Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 730

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

370

Глава 5

Задачи

5.1. В табл. 3.5.1 собраны данные, полученные для различ­ ных скважин. Можно ли применить к этим данным метод наи­ меньших квадратов разд. 5.1 для оценивания параметров некото­ рой линейной модели и для оценивания доверительных пределов для этих параметров?

 

 

 

 

Таблица

3.5.1

Номер

Глубина,

Плотность,

Нерастворимые

Жесткость,

 

вещества

содержание СаСОз

скважины

м

г/см3

(в частях на 10 в)

(в частях

на 10

е )

Е-71

68,5

0,8104

2320

1030

 

Е-73

67,0

0,7567

2320

1140

 

1-2

62,0

0,8509

2660

1280

 

1-22

45,5

0,6728

3060

1140

 

1-24

41,5

0,6773

4460

1640

 

1-29

42,5

0,9303

2160

673

 

• 1-46

64,0

0,8681

2540

868

 

5.2. Методом наименьших квадратов получите оценки пара­ метров §х и ß 2 модели Y = ß t 4 - е - Р 2 х _j_8 . Укажите на неко­ торые трудности. Веса примите равными единице.

5.3. Получите матрицу а для модели

Y = ß 0 + ß i * i + ß 2 ^ 2 + e,

используя развернутую запись, затем, вычисляя матрицу, обратную

а,

получите матрицу

с. Найдите Var {bi},

Var {b2}

и Var

{b0}.

 

5.4. При условии что вектор Y обладает многомерным нор­

мальным распределением

с параметрами (xß, 1er2), покажите, что

оценки параметров ß, полученные методом наименьших

квадратов,

эквивалентны

максимально правдоподобным оценкам

ß,

a er2 =

= Е2/гс является максимально правдоподобной оценкой

диспер­

сии er2. Заметим, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Е 2

= S (ХІ

-

Yty

= (Y -

xb) T

(Y -

xb).

 

 

 

5.5. Покажите, что математическое ожидание <f> [суммы квадра­

тов

остатков,

определяемой

выражением

(5.1.15)]

равно

(п — q — 1)

Используйте

соотношение

 

 

 

 

 

 

 

I { Q }

= o 2

S p M +

îfMT],

 

 

 

 

где

Q — квадратичная

форма

Y r M Y ,

M — матрица

n

X n, r\ —

=

% { Y } и Var { Y } = o 2 I .

 

 

 

 

 

 

 

 

5.6. Покажите, что метод

наименьших квадратов

дает

оценки

параметров ß 0

, ß t и ß 2 модели г| = ß 0 +

ß i {хх

— хх)

+

ß 2 {хг

— хг)

Линейные модели с несколькими

переменными

371

такие же, какие можно получить для модели т] = ß„ +

ß i # i +

-f p2xz, где ß; = ß 0 — fiiXi — $2x2.

5.7.Чтобы проверить, проходит ли некоторая прямая через

заданную точку (У0 , х0),

покажите,

что

отклонение

А = bt -f-

-F- b2x0

— У 0

имеет

дисперсию

 

 

 

 

 

Модель

 

этой

прямой

имеет

вид Y =

ß 1

+ ß 2 a ;

+ e »

п —[число

наборов

данных, о*|г

= Ѵаг {ег }.

 

 

 

 

 

5.8. Студента просят по экспериментальным данным оценить

коэффициент

ß 2 в

модели

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y =

ßiXj +

ß 2 x 2

+

е.

 

(а)

Он считает, что сначала должен использовать модель Y = ß ^ i + s ,

чтобы оценить

ßj , а затем модель Х2

=

fi'2xi

+ е> чтобы оценить ß^.

Тогда

или модель

(Y — Ь[х±) =

ß 3 z 2

+

е, или модель Y =

= ß 4 (х2

— b'çXi) -f- e

дадут

корректную

оценку

параметра ß 2

модели (а), т. е. или 63 , или è 4

будут равны Ь2. Прав ли студент?

Объясните.

 

 

 

 

 

 

 

 

5.9. Рассмотрим

следующую

модель:

 

 

 

 

 

Л =

ßo +

ßi^i

+

ß 2 « 2 +

Рз^з.

 

 

Если

матрица

плана

имеет

следующую

структуру (х0 = 1):

 

У

 

*2

ХЗ

 

 

У

 

*2

X3

V i

— 1

- 1

- 2

 

 

Ув

1

1

—2.

Y2

1

- 1

—1

 

 

Ye

1

1

—1

Y3

- 1

0

- 2

 

 

Y7

— 1

1

1

Yi

1

0

—1

 

 

Ys

1

1

2

то оценки ßj, полученные решением нормальных уравнений при использовании метода наименьших квадратов, можно представить

ввиде линейных функций восьми наблюдений Yt. Покажите, например, что

fe0 = 0,2193

(У, + У 2 + Y3

+

. . . +

Y8)

-

 

 

-

0,0288 ( - У , +

У 2 -

У 3

+

- • . + Y8)

-

 

- 0,1042 ( - У 4 -

У 2

+

. . . +

У8 ) +

 

 

+ 0,0814

( - 2 У , - У 2 -

2 У 3 -

. . . + 2У8 ).

Получите выражения для b0, Ьи Ьг и Ь3 через Yt и подтвердите правильность табл. 3.5.9. Столбцы 2—4 таблицы содержат коэф-

8

фициенты при У г в выражении bj = 2 o-ijYi.

372

 

Глава 5

 

 

 

 

 

 

Таблица 3.5.9

 

bo

bi

Ьг

Ьз

 

0,1895

—0,1275

—0,1792

—0,0163

Y2

0,2133

0,1514

—0,3192

0,0618

Y3

0,0853

—0,1633

0,0684

—0,0847

Y,

0,1091

0,1156

—0,0716

—0,0066

Y5

—0,0765

0,0831

0,2444

—0,1597

Y6

0,0049

0,0798

0,1760

—0,0750

Yi

0,2253

—0,2090

0,1108

0,1010

Ys

0,2491

0,0699

—0,0292

0,1791

Покажите, что

 

8

 

Ѵаг{Ь;} = От. S < & ,

 

1 І =І

 

 

8

 

Cov {bjbh} = o^.

2

dijciik.

Предположим, что величина Y3

изменилась на 10% . На сколь­

ко изменится (в %) величина оценки ß2 ? Определите два наблю­ дения, наиболее важных по их вкладу в дисперсию Ь3. Какое наблюдение дает наибольший вклад в дисперсию Y?

5.10. В химическом реакторе периодического действия были получены следующие данные:

Температура,

Выход про-]

°С

.дукта, %

200

6

210

7

220

8

230

И

240

18

Проведите регрессионный и дисперсионный анализ по следую­

щей

схеме:

 

а)

Введите кодированную

переменную

 

х -

Г — 190

 

10

б) Найдите х т х и x T Y .

в) Из этих данных вычислите оценки b параметров ß линейной модели

ч = ßo + ßl*.

Линейные модели с несколькими переменными 373

 

г)

Напишите

оценку уравнения

регрессии в кодированных

и

некодированных переменных,

т. е.

 

 

 

 

Y

=

bo +

bj,

 

 

 

 

Y

=

b0

+ Ь^а;.

 

 

д)

Составьте таблицу для дисперсионного анализа при а =

0,05

в

кодированных

и некодированных

переменных.

 

 

е)

Нанесите на график зависимости Y от Т экспериментальные

данные и постройте линию регрессии.

 

 

ж)

Изобразите совместную доверительную область для ß 0

и р\.

 

5.11. Данные,

приведенные

в табл. 3.5.11, взяты из рабо­

ты

[13]. Постулируя линейную

модель

 

 

 

Y = а +

 

 

ß 2 x 2

+ ß 3 z 3 + e,

 

получите наилучшие оценки для а и ß/, т. е. вычислите а и bù рассчитайте доверительные пределы для а и ß f ; найдите множе­ ственный коэффициент корреляции; проведите дисперсионный

 

 

 

 

Таблица

3.5.11

Конверсия

Температура

Отношение Нг

Время контакта

п-гептана

к «-гептану

в ацетилен

в реакторе

(мольная доля)

хз,

с

Yt, %

«1, °С

 

 

 

 

49,0

1300

7,5

0,012

50,2

1300

9,0

0,012

50,5

1300

11,0

0,0115

48,5

1300

13,5

0,013

47,5

1300

17,0

0,0135

44,5

1300

23,0

0,012

28,0

1200

5,3

0,040

31,5

1200

7,5

0,038

34,5

1200

11

0

0,032

35,0

1200

13,5

0,026

38,0

4200

17,0

0,034

38,5

1200

23,0

0,041

15,0

1100 •

5,3

0,084

17,0

1100

7,5

0,098

20,5

1100

11,0

0,092

29,5

1100

17,0

0,086

анализ; определите, нельзя ли исключить из модели какую-либо переменную, и, наконец, для выбранных значений независимых переменных рассчитайте доверительный интервал' для и =

5.12. Анализ трудовых затрат, необходимых для изготовления теплообменников, можно использовать для предсказания стоимости

Смотрите также файлы