, чем для экспериментов факторного типа. При выборе подходящего значения р для улучшения схо­ димости к оптимуму экспериментатор может также попытаться использовать свое личное знание характера эксперимента.

Пример 8.3.2. Оптимизация без модели [25]

Был выполнен некоторый эксперимент по определению макси­ мального коэффициента затухания для смеси лимонной кислоты, дигидратфосфата натрия и хлористого натрия, в котором изме­ нялись три переменные: xt — длина волны; х2 — концентрация лимонной кислоты; xs — концентрация хлористого натрия. Коэф­ фициент затухания измерялся с помощью фотометра. Допустимые значения для каждой переменной, необходимые постоянные и на­ чальные условия, полученные с использованием выражений (8.3.11), (8.3.12) и (8.3.15), были таковы:

h

 

5000

4000

4500

100

200

ч

2

0

1

0,2

0,4

7,5

2,5

5

0,5

1,0

Смотрите также файлы