Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 729

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

588

 

 

 

 

Глава 8

 

 

 

 

 

нием, что суммирование по і проводится о т і

=

« + 1 Д о і

= « +

+ п*),

что дает

апостериорную плотность

распределения

вероят­

ности

после (п

+ п*)

экспериментов:

 

 

 

 

 

 

ч

'|0

1-1/2

| Г - і | - ( я + п * ) / 2

X

 

 

 

 

Рп+п* ф

I Уп+п*)

=

 

ч[т+(п+п*)г]/21

 

 

 

 

 

 

 

(2я)

 

 

 

 

 

 

 

X ехр [ -

i

-

J

J a"F?+"* ] exp

[ _

J-

( ß _ b « » )X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

Т = \

 

8=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

XQ_1(P— b ( 0 ) ) ] -

(8.4.12)

Отметим сходство с выражением (8.4.7).

Дальнейшие рассуждения точно такие же, как в разд. 8.4.1.

Чтобы максимизировать рп+п*

по параметрам ß и векторам новых

значений xri = х г г для і

= п + 1, . . ., п + п*, подставим

выражение, эквивалентное (8.4.8), в формулу (8.4.12), учитывая, что теперь каждую модель следует представить в виде

4 r ( ß ,

xri)

« цт (Ь*,

хгі) +

%Фі-Ъ?)Хг,и,

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

%r,

il

 

 

дЦг (b*,

xri)

 

 

Хт,

ij

—

 

 

 

 

 

 

 

•т.

i q j

Если заменить величину b* на максимально правдоподобную оценку Ь параметров ß после п + п* экспериментов, смешанные произведения в двойной сумме в выражении (8.4.12) исчезнут по причинам, указанным в разд. 8.4.1. Тогда двойную сумму мож­ но переписать в следующем виде:

ѵ ѵ

, ^ r > =

V

 

V

n-f-n*

 

m

 

,,]x

.2. S

S 2.»" S

tof-.S.

r= 1 s= 1

 

Гг=1

S

= l

i=l

5 = 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n+та*

 

 

x[dsi-%

(fo-bf)

Xs.ij]=

S

Sö r s

S dP ,d.,+

 

5 = 1

 

 

 

 

Г = 1 8 = 1

І = 1

 

 

 

 

f

S

S ( ß - b ) T

(a"Xr T Xs ) (ß

- b ) , (8.4.13)

где

 

 

 

r = l s = l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хт,и

 

 

 

Хт,12

 

Xr,lm

 

 

Xr,2i

 

 

 

Xr,22

 

XT,2m

 

 

X r

 

 

 

 

 

 

 

 

m J

dTi = Yri — r\ri(b,

xri).

Стратегия эффективного экспериментирования 589

Чтобы получить план следующих п* экспериментов, необходимо максимизировать определитель

А = | 2

2 o-räXrTXs + Q-4

(8.4.14)

=1

s=l

 

пропорциональный квадрату нормировочного множителя, кото­ рый появляется при подстановке выражения (8.4.13) в формулу (8.4.12). Необходимо вычислить все элементы матрицы Х г в точке Ь< П ) ; элементы о г з предполагаются известными. Если элементы матрицы й " 1 равны нулю, критерий максимума определителя (8.4.14) сводится к критерию, найденному Дрейпером и Хантером [31] и др. Выражение (8.4.14) не противоречит здравому смыслу, ибо матрицы X для каждой модели входят в него с весами, обратно пропорциональными ошибкам, связанным с этими моделями.

Чтобы привести конкретный пример формулы определи­ теля Д для нескольких откликов, рассмотрим случай двух моделей

(ѵ = 2) с тремя коэффициентами в каждой (т =3),

п =

О (ника­

ких экспериментов еще не проводилось), величинами

«а,

равными

нулю, и п* = 4 (необходимо составить план для четырех эксперимен­

тов).

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

Д =

I о 1 1 (Хі<п+п*)Т

(Хі і П + п *) +

о 1 2

( Х і і Г І + п * ) т

(Хг.п+п*)

+

 

 

-f-

О 1 2 ( X 2 , n + n * ) T

(Хі)П_|_„*) + О 2 3

( X 2 , n + n * ) T

( X 2 , n + n * ) |,

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~Xr.ll

X r

12

Xr

13~

 

 

 

 

 

Xr.Zl

Xr

22

X r

23

 

r,

 

 

n - f n *

:

 

32

 

для модели

 

 

 

Xr.31

XT

XT

33

 

 

 

 

 

 

X r

42

Xr

43-

 

 

 

a величины XTtij

уже определялись

ранее. Оценки для о11}

сг22

и о 1 2

можно получить из повторных данных (или другим способом),

как

описывалось

в разд. 5.5.

Затем

оценки а11, а 2 2

и о 1 2

мож­

но использовать, чтобы заменить соответствующие

параметры

ансамбля.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 8.4.3. Планы экспериментов для оценивания

 

 

 

параметров

в моделях с несколькими

откликами

Парожидкостные смеси трех компонентов, которые в жидкой фазе являются идеальными, а в парообразной фазе подчиняются закону идеального газа, при постоянном давл

590

 

 

 

Глава 8

 

 

следующими уравнениями:

 

 

 

 

 

 

?>АСХА

I

\

 

 

У Л

= l + ( ß A C - l ) * A + ( ß B C - l ) * B '

 

 

 

 

 

 

$всхв

 

 

 

 

Ѵ

В ~

l + ( ß A C - l ) ^ A + ( ß s C - l ) ^ B '

{

'

где

 

 

 

 

 

 

А,

В, С — соответственно три компонента;

 

 

у

— мольная

доля

в парообразной фазе;

 

 

x — мольная

доля в жидкой фазе;

 

 

—относительные летучести, существенно эмпирические параметры, которые требуется оценить.

Хотя предположение о том, что лишь величина Y = у + е являет­ ся случайной переменной, а х — детерминированная переменная, в любом реальном эксперименте не выполняется, в этом примере все же будем считать, что Y — случайная зависимая переменная.

Так как имеются два подгоночных параметра, необходимо про­ вести по крайней мере два начальных опыта. При каких значениях

хА

и хв

следует проводить эти два первых эксперимента?

Изоба­

рические

эксперименты для трехкомпонентной

системы

ацетон

(А)

— бензин (В) — четыреххлористый углерод

(С) планирова­

лись для давления 1 кгс/см2 . Смеси компонентов А, В и С можно было приготавливать при выбранных значениях х%, измеряемых по показателю преломления; величина Yt определялась путем газового хроматографического анализа.

Изучение литературы по этому вопросу показало, что хотя пара­ метры уравнений (а) и (б)специально не указывались, приводились данные [32] о зависимости Y от х, из которых можно было получить начальные оценки для ßtj по измеренным значениям двух величин Y при соответствующих значениях х. Например, при температуре 62,4' С и давлении 1 кгс/см2

хА

= 0,389,

YA

= 0,572,

х в

= 0,332,

Y в

=

0,200,

хс

= 0,279,

Yc

=

0,228.

Из этих значений лишь две пары являются независимыми, ибо,

по определению, 2 хі = 1 и S Yt = 1. Тогда

 

0,572 [1 +

(Ьдс —1) 0,389 + (ЪВС — 1) 0,332] =

Ь А С -0,389,

0,200 [1 +

(ЬАС — І) 0,389 + ( 6 ß C —1) 0,332] =

Ь в С - 0,332

и начальные оценки параметров равны соответственно fefe°b = 0,74,

№ = 1,21.

Стратегия

эффективного

экспериментирования

591

Д ля выбранных трех дополнительных точек вычисленные начальные оценки ßjj оказались следующими:

Номер

 

 

*с

У А

точки

 

х в

1

0,234

0,268

0,498

0,441

2

0,288

0,476

0,236

0,480

3

0,624

0,206

0,170

0,723.

Номер;

 

 

 

 

точки

Y B

Y c

ЬАС

ъ в с

1

0,169

0,390

2,41

0,80

2

0,310

0,210

1,88

0,73

3

0,121

0,156

1,26

0,64

Очевидно, что оценки

значимо изменяются с изменением соста­

ва. Таким образом, для широкого интервала изменения состава

предлагаемая модель

может оказаться неудовлетворительной.

В качестве начальных предположений о параметрах было решено

взять

значения

 

 

 

 

№ = 1 , 8 5 ,

 

В этом

случае выражение

(8.4.11) принимает"вид

 

 

2

2

 

 

А = | 2

2 crr s Xr r Xs + Q-i|

(в)

r—l s=l

и определитель А должен быть максимизирован, чтобы получились первые две экспериментальные точки (хІА, х1в) и (х2А, х2в). Две матрицы Х г имеют вид

Здесь

^і.іі —

Х2, а = •

X2,i2 —

[~^і, и

-Хь 12

 

Х'2. 11

%2. 12

L ^ І .21

^ І . 22 J

x2 =x2.21

X.2, 22.

[1 + Ф А С — 1)

+ (Рве — і )Ж Ы я»А — ßAc^jA

[1 +

( ß A C - 1) *ІА + ( ß s C - 1) *ifl]2

[l + ( ß A C - l ) ^ A + ( ß B C - l ) ^ ß P

'

 

— ß ß C ^ ß ^ i A

 

[l + ( ß A C - l ) ^ A + ( ß B C - l ) ^ B ] 2

'

[1 + (ßAC — 1) ж г А + (ßBC — 1)хів\ xiB

— $BCX\B

[1 + ( ß A C -

1) ХІА + ФВС- 1) * І В І 2

Матрица Q имеет вид

(1)ц 0)1 2

М21 со 22.

Смотрите также файлы