Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 737

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

574 Глава 8

Исследование модели

с

двумя параметрами позволяет

лучше-

понять

смысл

критерия

А:

 

 

 

 

 

 

 

~Аи

А12~

 

 

 

 

 

 

= det JА2І

Az2_

_Û)21

« 2 2 .

 

 

Пусть

р будет

коэффициентом корреляции

между ßj и

ß 2

, соц =

= И ) Е

к»22 =

«а, как в примере 2.3.4. Тогда

 

 

 

 

ab

 

Аа-

вур

 

 

 

det

 

of (1 —p2 )

 

<Ol<ö2 (l — p2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

(typ

 

 

 

 

 

 

 

.Лі-

 

 

 

 

 

 

 

© l C Û 2 ( l ~ p 2

)

" * * 1

< o i ( i - p a )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 4 + 2 ^ - 1 1 - )

 

 

 

 

 

 

со

 

 

Предположим, что ©i =

co2 =

0. Это означает, что начальные

оценки

сѴ°> и сѴ°> имеют

нулевую

дисперсию и поэтому

обладают

полной достоверностью. Таким образом, определитель А имеет максимум независимо от того, каковы значения А ц , и никаких дополнительных экспериментов проводить не требуется. В другом

крайнем случае, когда СІ>І = Й>2

о о ,

 

А =

Д4 = det (ХТХ)

=

АцАг2

что соответствует

критерию, введенному Боксом и Лукашом

[27]. Они предложили проводить выбор независимых переменных так, чтобы минимизировать доверительную область, связанную с параметрами ß. Если совместная доверительная область прибли­ женно задается равенством (6.4.5), основанным на линеаризован­ ной модели, то квадрат объема доверительной области обратно пропорционален Ai = det (Х Г Х), если все другие множители остают­ ся одинаковыми. Максимизируя А4 , можно минимизировать объем совместной доверительной области.

Бесконечно большие дисперсии Ь(?> и Ь1 ^ означают, что в начале экспериментирования полностью отсутствует совместная априор­

ная

информация. При

заданных относительных значениях р, сог

и оу

можно прийти к

различным промежуточным результатам.

Вообще говоря, чем полнее априорная информация о некотором параметре, тем большее значение придается другим параметрам при выборе значений хг.

Итак, общий метод оценивания параметров состоит в следую­ щем:

1. Выбирают начальные оценки параметров, их дисперсии и ковариации.

 

Стратегия

эффективного

экспериментирования

575

2.

Вычисляют элементы X, используя оценки параметров.

3.

Выбирают начальный план, максимизируя А.

 

4.

Выполняют эксперименты в соответствии с планом.

 

5.

Производят переоценку значений параметров.

 

6.

Вычисляют элементы X, используя новые оценки.

 

7.

Выбирают новый план, максимизируя А.

 

8.

Возвращаются

к четвертому

этапу и повторяют процедуру

до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность

оценок

параметров или пока

экспериментирование не придется прекра­

тить.

 

 

 

 

Теперь покажем на примерах,

как можно использовать

выра­

жение (8.4.10) для определения более эффективных планов экспе­

римента. В примере 8.4.1 рассматривается начальный

план;

в примере 8.4.2 показано, как, основываясь на априорных

значе­

ниях, полученных из более ранних наблюдений, можно выбратьдополнительные значения независимых переменных.

Пример 8.4.1. Оптимальные последовательные планы для

нелинейной модели

Этот пример показывает, как разрабатывается начальный план эксперимента, если полностью отсутствует априорная информация о значениях параметров модели и о ковариациях этих параметров. После выполнения начальных экспериментов применяют последо­ вательные планы.

Ствольно-дробильные мельницы используются для одновремен­ ного измельчения и сушки каменного и бурого углей, сланцев и т. п. Поскольку для подобных устройств отсутствуют теоретиче­ ски обоснованные модели процесса, позволяющие выразить пере­ нос тепла через соответствующие независимые переменные процес­

са, была разработана

следующая эмпирическая модель:

 

 

^

= ( l _ e ß i * . ) ( l - ß A H - 6 ,

(а)

где

 

 

 

 

 

Q/Qo — доля

тепла,

переносимая измельченным

веществом

(случайная переменная);

 

 

Хі

— содержание

угля

в газах, кг/кг сушильного

газа;

х 2

— квадрат массового расхода газов в стволе [кг сушильного

газа/м2 -с2 ]2 ;

 

 

 

 

ßii

ß2 — коэффициенты, которые требуется оценить.

 

В дальнейшем

случайная

переменная Q/Q0 будет обозначаться

через Y. Было запланировано несколько испытаний на промышлен­

ной ствольной дробилке; для уменьшения стоимости этих испыта­ ний требовалось выполнить последовательный ряд экспериментов, в которых выражение (8.4.10) использовалось в качестве критерия

576

Глава 8

для выбора значений хі и х2.

Концентрация угля изменялась в пре­

делах от 0,17 до 1,1, а массовый расход — от 0 до 12 (переменная хг — от 0 до 144).

Так как не было никаких начальных оценок параметров моде­ ли (а), то был проведен анализ этого выражения. Можно заметить,

что параметр ß 2 должен быть достаточно малым, чтобы

член

(1 — ß2 x2 ) не был отрицательным; следовательно, разумно

при­

нять Ъ{2т = 0,001. Поскольку параметр ß t мог быть положительным

или отрицательным, было решено взять

= 1. Кроме того, пред­

полагалось, что все элементы матрицы Q"1

равны

нулю.

Минимальное

число наблюдений, необходимое для оценивания

двух параметров,

равно двум. Следовательно,

определитель Д

в выражении (8.4.10) сводится к

2 2

=i

t=i

 

 

А ; О , = | Х Т Х 1 = 2

2

 

 

i = l ХцХі2

2J

XIi = l

 

 

=(inu(2x!,)-(si..a (6)

 

i = l

i = l

i = l

Элементы Хц в этом выражении можно вычислить аналитически:

Хц

= —хц [ехр фіХц)} (1 —

bzxi2),

 

Хі2

= — Ж І 2 [ 1 — ехр(&1 хі 1 )].

 

настолько

Как указывалось в разд. 6.2.3, если функции в модели

сложны, что производные нельзя найти аналитически,

то вместо

них используются численные производные.

 

 

Две пары начальных значений для хп

и ж і 2 можно получить,

подставляя Ь[°\ в выражение (в) и максимизируя определитель Д 4 , заданный выражением (б), по всем четырем переменным х. Как можно ожидать, после подстановки функций (в) в выражение (б)

определитель A t

становится сильно нелинейным по xti

и Х{2; сле­

довательно,

для

нахождения двух пар значений x

необходимо

использовать

какой-либо метод численной оптимизации. Весьма

возможно, что такие нелинейные функции будут обладать несколь­ кими локальными оптимальными значениями в некотором матема­ тическом смысле, но по причине ограниченности интервалов изме­ нений x и соответствия модели некоторому реальному процессу подобная трудность возникает не слишком часто. В таких случаях,

выбирая различные начальные

значения векторов х, можно прео­

долеть эту трудность

и найти

наибольшее значение А 4 /

Значения хц и хі2

в частном случае, когда число экспериментов

равно числу параметров, также можно найти, максимизируя опре-

Стратегия эффективного экспериментирования 577

делитель самой матрицы X, если использовать два свойства опре­ делителей: 1) определитель произведения двух квадратных матриц

равен

произведению

определителей

соответствующих

матриц

I AB

\ — I A

I I В I и 2) определитель

квадратной

матрицы равен

определителю

транспонированной

матрицы,

| А

| =

| АТ

\.

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д (о) =

i Х (о)Тх <о> I =

I Х ( 0 , г 11

Х < 0 )

I =

I Х<0> I 2

и для установления начального плана необходимо максимизиро­ вать I Х ( 0 ) | при условиях 0,17 ^ х{1 ^ 1,1 и 0 ^ хі2 ^ 144. Итак, симплексным методом (гл. 6) вместо выражения (б) будет максими­ зироваться следующее выражение:

Х ( 0 ) I

=Хц

Хі21

— ХцХ22

Х 2 1 Х 1 2 ,

 

I X ( 0 > I = xHx22 (1 -

V?xa)

I ^ 2 1

^ 2 2 I

 

(b^x21)}

-

exp (b<%,) [1 - exp

-

xl2x2l

(1 -

bl°>x22) exp (b[0>x2i)

[1 - exp

(Ь™хи)]. (д)

В табл. П.8.4.la показано, как влияют на окончательный план начальные предположения о величинах х. Как и можно было

ожидать,

значения

переменных,

соответствующие

оптимальному

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

П.8.4.1а

Максимизация

| Х ( 0 )

| при условиях

0,17 *Схц < ; 1,1 и

0 < ; ж г 2

< 1 4 4 ,

 

 

 

6(0) =>!

и 6(0) = Ю-з

 

 

 

Начальные предположения для х

Конечные результаты для х

Значение

 

 

 

 

 

 

 

 

ХЦ

 

Ж12

*22

ХЦ

Х2І

«12

Ж22

1 х(0) 1

0,2

0,6

40

80

1,10

1,10

144

4,38

927

0,17

1,1

0

144

1,10

1,10

143

0

949

0,9

1,0

120

130

1,10

1,10

144

0

954

плану, попадают на края интервалов для х: для х^ на верхний пре­ дел в обоих опытах, а для х2 — на верхний предел в одном опыте и на нижний предел в другом опыте.

Окончательные результаты, приведенные в табл. П.8.4.1а, можно сравнить с результатами, полученными при максимизации определителя А|0 > из выражения (б), которые даны в табл. П.8.1.46.

В обоих экспериментах получились одинаковые

значения

ж4,

а именно 1,10 и 1,10,

однако значения х2, выбранные для

первых

двух экспериментов,

могли быть равными как 144

и 0,

так

и 0

и 144. Поскольку экспериментальное пространство четырехмерное, нельзя изобразить контуры уровней А'/' в зависимости от ж4 и х2.

578

 

 

 

 

Глава 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

П.8.4.16

 

Максимизация

Д^0 ) = | Х ( 0 )

Х ( 0 ) | при условиях 0,17 < а з а <

1,1

 

 

и

0 < ж , 2

< 1 4 4 , 6(0)= 1 и 6(0)= Ю-з

 

 

Начальные предположения

 

Конечные результаты для х

 

 

для X

 

 

 

 

 

 

Д(°).10-8

 

Ж 2 І

 

 

жц

 

Х12

Х22

 

0,2

0,6

40

80

1,10

1,10

41,9

82,7

0,725

0,17

1,1

0

144

1,10

1,10

2,35

143

8,71

0,9

1,0

120

130

1,10

1,10

144

5,98

8,36

0,17

0,17

0

0

1,10

1,10

0,33

144

9,05

1,1

1,1

144

144

1,10

1,10

144

0

9,08

0,5

0,5

50

50

1,10

1,10

144

0

9,096

0,2

1,0

10

130

1,10

1,10

0

144

9,095

В.результате первых двух экспериментов были получены сле­ дующие данные:

Yi = 0,646 при хі = 1,10, х2 = 0, У 2 = 0,194 при ХІ = 1,10, х2 = 144.

По этим наблюдениям с помощью симплексного метода (разд. 6.2 были оценены первые два параметра:

6«о)= _о,944, Ь<0> = 4,86 - Ю - 3 .

Чтобы найти следующую экспериментальную точку, максими­ зировался определитель Д(,3>, для которого в выражения (в) были подставлены оценки параметров Ь\0> и Результаты приведены в табл. П.8.4.1в; на фиг. П.8.4.1 показаны контуры уровней А.\ю

 

 

 

Таблица

П.8.4.1в

Р е з у л ь т а т ы максимизации

при нахождении

 

третьей

экспериментальной точки

 

Начальные

Конечные результаты

 

предположения

 

д(3). 10-3

 

« 3 2

хгі

» 3 2

 

0,17

0

1,06

0

2,62

0,20

20

1,06

0

2,62

0,80

100

1,10

144

2,26

1,10

144

1,10

137

2,50

0,17

144

1,10

144

2,62

1,10

0

1,06

0

2,62

Смотрите также файлы