Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

360 Глава 5

зывается неверной и не согласуется с дисперсией У, подсчитанной для модели I I I . Например, для случая, когда нужно предсказать величину У и ее дисперсию при xt = — 1 , х2 — 1, из фиг. П.5.3.16 видно, что Var {Уц} « 0,12, тогда как Ѵаг { 7 Ш } ж 2,3. Следова­ тельно, в модели I I дисперсия Y значительно занижается. Кроме того, модель I I дает смещенную оценку У. Из фиг. П.5.3.1в ВИДНО, что при ХІ = — 1 , х2 = 1 смещение приблизительно равно 2,2, и даже вблизи экспериментальных точек математическое ожидание смещения лежит в пределах от 0 до 0,4.

Безусловно, данные этого примера имитированы. Однако дей­ ствительно важно, чтобы переменные в эксперименте были по воз­ можности ортогональны друг другу.

Пример 5.3.2. Дисперсионный анализ

В этом примере проводится дальнейшее исследование приме­ ра 5.2.1. Результаты дисперсионного анализа, согласно табл. 5.3.1,

довательном исключении групп переменных. Например, выби­ раются две различные группы, которые исключаются из полной

полученная в примере 5.2.1, не совпадает со значением 5,615 -10- 5 , приведенным в табл. П.5.3.26. Подобное отсутствие согласованно­

ных оценок параметров модели, если предположить, что ненаблю­ даемые ошибки не являются независимыми. Этот раздел является продолжением разд. 4.6, но посвящен рассмотрению моделей с несколькими независимыми переменными. Основное предположе­ ние 4 разд. 4.2 теперь не выполняется; вместо этого предполагает­

можно найти в работе [9]. Приведем здесь лишь окончательное выражение, которое дает _ приближенную оценку ковариации

(br, bs):

Выражение (5.4.5) дает оценку, которая используется при опре­ делении совместной доверительной области и при проверке гипотез.

Существует много других моделей, в которых ошибки et не являются независимыми, но из-за недостатка места нельзя описать их здесь; список соответствующей литературы приведен в конце гл. 4.

5.5. О Ц Е Н И В А Н И Е Д Л Я М О Д Е Л Е Й С Н Е С К О Л Ь К И М И ЗАВИСИМЫМИ П Е Р Е М Е Н Н Ы М И

Нередко процесс включает более чем одну зависимую пере­ менную, или отклик, как показано на фиг. 5.5.1. Каждая выходная

• у,

Процесс •У»

Ф и г . 5.5.1. Процесс с несколькими откликами .

переменная может быть представлена в виде линейной комбинации входных переменных. Например, модель на фиг. 5.5.1 можно записать в виде

в некотором отношении отличается от оценивания моделей с одной зависимой переменной. Замечания, сделанные в этом разделе, справедливы как для линейных, так и для нелинейных моделей, так что модель будет записываться в общем виде

где индекс ѵ соответствует последнему уравнению. В общем случае не существует универсального выбора «наилучшего» критерия для оценивания ß.

Поскольку в предыдущих разделах было показано, что макси­ мально правдоподобные оценки параметров обладают рядом жела­ тельных свойств, естественно исследовать максимально правдо­ подобные оценки для модели с несколькими зависимыми пере­ менными.

Рассмотрим модель, в которой наблюдения Y связаны с откли­ ками следующим образом:

номер набора экспериментальных данных.) Если предположить, что каждая из ошибок гті распределена нормально и независимо от других с математическим ожиданием, равным нулю, и постоян­ ной дисперсией о*гг, которая может быть различной для разных моделей, а ковариации между моделями равны crr s , то можно записать плотность распределения вероятности, тождественно совпадающую с выражением (5.1.11) для наблюдений с одним откликом: