Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

а = \ т \ —

Скачать файл (30,27Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 712

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Линейные

модели с несколькими

переменными

323

В матричных обозначениях, используя равенство (5.1.10), имеем

[ ( x T w X ) - i x r w ]

ичувствительность bh относительно Yt равна

жІИ( х Г "х Г 1 Х І Ш , "-&•

(5.1.19)

где [ ( x r w x ) _ 1 x T w ] f t i

— элемент в k-й строке и і-м столбце матрицы

( x T w x ) _ 1 xT w .

В качестве иллюстрации расчета чувствительности используем

данные из примера

4.3.2 для десятого

набора

данных

и Ъх:

У 1 0

_ 2-259-0,03 _ f

t , 1 П

_ 3

dYi0

—

л/, с о т

— U

1 1

U 1

Фмии

14-687

__gfri

Yi0

хі0

— x

259 _

3,09 — 2,816

259 _ f i , n 1 0 _ 2

^ і о

fti 2 ( х г - ^ 7 9 , 0 2 -

13,61

7 9 , 0 2 _ D ' ° Ö " U

Другими словами, изменение Yt на

10%

вызывает

изменение

фтт на 6,1 -10- 2 %

и ЬІ на 0,658%.

Чувствительность

ф м и н и Ъу

оказалась

весьма

низкой,

что всегда

хорошо для построения

моделей.

5.1.5.

Вычислительные

проблемы

Здесь будут кратко упомянуты некоторые из практических

проблем,

которые

возникают при расчете оценок параметров на

вычислительных

машинах

при других

подобных

расчетах,

обсужденных выше. Наибольшие

трудности связаны со

следую

щими

обстоятельствами:

Потеря значащих цифр при вычитании

приблизительно рав

ных чисел. Как можно

было

заметить

численных

примерах

гл. 4, многие из членов,

вычитаемых

один

из другого,

почти

равны

между собой. Для случая

двух чисел с пятью

значащими

цифрами,

две первые

из которых

совпадают,

получается

число

лишь с тремя значащими цифрами. Устранить потери

значащих

цифр, в частности, можно с помощью

арифметики с двойной раз

рядностью.

2. Ошибка округления. Фреунд

[1] и Смайли [2] определили

величину ошибки округления

при расчетах с плавающей запятой.

Использование вычислений с двойной разрядностью

особое

внимание

к значимости

отдельных

величин

на промежуточных

324	Глава 5
324
стадиях расчета	рекомендуются как средства борьбы с	ошибкой
округления (см. также [3] и [4], где разработаны двадцать		различ
ных машинных	программ).

3. Матрица а становится плохо обусловленной. Решение, полу ченное методом наименьших квадратов, может оказаться очень

чувствительным	к малым возмущениям элементов матрицы а.
Например, как	крайний	случай рассмотрим уравнение (5.1.9).
ab = G, при условии (5.1.12).			Допустим, что
	"1	1 '	" 1 '
	а — _1 1		и G = .0.

Тогда det а = 0, матрица а вырождена и график двух уравнений ab = G на фиг. 5.1.2, а представляет собой две параллельные

Ф и г. 5.1.2. Графики уравнении, возникающих при плохо обусловленных матрицах.

прямые с угловым коэффициентом, равным — 1 . Теперь пред положим, что вследствие вычислительной или экспериментальной ошибки матрица а имеет вид

П1 1

где е — малое возмущение. Матрица		а уже не является		вырож
денной, хотя и близка к ней, и называется			плохо обусловленной
матрицей.	Две соответствующие	прямые,	изображенные		на
фиг. 5.1.2, б, теперь пересекаются в точке,			положение	которой
становится	тем более неопределенным, чем меньше значение				г.
При е —>- 0	прямые снова становятся параллельными.

Матрица а может оказаться плохо обусловленной при непра вильном выборе экспериментальных значений независимой пере

менной.	Например,	предположим, что модель имеет вид ц =
~ ß« +	ßix и было	проведено три наблюдения при х = 19,9,

Линейные

модели с несколькими

переменными

325

20,0 и 20,1. Тогда

и det а = 3-1200,02 - 60-60 = 3600,06 - 3600,00 = 0,06. Допу стим, что в элементах матрицы х после запятой записаны последние значащие цифры. Тогда очевидно, что округление вычитаемых друг из друга элементов до четырех значащих цифр дает det а = 0, округление до пяти значащих цифр также дает det а = 0, и необ ходимо удерживать шесть цифр, чтобы получить значение det а = = 0,06. Однако если модель записана в виде r\ — ß 0 +

- f ß j (х — х), то

	1	- 0 Д -		о •
X	1	0,0	, а = х т х
				0,02.
	_1	0,1_

и det а по-прежнему равен 0,06, а результат 3-0,02 — 0-0 = 0,06 показывает, что матрица а хорошо обусловлена. Кроме того, контуры поверхности суммы квадратов значительно ближе к кру говым. Для того чтобы при расчетах не работать с плохо обу словленной матрицей а, рекомендуется применять ортогональные планы экспериментов, описанные в гл. 8, и вместо модели (5.1.2) использовать модель (5.1.1).

Пример 5.1.1. Оценивание с ортогональными переменными

Из экспериментов, структура которых изображена на фиг. 8.1.1

(известных как двухуровневые факторные			эксперименты), получе
ны следующие данные:
Температура	Давление р,	_	„ „,
Т, °С	нгс/см2	Выход Y, %
80	1		4
80	1		5
80	7		10
80	7		11
100	1		24
100	1		26
100	7		35
100	7		38

(Зависимой переменной является выход продукта.) Требуется оценить коэффициенты в линейной модели вида

Ч = ßo + ßl-Zl +

ß 2 # 2 -

326 Глава 5

Решение

Д л я упрощения последующих расчетов можно ввести кодиро

ванные	значения независимых						переменных.		Пусть
			_	_ Г - 9 0				~ р - і
			Xl — 1 —		JQ— ,			Х2 — P —	g .
Кодированные данные				приведены				в табл. П.5.1.1. Отметим, что
ХІ = 0, х2		= 0 и независимые				переменные ортогональны, так как
									Таблица	П.5.1.1
								Расчет ошибки внутри наборов (серий)
			Х2	Выход		Ytj
			Х2					Yi		Д2
								Yi		Д2
1		- 1	1		4			4,5	- 0 , 5	0,25
1		—1	1		5				+ 0 , 5	0,25
1		—1	1		10			10,5	—0,5	0,25
1		—1	1		11				+ 0 , 5	0,25
1		1	1		24			25	- 1 , 0	1,00
1		1	1		26				+ 1 , 0	1,00
1		1	1		35			36,5	- 1 , 5	2,25
1		1	1		38				+ 1 , 5	2,25
										7,50
2 XQXI	=	2XQX2	= 2xix2		=	0.	В	столбец х0 записана фиктив
ная переменная			1 для того,		чтобы			включить	в модель свободный
член.	Все веса		выбраны		равными единице 1 ) .
С помощью кодированных переменных вычислим следующие
матрицы, которые используются при оценивании (все числа										округ

лены до четвертой значащей цифры, хотя в действительности

использовалось восемь	цифр):
	8,000	0,000	0,000
	0,000	8,000	0,000
	0,000	0,000	8,000
	Г0Д25	0,000	0,000
с = (х г х) - 1	= 0,000	0,125	0,000
	0,000	0,000	0,125 J
		153,0
G = x r Y =		92,99
		35,00 J

J ) В силу этого матрица х в данном случае содержит 8 строк и пред ставляется тремя первыми столбцами таблицы П . 5 . 1 . 1 . Вектор Y здесь т а к ж е содержит 8 составляющих в соответствии с четвертым столбцом таблицы . —

Прим. ред.

Линейные		модели с несколькими	переменными	327
В результате расчета получились следующие оценки коэффи
циентов регрессии:
			19,125'
	ЬІ	= (хтх)~1 (xTY) -	11,625
	L A	J	L 4,375.
Следовательно, оценка уравнения регрессии такова:
кодированные	переменные: Y = 19,125 + 11,625^ +			4,375#2 l
некодированные	переменные: Y = —91,333 + 1Д625Г +			1,4583р.

Выбор ортогональных независимых переменных упрощает проме жуточные вычисления и является более эффективным, чем исполь зование неортогональных переменных, так как при этом из дан-

40%

1)0

30%

20%

10Z