Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 715

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

332

Глава 5

Значения

средних квадратов из табл. П.5.1.2а приведены

в табл. П.5.1.26. В модель можно было бы включить дополнитель­ ные гармоники, и, возможно, некоторые из них могли бы оказаться значимыми.

5.1.6. Оценивание с использованием ортогональных полиномов

При использовании полиномов в качестве эмпирических моде­ лей матрица а может стать совсем плохо обусловленной. Напри­ мер, когда число коэффициентов достигает девяти, программа для вычислительной машины, использующая около восьми значащих цифр, не приведет к разумным результатам. Лучшие результаты дает подгонка с помощью ортогональных полиномов (или исполь­ зование машинной программы, включающей ортогональные пре­ образования). Полученный ортогональный полином можно пре­

образовать в обычный полином после того, как процесс

подгонки

завершен.

 

 

 

 

 

 

 

Если экспериментальные данные равномерно распределены по

интервалу изменения

независимой переменной х

[5] в виде ряда

произвольным

образом

пронумерованных

пар

(О, Y0),

(1, Yi),

(2, Y2), • • -, {n, Yn),

то модель можно построить в виде

комбина­

ции

ортогональных

функций:

 

 

 

 

Yq

(х) = ßoPo.n

(х) +

Р І Л . П ( * ) + . . . +

ßQPQ.N

ix) + е;

(5.1.20)

для

получения

оценок

параметров ßf t , bh,

нужно

минимизировать

сумму квадратов ненаблюдаемых ошибок (5.1.3). Ортогональными

функциями

являются

полиномы Рт,

п

(х), такие,

как

 

 

 

PQ, п (х) = 1,

 

 

 

 

Pi. п{х) = 1 — 2

 

 

 

z' "4

'

п

п (п — 1)

 

Рзп

(х) = 1 — 12 -

+ 30 ^ ^ Ч т - -

20 х I х * %{ х " 2>

d n У '

71

п(п — 1)

 

п(п — і)(п — 2)

и в общем

виде

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ > „ . „ W = 2 , ( - l ) « 1 ^ ± f i r ^ ,

( 5 Л . 2 0

 

 

 

h=0

 

 

 

где x{k) (или nih))

означает произведение

х (х — 1) (х — 2) . . -

. . . (х — к + 1),

m — степень полинома,

а х

принимает целые

значения от 0 до п. Эти полиномы обладают

весьма полезным
Ь Т + І ;

Линейные

модели с несколькими

переменными

333

свойством ортогональности:

2 Рт,п{х)Рч,п

(х) = 0,

если

g Ф

т,

х=0

 

 

 

 

П г>2 , ч (п +

т + і) ( m + «)<"»

 

 

=o

(2м + 1 J»>

-

если

g = m.

 

 

 

 

Вследствие ортогональности все недиагональные члены в урав­ нении, эквивалентном (5.1.5), обращаются в нуль, и каждый коэффициент может быть определен независимо от других:

S

Y(z)Pm,n(x)

 

 

 

,'6m = - ^ j

,

m = 0, 1, 2,

g.

(5.1.22)

Помимо того преимущества, что не требуется решать систему уравнений для параметров, использование ортогональных поли­ номов удобно и в другом отношении. Если уже найден полином степени т, то для подгонки полинома степени m -f- 1 необходимо определить лишь один новый коэффициент все другие коэф­ фициенты остаются прежними.

Если экспериментальные данные не распределены равномерно по интервалу изменения переменной х, простые полиномы Р Т , п (х) уже больше не применимы. Подходящие полиномы существуют и в этом случае, однако они зависят не только от m и к, но и от расположения неравномерно распределенных точек. Итак, каж­ дая задача подгонки к экспериментальным данным с неравномер­ ным расположением исходных точек приводит к уравнению регрессии, которое является некоторой линейной комбинацией своих собственных специальных ортогональных полиномов. Осу­

ществим

подгонку некоторого полинома

к данным,

полученным

в

неравномерно

распределенных

точках

(ж4, 1'4),

(хг,

Y

2 ) ,

. • .

.

. .,

(хп,

Y N

) ,

с помощью метода взвешенных наименьших

квадра­

тов,

используя

ненулевые

(положительные)

веса

w (xh),

k

—

=

1,

2,

. . .,

п.

Аппроксимирующая функция должна иметь вид

 

 

 

Y Q

(х)

= Ь0Р0 (х) +

ЪІРІ

(*) + .

. . +

\ P Q

(х).

(5.1.23)

Общее условие ортогональности будет выражаться равенством

n

2 w(xk)Pj(xh)Pi{xh)

= 0, если іф] для i, ; = 0 , 1, 2,

g.

334

 

 

Глава

5

 

 

 

 

Эти полиномы

можно

получить

рекуррентным

образом. Пусть

Р-і (х) = О,

 

 

 

 

 

Ро(х)

=

1,

 

 

 

 

 

Р1

(х)

=

(х — а,) Р0

(х),

 

 

 

 

Р2

(х)

=

( і - а 2 ) Р ,

(х)

-

ßjPo

(х),

Р3

(х)

=

(я - а 8 ) />2

(я)

-

ß 2 P i

(х),

 

Pj+i

(х)

=

(х — а,-+ 1 )

(ж) — p}Pj_i

(х),

Постоянные а7 -+ 1

и ß 7 должны быть определены так, чтобы удовле­

творялись общие соотношения ортогональности. Можно показать

[6], что если вычислять

a J + i

и ß 7

по

формулам

 

 

п

 

 

 

 

 

2

ш (ха) хкР?

(xk)

 

_ h = l

 

 

a J + l

—

 

n

 

'

 

 

2 K7

PJ

(xh)

k=i n

2Ш ( Х Й ) Р 2 ( ^ )

оfe=l

Pi = —

'

ft=l

то полином P 7 +i (ж) будет ортогонален в требуемом смысле обоим полиномам Pj (х) и Pj_i (х).

Пример 5.1.3. Ортогональные полиномы

В бассейне для обработки отходов не разлагалось некоторое органическое соединение до уровня, требуемого стандартом. В бассейн была введена новая бактериальная культура. В табл. П.5.1.3а приведены показания вольтметра контрольного устрой­ ства в сточной струе бассейна Y как функции х, времени в часах. Требуется осуществить подгонку некоторого ортогонального поли­ нома по 41 заданной точке и прервать эту процедуру, как только сумма квадратов для последнего члена станет незначимой с 5%-ным уровнем значимости.

Решение

Так как интервалы между значениями х одинаковы, для оценивания коэффициентов модели (5.1.20) можно использовать формулу (5.1.22). Результаты для первых нескольких полиномов

 

Линейные

модели

с несколькими

переменными

 

335

 

 

 

 

Таблица

П.5.1.3а

X

У

X

У

X

 

У

0

14,534

140

18,880

280

10,393

10

15,144

150

18,578

290

9,640

20

15,831

160

18,187

300

8,998

30

16,435

170

17,748

310

8,311

40

17,034

180

17,243

320

7,625

50

17,567

190

16,644

330

6,949

60

18,050

200

16,072

340

6,301

70

18,440

210

15,386

350

о,

619

80

18,764

220

14,716

360

" ,021

90

19,028

230

14,029

370

4,389

100

19,193

240

13,293

380

3,823

110

19,248

250

12,590

390

3,109

120

19,226

260

11,871

400

2,603

130

19,100

270

11,168

 

 

 

и некоторых

коэффициентов таковы:

 

 

 

 

 

 

Полиномы

 

 

Коэффициенты

Ро = 1

 

 

 

 

 

13,337

 

р,

=

і -

2х

 

 

 

 

- 0,39 1

 

 

 

6 2

=

- 0,019

 

4 Г

 

 

 

 

 

 

 

0,892 - Ю - з

 

 

 

 

6х

X — 1

ь 4

=

0,801

Ю-5

'

- '

- т

г

41

40

ье--

— 0,999

10-5

0,365

10-е

и

т. д.

 

 

 

 

 

 

 

 

0,343

10-7

 

 

 

 

 

 

 

 

— 0,122

10-7

 

 

 

 

 

 

 

 

- 0 , 5 1 9

Ю-9

 

 

х=0

 

. =

У

 

 

 

 

 

 

2

(!)2

 

 

 

 

 

 

 

 

ж=0

 

 

 

 

 

 

ит. д .

Втабл. П.5.1.36 приведены суммы квадратов, остающиеся от

41

2 (Yt — О)2 по мере того, как к модели добавлялись дополни-

і = 1

тельные члены. Интерпретация каждой суммы квадратов с по­ мощью і^-критерия такая же, как в разд. 4.3; этот вопрос снова будет рассматриваться в разд. 5.3.

336

 

 

 

 

Глава 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

П.5.1.36

Добавляемый

Число степеней свободы

Сумма

Средний

Отношение

 

член

квадратов

квадрат

 

дисперсий 1)

 

 

Полное

2(Хі

- 0 )2

41

8449,79

 

 

 

 

 

 

0

Вычитается

 

1

7293,49

 

7293,49

 

 

 

 

 

Остаток

 

 

40

1156,30

 

28,907

 

 

 

 

1

Вычитается

 

1

880,6600

880,6600

 

 

124,60

 

 

Остаток

 

 

39

275,6453

7,678

 

 

 

 

2

Вычитается

 

1

236,2725

236,2725

 

 

228,04

 

 

Остаток

 

 

38

39,3728

1,0361

 

 

 

3

Вычитается

 

1

38,1157

38,1157

 

1121,71

 

 

Остаток

 

 

37

1,2571

0,03398

 

 

 

4

Вычитается

 

1

0,1545

0,01595

 

5,23

 

 

Остаток

 

 

36

1,0976

0,03049

 

 

 

5

Вычитается

 

1

1,0356

1,0356

 

60,21

 

 

Остаток

 

 

35

0,0620

0,01720

 

59,27

 

6

Вычитается

 

1

0,0394

0,0394

 

 

 

7

Остаток

 

 

34

0,0226

0,0006647

 

17,05

 

Вычитается

 

1

0,0077

0,0077

 

 

 

 

Остаток

 

 

33

0,0149

0,0004515

 

3,06

 

8

Вычитается

 

1

0,0013

0,0013

 

 

9

Остаток

 

 

32

0,0136

0,000425

 

0,20

 

Вычитается

 

1

0,00001

0,00001

 

 

 

Остаток

 

 

31

0,0136

0,000438

 

 

 

х ) F 0 95 (!> ѵ )

изменяется от 4,09 до 4,16.

 

 

 

 

 

 

 

Как можно увидеть из табл. П.5.1.36,

каждый

добавляемый

член от нулевого до седьмого

является

значимым. Итак, начав

оценивание уравнения регрессии с Р0 (х)

и окончив

процедуру

на Ps (х), удалось получить выражение типа (5.1.23).

 

 

Чтобы представить Y в виде

полинома

по степеням х,

нужно

в

оценку

уравнения

регрессии

подставить

каждый

из полиномов

Рт

(х). После

ряда

алгебраических

вычислений получим

Y

= 14,521 +

0,06587* — 0,3311 - Ю - 1

* 2

-

0, 112-10-6 ж3

-

 

-

0,2283-10-7 ж4

+ 0 , 1 7 5 8 - Ю - ^ 5 -

0,5225 - Ю" 1 2 ^ +

 

 

 

 

 

 

+ 0,7245-10-«ж7 -

0,3920-Ю-1 8 ^8 .

 

5.2. Д О В Е Р И Т Е Л Ь Н Ы Е

И Н Т Е Р В А Л Ы

И П Р О В Е Р К А

 

 

 

 

 

 

Г И П О Т Е З

 

 

 

 

 

 

Теперь обратимся к рассмотрению: 1) оценивания доверитель­ ных интервалов для параметров модели, 2) оценивания совместной доверительной области для параметров и 3) проверки гипотез, аналогичных гипотезам разд. 4.3.

Смотрите также файлы