Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 713

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

328 Глава 5

ного количества экспериментов извлекается больший объем инфор­

мации.

Подробнее этот вопрос

будет

рассмотрен

в

гл.

8.

 

На фиг. П.5.1.1 показаны контуры выборочного

уравнения

регрессии

в

пространстве

факторов.

Для этого

примера

si =

=

7,50/4 =

1,875

и s2r = 15,12/1 =

15,12. Отношение

дисперсий

15,12/1,875 =

8,06 больше, чем F0i95

(1,4) = 7,71; таким образом,

данную

модель можно улучшить

одним из методов,

обсуждаемых

в гл. 7 и 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 5.1.2. Гармонический анализ

 

 

 

 

 

Решения

некоторых

типов

 

дифференциальных

уравнений

и

аппроксимация

большинства

периодических откликов

могут

быть описаны эмпирической моделью, которая линейна по коэф­

фициентам, но нелинейна

по независимым

переменным:

 

 

т] = а 0

+

cos X +

ß4 sin X + а2

cos 2х + ß 2 sin 2x + . . .

 

 

 

 

 

 

 

. . . + am

cos mx

+ ß m s i n m

x -

( a )

Масштаб

по оси x

следует

выбрать так, чтобы

основной

период

по

оси x

равнялся

2л; в

этом

случае

параметры ocj и ßj

при

7 =

1,

2,

. . ., m зависят

от выбора начала отсчета на

оси х.

Однако

амплитуда /-й гармоники (ос* +

ß f ) 1 / 2

инвариантна

относи­

тельно сдвига по оси. Если член,

соответствующий j-й гармонике,

записать

в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

a,j cos jx + ßj

sin jx

= Oj sin (jx

+

Ѳ,),

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pi = ( « i + ß f ) 1 / 2 ,

%s = arctg

j±,

 

 

то становится очевидным, что амплитуда pj действительно не зависит от выбора начала отсчета. Однако фазовый угол Ѳ^, напро­ тив, зависит от положения начала отсчета. В гармоническом

анализе обычно получают оценки

и (или) проверяют

гипотезы

относительно

амплитуд различных

гармоник,

а

не

параметров

и ßj. За этим исключением,

гармонический

анализ

проводится

по обычной схеме линейного

регрессионного

анализа.

Допустим,

что рассматривается

специальный

тип

гармониче­

ского анализа, когда проводится п

наблюдений при значениях х,

равномерно распределенных по одному периоду

периодической

функции. Как

будет показано, в

этом важном

случае расчеты

особенно просты вследствие ортогональности данных для всех параметров.

Можно без потери общности выбрать значения

независимой

переменной, при

которых

получаются

наборы данных, равными

xt = tr, где t = 0,

1,2,

п — 1, а г = 2л/п.

(Буква t исполь­

зуется здесь потому,

что в подавляющем

числе

применений

неза­

висимой переменной

является время.

Значение п

может

быть

 

 

Линейные

модели с

несколькими

переменными

3 2 9

равным,

например,

24, если

период

 

составляет один

день.)

Итак,

для каждого

наблюдения

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

Yt = а 0

+

2 ( a j c ° s jtr + ßj sin jtr) + et,

t = 0, 1, 2, . . . ,га— 1.

(в)

3=1

(Заметим, что для полной определенности число наблюдений п

должно

быть больше или

равно

2т +

1.)

 

В нормальных уравнениях в силу ортогональности

обращаются

в нуль

следующие

суммы:

 

 

 

 

 

 

п - 1

 

 

 

 

 

 

 

2

cos/ïrsin/ïr —- 0,

 

 

 

 

 

1=0

 

 

 

 

 

 

 

п - 1

 

п - 1

 

 

 

 

 

2 cos jtr cos ktr = 2 sin

 

sin tor = 0,

 

 

1=0

 

t=C

 

 

 

 

 

 

/,

A;= 1,

2, . . .,

m;

 

]фк,

 

а суммирование квадратов функций дает

 

 

 

 

n—1

n—1

 

 

 

 

 

 

2 cos2 jtr

= 2

s i n

2 i

t T ^ \ -

 

 

 

i=0

1=0

 

 

 

 

Следовательно,

нормальные

уравнения

принимают вид

 

 

п - 1

 

 

 

 

 

 

па0=

2

 

 

 

 

 

 

 

 

(=0

 

 

 

 

 

 

 

п - 1

 

 

 

 

 

 

YaJ=y

Yt cos yïr,

 

 

 

(г)

 

 

i=0

 

 

 

 

 

 

 

п - 1

 

 

 

 

 

 

У ßj = 2 ^ s i n /*г' / = 2 ' • • • 'm>

 

 

 

1=0

 

 

 

 

 

и оценки параметров модели по методу

наименьших

квадратов,

таким образом,

равны

 

 

 

 

 

 

 

 

а0

7Г 2 Y t c o s/ 7 г '

 

(д>

 

 

 

= а і =

 

а}

bj

330 Глава 5

При обычных предположениях об ошибке et дисперсии оценок определяются выражениями

 

 

 

 

 

 

 

т2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а2 - :

п

 

 

 

 

(еі)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 о г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а,-

ß;

 

 

 

 

(е2 )

где оу( — дисперсия

е ( . Несмещенная оценка

o\t

дается

величи­

ной

 

, которую

можно

вычислить, используя

равенство

(5.1.15),

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n— 1

 

m

 

 

 

 

 

 

 

ç2•t _

2

у ? — о - | 2

 

 

 

 

 

 

 

t=0

n — 2т — 1

 

"

 

( Ж )

Дисперсии оценок

параметров

сами оцениваются

величинами

sao,

sa

и

si., когда

в

формулах

(е) величина a\t

 

заменена

на

sfy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

П.5.1.2а

 

 

 

Дисперсионный

анализ для гармоник

 

 

 

Источник рассеяния

 

Число степеней

Сумма квадратов

Средний квадрат

 

свободы

 

Первая

гармоника

 

 

 

2

 

 

 

1 п ( в «

+ Ь»)

Вторая

гармоника

 

 

 

2

 

1 и (««+&!)

 

1

 

 

 

 

 

 

 

-£-« ( а І + & І )

т-я

гармоника

 

 

 

2

 

 

 

- ^ " Kl+*>•»)

Остаток

 

 

п — 2т — 1

 

 

 

 

 

Общий

 

 

 

 

и — 1

 

 

 

 

 

 

В предположении, что ошибки et распределены по нормальному закону, в табл. П.5.1.2а представлены результаты дисперсионного анализа, позволяющего проверить, что амплитуда данной гармо­ ники отлична от нуля. При таком предположении о ег проверка этой гипотезы может быть проведена с помощью ^-критерия, использующего отношение дисперсий 1/in (a) +b*)/sy . Например, если отношение дисперсий является значимым лишь для первой

Линейные

модели с несколькими

переменными

331

гармоники, то эмпирические данные описываются одной сину­ соидальной волной. В свою очередь можно проверить гипотезу, что амплитуда каждой из гармоник равна нулю. Кроме того, по оценкам коэффициентов можно вычислить р^- и Ѳ^.

В качестве примера оценивания параметров в гармоническом анализе осуществим подгонку модели (в) с m = 4 к следующим экспериментальным данным о периодическом выходном сигнале для некоторого установившегося процесса:

x

(время)

Y

(напряже­

x

(время)

Y

(напряже­

 

ние, В)

 

ние, В)

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0,972

 

7я/6

 

- 4 , 3 9 1

 

Я/6

 

- 0,65 3

 

4 я / 3

 

- 4 , 7 0 9

 

я / 3

 

—0,353

 

Зя/2

 

—2,165

 

я / 2

 

2,063

 

5я/3

 

2,324

 

2я/3

 

3,803

И я / 6

 

1,048

 

5я/6

 

2,798

 

2я

 

0,814

я- 0,97 7

Здесь

п = 12

(2л

открывает новый

цикл).

Из

выражений

(д) были получены

оценки девяти параметров

 

а0 = -0,0153,

 

=

2,0768,

 

«1

=

0,9334,

ь2

=

-2,8978,

 

а 2

=

0,0391,

ь3

=

0,0027,

 

а3

=

0,0625,

ь,

=

-0,0377,

 

а 4

=

0,0030,

 

 

 

а

из выражения (5.1.15) — оценка

дисперсии s\

= 3,249 - Ю - 3 .

Повторные

измерения

в более

ранних сериях

показали, что s\ =

=

1,12 - Ю - 3 с 4 степенями свободы; из табл. В.4 F±_a

(3, 4) = 6,59;

следовательно, модель

можно

считать адекватной.

Объединенная

дисперсия

оказалась равной

syt

= 2,03-10- 3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

П.5.1.26

 

 

Гармоника

Средний

 

Отношение дисперсий

 

 

 

 

 

 

 

 

квадрат

 

— (oj +

bj)/sYt

 

 

 

Первая

15,552

Значимо !)

 

 

 

 

Вторая

25,197

То

ж е і )

 

 

 

 

Третья

11,73

 

То

ж е 1 )

 

 

 

 

Четвертая

4 , 2 9 - Ю - з

Незначимо

 

 

1) F 0 i 95 (2,7)= 4,74.

Смотрите также файлы