Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл (30,27Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 724

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Линейные	модели	с несколькими		переменными				347
							Таблица 5.3.1
	Дисперсионный анализ
	Число
Источник рассеяния	степеней	Сумма квадратов			Средний квадрат
	свободы
Обусловленный регрес		n	<*! — У)2					— У)2
Обусловленный регрес			<*! — У)2
сией		i=l
		i=l						- У г ) 2
		n						- У г ) 2
Отклонения от эмпири	п — q — 1		- у р 2					- 1
ческой линии регрес	п — q — 1	i=l						- 1
сии (отклонения отно		i=l					n — g
сительно регрессии)
		n	(У* — У)2					_ у ) 2
Неполная сумма	п — 1	i=l	(У* — У)2				n -	1
							n -	1
						n
						n	Pi	_
Отклонения внутри се	п				2	І=1	3=1
	S u				2	І=1	3=1
					s* =
рий (ошибка экспери					s* =		n
мента)	і=1	2	2 < ^ - у * ) »		к		n
мента)	і=1	2	2 < ^ - у * ) »				i=l
		і=1	і=1				i=l
		і=1	і=1
Можно дать геометрическую интерпретацию S					(^г	— О)2 согласно
фиг. 5.1.1. Квадрат длины вектора Y расщепляется на сумму
квадратов его компонент в плоскости х .
Число степеней	свободы	п — g — 1,		приведенное			во	второй
строке табл. 5 . 3 . 1 ,	равно числу		независимых		измерений,			исполь

зуемых для оценивания параметров; оно равно полному числу степеней свободы минус число связей, налагаемых методом наи меньших квадратов. Например, для восьми данных точек (значе ний Yt и ХІ) полное число степеней свободы равно восьми. При под гонке уравнения с тремя параметрами, одним из которых является свободный член, вводят три связи («поглощается» три степени свободы), а пять степеней свободы будут «остаточными».

Ценную дополнительную информацию о модели можно полу


чить, вычисляя сумму квадратов, соответствующую			исключению
одной или нескольких переменных	из	модели, первоначально
содержащей все переменные; тем самым осуществляется				разложе
ние суммы квадратов разностей между значениями,				предска
занными по уравнению регрессии, и средним значением, 2				(Yt—Y)2.
К сумме квадратов, выделенной из S	(Yt	— Y)2, как	будет*кратко

объяснено, можно применить і^-критерий для того, чтобы оценить значимость одной независимой переменной модели или некоторой гпѵппн таких пепеменны х.

348

Глава 5

Допустим, что одному из параметров модели (5.1.1) — для удобства обозначений последнему члену, однако результаты будут справедливы для любого члена — приписано некоторое значе ние I , возможно нулевое. Тогда модель можно записать в виде

_		5 - 1
Х\ — l(xq — Xq) =	ß 0	+ 2 M * f t —Xk)-	(5.3.1)
		ft=l

В последующем рассмотрении веса ради краткости будут опущены. Для получения оценок коэффициентов в уравнении регрессии, т. е. оценок Ь* параметров ß, следует минимизировать сумму квадратов:

Ф*-і= S lYi-(4t-l(xtq-xq))]*-

i = l

Эти оценки, конечно, могут не совпадать с оценками Ь, получен

ными до приписывания параметру ß 3	некоторого значения.	Сумму
квадратов остатков и нормальные	уравнения в случае,	когда
ß 9 = I , можно представить следующим образом. Разобьем		модель
(5.1.1), т] = xß, на две части:

ß*

Т| = [х*хд] ß J = x * ß * + x 9 ß g ,

где последний член равен (xq — xq) | . Тогда нормальные уравне ния и разложение суммы квадратов, «обусловленной Ь», будут

иметь		вид
							Один из параметров		Полная модель
							фиксирован
	Нормальные уравнения					(хТ Х) b* =		x * T Y	(x T x)b = x T Y
	Разложение суммы квадра						b* T x* T Y			b T x T Y
		тов, «обусловленной Ь»,
	Теперь сопоставим друг с другом параметры Ь* и Ь, выразим
компоненты матрицы ( х * т х * ) _ 1							через компоненты матрицы ( х г х ) _ 1
и определим разность					сумм квадратов ( b T x T Y				— b * T x * T Y ) . Снача
ла	запишем		эти	важные		соотношения,		а затем		покажем, как
их	можно		получить.				Ь. Если bt — коэффициент регрес
сии	С в я з ь		м е ж д у		Ь*	и
	в	модели		(5.1.1), а		Ъ* — соответствующий				коэффициент
тіегтзессии в			модели с		ппиписанным паоаметнѵ_6_ь „значением £.

Линейные

модели

несколькими

переменными

349

то имеет

место

соотношение

b! = b i

- ^ ( b k -

) .

(5.3.2)

С в я з ь м е ж д у к о м п о н е н т а м и ( х т х ) - 1 и ( х * г х * ) _ 1 .

В случае когда параметр ßf e = \,

компоненты (q — 1) X (q — 1)-

матрицы с *

= ( х * т х * ) - 1

выражаются через компоненты

первона

чальной q X (7-матрицы

с =

( х г

х ) _ 1

следующим

образом:

cXJ =

]

- ^

L .

(5.3.3)

Р а з л о ж е н и е

с у м м ы

к в а д р а т о в .

Если ф 3 —

сумма квадратов

для первоначальной

модели, a

^>|_і — сумма

квадратов для модели с ßf e = g, то разность между

суммами

квадратов

Фі

— Y ) 2

получается из

соотношения

+ S z M .

(5.3.4)

Теперь

опишем,

как

можно

вывести соотношения

(5.3.2) —

(5.3.4). Прежде всего запишем нормальные уравнения в разверну

том

виде (опуская

уравнение

для параметра

Ь0

= Y,

которое

одинаково

обеих

моделях)

для

полной

модели:

(xik — xk)

(Xih—Xh) (хц — x}) bj,

k=l,

...,q,

(5.3.5)

i=l

;=1

и для

модели

приписанным

параметру

ß g

значением

£:

[Yi — (Xiq — Xg)l]

2 (Xih — Xh)

i=l

q— 1

(xih — xh)(xij—Xj)bf,

k = l,..,,q—l.

(5.3.6)

t=l

3=1

q — 1 уравнений (5.3.5)

Вычитая

из первых

соответствующие

уравнения

(5.3.6),

получим

равенство

(Xih

— Xk)(Xïg

— Xq) =

g—1

(Xik — Xk) (Xij — Xj) (bj — b*) +

I 2

2 [ 2

i=l

3=1

+ (xik—Xk)(xiq—xq)bq],

(5.3.6a)

которое

примет

вид

g-i

(I — bq){xTx}hq=

{ХГ Х}^(&; - —

bj),

j =

(5.3.7)

Ä = 1 ,

g — 1 ,

если ввести

обозначение

i=l2(^1? — xp){xtq—xq)

{xTx}pq.

350 Глава 5

Так

как

( х г х ) ~ х

является обратной

матрицей

для

( х т х ) ,

имеем

2 { x r x } f t j

{ ( х ^ ) - 1 } ^

оы,

к,

1 =

1, . . . ,

j =i

где

ôhi

если

к Ф

ôht

если

Соотноше

ние

(5.3.7)

умножим

справа на {(xTx)~1}hi

скг;

суммируя

полу

ченное

выражение по

от

1 до

q — 1 ,

получим

9-1

g-1

q - i

il — bq) S

{ x T x } q f e C f t Z

(bj — bj) S

{xTx}jhChl,

h=l

3=1

ft=l

Z =

, . . . ,

или

(S — bq)

[oqi — {xT x}g e c„l =

9-1

— b*) [ад —

{xTx}jqcqi],

;'=i

Z = l ,

(5.3.8)

При Z = q соотношение (5.3.8) переходит в

9-1

( 5 - 6 , )

[l-{xTx}qqcqq]

= - c q q

(bj-bf)

{xTx}jq.

(5.3.9a)

l Ф q соотношение

3=1

При

(5.3.8)

принимает

вид

9-1

(î—bq)[

— {xTx}qqcqi]

= bj — b* — cql S

(bj —

b*){xTx}jq,

3=1

1 = 1,

. ..,

q — 1.

(5.3.96)

Соотношение

(5.3.9a)

позволяет исключить

сумму по / из соотно

шения

(5.3.96), что дает

искомую

связь

между Ь* и

Ь:

Ь? = bl

— (bq

— l)^SL.

1=1,

1 .

(5.3.2а)

Cqq

Перейдем теперь к установлению связи между

компонентами

матриц

( х * г х * ) - 1

( х т

х ) _ 1 .

Если

систему уравнений (5.3.6)

формально разрешить относительно коэффициентов

Ь%, то получим

9 — 1

bk = SChi S (Xij — X]) lYt — (Ziq —

Xq)],

3=1

i=l

Ä = l

q — l,

(5.3.10)

где

Chj — элементы

матрицы,

обратной

(q—1) X

(q—1)-матрице

( х * т х * ) .

Подобное

решение уравнений

(5.3.5) для bu дает

bh=

Ch]

{xij—Xj)

Yt,

k =

l , . . . , q .

(5.3.11)

3=1

i=l

Смотрите также файлы

Хмелевский А.В. Паровоз. (Устройство, работа и ремонт) учебник для техн. шк. ж.-д. трансп.pdf

Хокс П. Электронная оптика и электронная микроскопия.pdf

Цесевич В.П. Звезды типа RW Возничего фотографические наблюдения блеска.pdf

Цифровая обработка сейсмических данных..pdf

Шишкин Н.Н. Кобальт в рудах месторождений СССР.pdf

Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно