Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 742

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

Стратегия

эффективного

 

экспериментирования

565

 

 

 

 

 

Таблица

П.8.3.2а

п

 

6(«)

б(«)

 

 

 

1

100

0,20

0,5

200

0,4

1

2

—80

- 0 , 2 0

- 0 , 4

—120

—0,25

- 0 , 6

3

80

0,15

0,4

80

0,20

0,4

4

- 7 0

- 0 , 1 5

- 0 , 3 5

—70

—0,14

- 0 , 4

В табл. П.8.3.2а приведены некоторые (округленные) значения ôf e и ak, необходимые для расчетов, основанных на соотношениях

6g») =

( - l f + i ô l 1 ' (l/n1 /*) и

< >

=

( — l ) n + 1 o i "

(1/ra3/4).

 

 

В

табл.

П.8.3.26

приведены

результаты

расчетов

для

пяти

циклов. В цикле п =

1 (и в последующих циклах) начальные усло-

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

П.8.3.26

Цикл

Опыт

Переменные

 

Коэффициент

 

 

 

 

 

 

затухания

 

 

п

І

ж (п)

 

 

 

у(п)

h = 1

fe = 2

й = 3

 

 

 

 

 

1

1

*

4500

1

5

 

313

200

0,4

1

 

0

4400

0,8

4,5

 

 

 

 

1

4600

0,8

4,5

46

- 2 0 0

 

 

 

2

4400

1,2

4,5

266

 

- 0 , 4

 

 

3

4400

0,8

5,5

288

 

 

—1

 

4

4300

0,6

4

 

819

 

 

 

 

5

4100

0,2

3

 

1696

 

 

 

 

6

3900

0

2

 

4140

 

 

 

 

7

3700

0

1

 

3200

 

 

- 0 , 6 0

2

*

3900

0

2

 

4140

- 1 2 0

- 0 , 2 5

 

0

3980

0,20

2,4

2850

 

 

 

 

1

3720

0,20

2,4

4210

—120

- 0 , 2 5

 

 

2

3980

0,00

2,4

3240

 

- 0 , 6 0

 

3

3980

0,20

1,6

3120

 

 

 

4

3780

0

1,4

4080

 

 

 

 

5

3660

0

0,8

3100

90

0,20

0,40

3

*

3780

0

1,4

4080

 

0

3700

0

1,0

3700

 

 

 

 

1

3860

0

1,0

4350

90

—0,20

 

 

2

3700

0,15

1,0

3400

 

- 0 , 4 0

 

3

3700

0

1,8

3600

 

 

 

4

3870

0

1

 

4400

 

 

 

 

5

3960

0

0,6

3980

 

—0,14 - 0 , 4 0

4

*

3870

0

1

 

4540

- 7 0

 

0

3940

0,15

1,35

4010

- 7 0

 

 

 

1

3800

0,15

1,35

4700

—0,14

 

 

2

3940

0

1,35

4150

 

—0,40

 

3

3940

0,15

0,65

4120

 

 

 

4

3800

0

0,6

4800

 

 

 

 

5

3720

0

0,2

4300

 

 

 

5

*

3800

0

0,6

4800

 

 

 

566

Глава 8

вия занимают строку, отмеченную символом *. Вторая строка, соответствующая опыту j = 0, свидетельствует о выполнении эксперимента после изменения начальных условий в соответствии с первой строкой списка (8.3.10), т. е. после вычитания баѵ из каж­ дой переменной:

4500 - 100 = 4400; 1 - 0,2 = 0,8; 5 - 0,5 = 4,5.

Следующая строка, соответствующая j

= 1, получается при изме­

нении каждой переменной

последовательно на + о"'.

Решение

о том, сохранить ли новое

значение х№ѵ

или вернуться к

старому

после осуществления изменений, предписываемых строками списка

(8.3.10), зависит от того, увеличивается

или уменьшается

Yfy.

Если Yf

возрастает,

принимается новое

значение хп1У;

если

нет,

оставляется

старое

значение xf\

Для

7 =

1 имеем

46 <

313,

так

что для jej1' оставляется

значение 4400;

для

j — 2

получаем

266

< 313,

т. е. для я'1 ' оставляется

значение

0,8

и т. д. На пер­

вых

трех

шагах

(/ =

1, / =

2 и / =

3) устанавливается

знак

Д^"

для

дальнейших

расчетов в

цикле

1.

 

 

 

 

 

После того как эксперименты, предусмотренные списком (8.3.10) , были завершены и найдены значения Д£>, выражение

(8.3.11) было использовано для ускорения

изменения У*1». Для

h =

1 (строка

7 = 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z(i;i> =

4500 +

1 (-200)

=

4300,

 

 

 

=

1

+

1

(-0,4)

=

0,6,

 

 

 

4 і ; і ) =

5

+

1

(-1,0)

=

4.

 

 

Для

h = 3 (7 =

6 ) значение

а#;з> =

1 + 3

(-0,4)

= —0,2 ока­

залось меньше

значения

12 =

0, следовательно, переменная s*1:3*

была

положена

равной

нижнему пределу,

т. е. 0.

Ускоряющая

последовательность продолжалась в соответствии с выражением

(8.3.11)

до 7 = 7,

когда

оказалось, что У^і*) <

У(і;з>? т .

е .

3200 <

4140. На этом этапе в соответствии с выражением (8.3.17)

были получены следующие

данные:

 

 

x™ = 4500 + (4 -

1) (-200) = 3900;

 

 

я"2 ' == 1 + (4 — 1) (—0,4) =

—0,2, использовалось

значение

0;

ж<2> = 5 + (4 - 1) ( - 1 ) = 2; У<2) = 4140.

Были вычислены новые значения ôf t (вторая строка табл. П.8.3.2а), по формуле (8.3.15) получены новые значения ак и вся процедура повторена, начиная с нового цикла. На фиг. П.8.3.2а показаны значения независимых и зависимой переменных, полученные в про­ цессе оптимизации. К концу четвертого цикла переменная У стала

Стратегия эффективного

экспериментирования

567

равной 4800,

= 3800, х2 = 0 и х3

= 0,6; за это время

было

выполнено 26

экспериментов.

 

 

Для более точного определения положения оптимального зна

чения в конце процедуры оптимизации

(или в ходе этой процеду­

ры при отсутствии взаимодействия) может оказаться полезным по­ строение графика оценок производных гипотетической поверхности отклика.

5000 Т 7,5 i

/ / / / /

2 3 4

1

1 1 1 2

3 4

Цикл п

 

 

Цикл п

 

* 4* 5 6 4 4 4

*

4 5 6 4 4 4

Шагj

 

 

Шаг j

 

Ф и г . П.8.3.2а.

Отношение [Yjn) — У^п , ]/20ьп ) можно рассматривать как неко­ торую оценку частной производной от функции отклика зависимой переменной (если такая производная существует) в точке х ( П ) . Говорят, что переменные не взаимодействуют, если такая аппрок­ симация частной производной зависит только от k-ж координаты X™. Если условие отсутствия взаимодействия не удовлетворяется, становится очевидным, что полученные оценки производных, вооб­ ще говоря, нельзя соединить гладкой кривой.

568

Глава

8

Д ля рассмотренного примера получаются следующие произ­

водные по длине волны

при

ее значениях 4500, 3900, 3780

5500

4000

4500

Ф и г . П.8.3.26. Аппроксимирующая

к р и в а я

для оценивания производной.

и 3870 соответственно для первых четырех циклов:

46 — 313

. 0

,

4210 — 2850

- 8 , 5 0 ,

200

• = - 1 , 3 4 ,

— 160

 

 

 

4350 — 3400

5,94,

 

4 7 0 0 _ 4 0 Ю

- 4 , 9 2 .

160

 

— 140

 

 

 

Соответствующий график показан на фиг. П.8.3.26. Аппроксими­ рующая кривая проходит через нуль приблизительно при x t = = 3800.

8.4. П О С Л Е Д О В А Т Е Л Ь Н Ы Е П Л А Н Ы Д Л Я

У М Е Н Ь Ш Е Н И Я

Н Е О П Р Е Д Е Л Е Н Н О С Т И О Ц Е Н О К

ПАРАМЕТРОВ

В первой части этого раздела будет предполагаться, что выбра­ на единственная адекватная модель, возможно из некоторой груп­ пы различных приемлемых моделей, и требуется улучшить оценки коэффициентов этой модели. Каким образом нужно проводить дополнительные эксперименты, чтобы наиболее эффективно решить поставленную задачу? Как уже отмечалось ранее, если экспери­ менты не были надлежащим образом спланированы, оценки коэф­ фициентов модели могут оказаться не только неточными, но и силь­ но коррелированными. Бокс, Хантер, Дрейпер и их сотрудники

Стратегия

эффективного

экспериментирования

569

внесли важный вклад в развитие методов, основанных на исполь­ зовании последовательных планов для уменьшения неопределен­ ности оценок параметров, особенно в связи с нелинейными моделя­ ми. Ссылки на соответствующую литературу можно найти в конце этой главы.

Здесь будут использованы обозначения гл. 6, в которых выра­ жение

т] = т] (ß, х)

(8.4.1)

представляет модель, содержащую m параметров ß и q независи­ мых переменных х. Наблюдаемые величины обозначаются как

Yt = и; + ги

і =

1, 2, . . ., п,

где 8j — независимые нормально

распределенные величины

со средним значением, равным нулю, и с дисперсией Oy. Величина

у

дчг(Ь, Х

і )

 

 

 

1 ~

dßj

'

' ~ '

'

'

представляет собой

общий

элемент

матрицы

X, определенной

в разд. 6.2.3.

 

 

 

 

 

8.4.1. Процессы

с одним

откликом

Сначала будем предполагать, что уже проведено несколько наблюдений, и попытаемся ответить на вопрос, какие значения до­ следует выбрать для дальнейших наблюдений, чтобы в некотором смысле наиболее эффективно оценить параметры ß_,-. Позднее будет показано, как выбирать начальный вектор х , если никаких пред­ варительных наблюдений не проводилось. Соответствующий метод опирается на теорему Байеса и предположение о многомерном нор­ мальном распределении параметров ß относительно вектора оце­ нок Ь .

Теорема Байеса, приведенная в приложении А в виде равенства (А.2), устанавливает, что

 

Р п + І

(ß

I У м ) = --ЛШ^Ш1—,

 

(8.4.2).

 

 

 

I

£

(ß I У»+і) Р» M

 

 

 

где

 

 

— ОО

 

 

 

 

 

 

(ß I Уп+і)

— апостериорная

плотность

распределения

Pn+i

вероятности ß после проведения

п +

1 наблюдения

величины

Y;

Рп

(ß) — априорная плотность

распределения

вероятности

ß

(перед

проведением

последнего

 

наблюдения);

 

 

 

L (ß I Уп+і) — плотность распределения вероятности,

которая

служит функцией правдоподобия для ß при данном у п + 1

(описана

в разд. 3.2). Индексы при ржу обозначают номера эксперименталь­ ных серий. Интеграл в знаменателе равенства (8.4.2) представляет

Смотрите также файлы