Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

584 Глава 8

ном планировании экспериментов с использованием того же числа

параметров использовался двухуровневый факторный план отно­ сительно некоторой произвольной точки в пространстве парамет­ ров; см. первые четыре опыта в табл. П.8.4.2в.

Номер опыта

Ф и г . П . 8 . 4 . 2в, Изменение относительного объема доверительной области.

А — объем после 12 поочередных опытов; Б — объем при последовательной максимизации Ді.

Пятая экспериментальная точка выбиралась так, чтобы мак­ симизировать определитель Д ь в элементы Xij которого были под­ ставлены оценки параметров, полученные в четвертом опыте. Про­ странство независимых переменных было покрыто сеткой с интерва-

k -5,43-10"*

Ф и г . П.8.4.2г. Доверительная область после 12 опытов для планируемых экспериментов [28].

ОЛ

586 Глава 8

л ами в 0,005 кгс/см2 от 0 до 0,10 кгс/см2 ; поиск значений парциальных давлений, максимизирующих Aj, дал в результате пятую строку табл. П.8.4.2в. По результатам пятого эксперимента было получено

Квадратный корень из определителя A t обратно пропорцио­ нален объему доверительной области. На фиг. П.8.4.2в видно, как изменяется относительный объем доверительной области при последовательном экспериментировании; при непланируемых экспериментах объем имеет постоянную величину. Можно заметить, что при последовательном экспериментировании уже в пятом опыте (т. е. в первой точке, выбранной из условия минимума объема) оценки оказываются столь же хорошими, как после 12 неплани­ руемых экспериментов. Фиг. П.8.4.2г дает визуальное представ­ ление о доверительной области после 12 экспериментов, которую можно сравнить с областью, изображенной на фиг. П.8.4.2а.

На фиг. П.8.4.2д отражена еще одна особенность планируе­ мых экспериментов, которая состоит в том, что после начального плана 22 экспериментальные точки располагаются вдоль границы экспериментальной области. Из фиг. П.8.4.26 видно, что только в области высоких парциальных давлений можно было обнаружить падение кривой скорости реакции.

В ы в о д ы . Этот пример на модели с тремя коэффициентами показывает, насколько более эффективными могут оказаться пла­ нируемые эксперименты по сравнению с непланируемыми. Из него также видно, что при планировании экспериментов в эксперимен­ тальном пространстве выделяются области, наиболее существен­ ные для экспериментирования. Без ответа остается лишь вопрос, окупают ли выгоды, получаемые при эффективном эксперименти­ ровании, затраты средств и времени, связанные с оцениванием коэффициентов модели и максимизацией A t . Можно составить некоторое приближенное представление о величине ожидаемого уменьшения доверительной области сверх того, которое можно было бы получить, например, используя ортогональные планы эксперимента или опираясь на практический опыт или результаты моделирования. Тогда можно было бы решить, какой путь избрать и как далеко по нему идти.

В этом разделе продолжим рассмотрение последовательного планирования экспериментов для уменьшения неопределенности оценок параметров при наличии нескольких откликов в модели,

(опыта). Модель т]г , как и раньше, является функцией m парамет­

дения в одном эксперименте для одной модели с номером г и другой с номером s могут быть коррелированы и ковариационная матрица между моделями, элементы которой равны ar s , будет обозначаться как Г; элементы обратной матрицы Г - 1 будут обозначаться ars. Заметим, что для разных экспериментов ошибки независимы.

Как и раньше, будем следовать рассуждениям Дрейпера и Хантера [30]. Предположим, что наблюдения Y описываются много­ мерным нормальным распределением, аналогичным выражению (5.5.4) , и что после п экспериментов функция правдоподобия для ß имеет вид

І = І

обозначает сумму произведений отклонений наблюдаемых величин YTi и Ysi от соответствующих математических ожиданий для п эк­ спериментов.

Кроме того, как и раньше, предположим, что априорная инфор­ мация, имеющаяся после п экспериментов, но перед п* дополни­ тельными экспериментами, приводит к точно такой же плотности распределения вероятности, какую дает формула (8.4.4). Подста­ вив эту априорную плотность распределения и функцию правдо­ подобия (8.4.11) в формулу Байеса, получим апостериорную плот­ ность распределения вероятности, аналогичную выражению (8.4.5) . Для того чтобы выбрать п* дополнительных значений неза­ висимых переменных, как в разд. 8.4.1, апостериорную плотность, аналогичную выражению (8.4.5), можно использовать в формуле