Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл (30,27Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 723

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Стратегия	эффективного				экспериментирования		601
Суммы квадратов	остатков для				каиэдой модели		равнялись
						Число
Модель				*мин		степеней
						свободы V
		1		4 , 4 1 6 - Ю 5		4
Преобразованная		2		1,039-Ю5		3
		3	7,217 • 104			1
Из повторных данных	s\ = 3,11 >104.
Относительно вероятностей			Р(г8) было сделано два				различных
предположения: 1) Р'х} = P2S)			= РТ		—XU и	2) вероятности JP5.8>
обратно пропорциональны фмт/ѵ,				т.	е.
Р<8> = 0,17,		P f = 0,53,			P f = 0,30.
Подстановка в выражение		(8.5.5)		этих значений РіЩ,			величины si

вместо оу и значений У ( 9 ) , вычисленных с использованием оценок коэффициентов, найденных после начальных восьми серий, дала

следующие значения хіЪ\	максимизирующие				Кѵ:
Вероятность		X	Рі			Рз
Предполагаемая			0,333	0,333		0,333
		4,2
Апостериорная			0,22	0,40		0,38
Предполагаемая			0,17	0,53		0,30
z<9>		4,2				0,38
Апостериорная			0,20	0,42		0,38
Апостериорные значения	Р	вычислялись		по	формулам		(8.5.6)
и (8.5.3). Ясно, что в данной		задаче начальные значения Р слабо
влияли на значение х для девятой			серии.
Из-за большой величины экспериментальной ошибки при малых
скоростях стока, связанной		с неоднородным			покрытием		участка

отходами, не проводилось никаких экспериментов при значениях х, меньших 0,1 мм/ч. После 11 опытов эксперимент по экономическим соображениям был прекращен, но он уже ясно показал, что модель 1 значительно хуже моделей 2 и 3 и что модель 2 предпочтительнее модели 3, ибо для нее соответствующая вероятность РіП) выше, хотя и незначительно, и, кроме того, она более проста. Обе модели 2 и 3 удовлетворительно описывают данные.

На фиг. П.8.5.1а представлены экспериментальные данные после 11 опытов, три из которых были повторными, и предсказан-

w	2,0	5,0	4,0	5,0	6,0	7,0
	x,	мм/ч

Ф и г. П.8.5.1а. Концентрация поглощаемого кислорода в стоках для бето нированного участка.

# начальные 8 опытов; 4 дополнительные опыты (обозначены цифрами);

-	" Ä	2	} ,	предсказания
	модель	3	/ п о с л е	1 1 экспериментов

0,75

0,50 \~

0,25

О 1 2 3 4 5 6 7 S 9 Ю 11 12 Число опытов

Ф и г . П.8.5.16.

Стратегия

эффективного

экспериментирования

603

ные значения КПК, основанные на оценках коэффициентов, най денных после 11 опытов. На фиг. П.8.5.16 показано, как изменяют ся вероятности для моделей в процессе последовательного экспери ментирования.

8.5.2. Различение моделей с несколькими

откликами

В этом разделе рассматривается задача различения моделей процесса, содержащих несколько откликов. Такого типа модели естественно возникают при описании многокомпонентных процес сов, включающих физическое равновесие или химические реакции. Например, реакцию

можно описать одной из двух моделей:

	Модель I		Модель II
гА = — hcA
rB	=	k1cA — k2cB	rB = k{c\- k2cB
rc	=	k2cB	rc — ^2CB

(Лишь два уравнения в каждой из моделей являются независимы ми, так как третье уравнение представляет собой линейную ком бинацию двух других.)

Критерий различения для моделей с несколькими откликами можно получить точно таким же образом, как указывалось в разд. 8.5.1 для моделей с одним откликом. Хотя используемые здесь понятия по существу не отличаются от прежних, запись индексов переменных, параметров и уравнений становится более сложной. Так как каждая модель состоит из нескольких уравнений, для обозначения определенного уравнения данной модели необходимо

использовать	двойной	индекс.		Пусть	yTj	означает ;'-е уравнение
(/ = 1, . . .,	и) г-й модели		(г =	1, . . .,		ѵ); /-му	уравнению соот
ветствует /-е	наблюдение. В векторных					обозначениях
	Наблюдения		Математичес			Модели
	Наблюдения		кое	ожидание		Модели
		-УГ		~УгІ-		~Уі
	Y =		Уг =	Vrj	У = Ут
				-Ути.		-Уѵ.
В п-м опыте /-й отклик имеет аддитивную ошибку
	YP	= yrj	+ %\	7 =	1,	...,и.	(8.5.7)

604 Глава 8

Предположим, что наблюдения Y распределены по нормально му закону относительно своих математических ожиданий у г для данной модели с ковариационной матрицей 2у> г Д е

012	•	O-lu
	•	о2и

L 0 - I u в 2 и

Тогда плотность распределения вероятности Y < n + 1 ) при заданных значениях уг и E Y будет иметь вид

Р І У і П + 1 ) \ У г , SY)	SY \|-1 / 2
Р І У і П + 1 ) \ У г , SY)	=	X
	( 2 л ) " / 2
Х	е х р [ - і -	(Y<"+» - у У З ѵ	1	( Y	< n + 1 )	- y r ) ] .	(8.5.8)
Х	1		1		< n + 1 )

Как и в разд. 8.5.1, предположим, что каждую модель можно локально линеаризовать в пространстве параметров в окрестности вектора оценок параметров ß:

У^ = Уг}ф?\	х ^ ) + 2	(ßrfc-fe)[ дут]	(ß<"\ х<?)	ft(n)
	h=l
Для того чтобы в дальнейшем упростить			обозначения, введем
матрицу
	y d)	y d )	y d )

v (n)	Y (n)	2	y(n)
Лт-j, 1	Л-rj,	2

с элементами

vin)	дут!®,,*®)
Л г з ,	h — '
	dßrh
	ß r = ß («)
Апостериорная плотность распределения вероятности ß (век
тора всех параметров) после п опытов равна
MßlSv, Y) = - l ^ i - e x p [ - i - ( ß - ß ) r M ( ß - ß ) ] ,		(8.5.9)

и плотность

		Стратегия эффективного		экспериментирования	605
	и	и
где М =	~УІ 2 °"j i XrjXr i ,		а о?1 — элемент матрицы 2Y*-		Другими
	3=1	1=1
словами,	разность (ß — ß)		распределена относительно 0		по нор

мальному закону с ковариационной матрицей М - 1 . После п опытов

матрица	частных производных, вычисленных при значениях ß(">,
		у ( п + 1 )	Лу ( + 1 )	у ( п + 1 )	вид
но для (и + 1)-х независимыхЛ			переменных,Н , 2 •	имеет-Л-г1,т	вид
		Г І , 1
		(п+1) .
		х;1	у ( П + 1 )	у ( п + 1 )
		у ( п + 1 )	у ( П + 1 )	у ( п + 1 )
		Л-ги, 1	Лги, 2	-Л-ru. m
			Лги, 2	-Л-ru. m
Матрица	X r	n + 1 > (ß — $<">) имеет нормальное		распределение с цен
тром в 0	и	ковариационной	матрицей

w t n + 1 ) = x r + 1 ) M - i ( x r + 1 ) ) T .

Далее, вследствие линеаризации модели переменная уг рас пределена относительно предсказанного отклика Y£n + 1 ) по нор мальному закону с ковариационной матрицей W{rn+1)

вероятности имеет вид

Iw ( n + D | - l / 2

	(2я) u/2	X

X ехр [ — 1 ( у Р _ Y<"+ 1			) ) г (Wf+'V (yr - Y r " + 1 ) )				] .		(8.5.10)
Наконец, из выражений (8.5.8) — (8.5.10) после длинного										ряда
преобразований	получаем		плотность		распределения			вероятности
Y£n + 1 > при данной матрице			Еу:
	I Ѵ1(тЦ-1)\|-1/2
Х е х р [ _ i ( F « ' - f r I ,		) T	( S ? + 1 ) ) - , ( Y ™ - Y « n + , )						) ] 1	(8.5.1
где 2rn + 1 ) = S Y + W r n + 1		) .	Выражение (8.5.11)				соответствует
выражению (8.5.3) разд. 8.5.1.
Подставляя	выражение		(8.5.11)	в формулу		(8.5.2)		и	исполь
зуя следующие	два соотношения			для	математических			ожиданий
квадратичных форм:
% {(Y<"> — Y ( r n ) ) T	( S ^ ) - 1 (Y<">—Y( r n ) )} =				Ш { ( Y < n >	— Yr n ) ) T } X
X			Ш {(Y<">- Y f >)} + Sp 2<">						- Sp I

606 Глава 8

где Іц—единичная	и х u-матрица, и	(2<n))~\
g { ( Y<«>_ Y f >)г (ЦП - 1 (Y<">- Y™)} = Sp		(2<n))~\
приходим к общему	критерию Кульбака
оо

/<*«> (г : s) = j р г (у) In ^ М - djT «> =

—оо

,I Ѵ( п + ! ) i

= т [ln \| \| w [ - S p *»+Sps ' n + 1 ) (Sf+T1		+
+ (Y( ;+1 ) ~Y(	5 "+1 ) )T (Sf+1 ) )-1 ( Y ( r n + 1 ) - Y ^ + 1 ) ) ] .	(8.5.12)

Подобное выражение получается и для /<"+1> (5 : г) перестановкой индексов. Подстановка величин, определяемых формулой (8.5.12), в выражение (8.5.4) дает многооткликовый аналог выражения (8.5.5):

X [(ЗІ^ѴЧ- (St n + 1 ) H ( Y f + 1 ) - Y f + 1 ) ) } . (8.5.13)

Это выражение можно использовать в качестве критерия, опреде ляющего выбор значений независимых переменных в плане для (п 4- 1)-го опыта после завершения п опытов.

Процедура различения	по существу такая же, как описывалась
в разд. 8.5.1. Проводятся	начальные эксперименты, оцениваются

параметры,каждой модели, по формуле (8.5.6) вычисляются апо стериорные вероятности, планируются, а затем выполняются сле дующие эксперименты. Эти этапы повторяют до тех пор, пока не бу

дет достигнут	желаемый уровень различения. Из-за наличия
в функции Кѵ	априорных вероятностей трудно подгоняемым моде
лям уделяется	меньше внимания, чем моделям, дающим лучшую

подгонку. Таким образом, максимизируя Кѵ, составляют планы экспериментов для таких условий, когда максимальная дискрими нация обеспечивается для наилучших моделей.

Пример 8.5.2. Дискриминация многооткликовых моделей

В работе [37] имитировался процесс различения трех моделей химической кинетики с двумя откликами в каждой.

Модель I :

кіКАКврлРв