Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 738

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Линейные модели с несколькими переменными 379

откуда

p ^

К»*

I (Рр)0,5Д

\а

4

(РрЗ)0,5

\

ц.

) •

Вводя новую постоянную Kt = KDd (для данного гидроциклона), выражение (б) можно привести к виду

Коэффициенты Кі и à в формуле (в) оценивались по данным табл. 3.5.21. Коэффициент К оказался равным 3970, a d = 1,904.

Таблица 3.5.21

Экспериментальные результаты, использованные для расчета параметров Qp/fj, и (_Рр)°>5/и.

р,

ß,

р,

Q ,

(Рр)°>5

 

г / с м З

г / с м • с

КГС/СМ2

с м З / м и н

м-

 

1,199

0,0846

2

3550

18,4

5,03

 

 

4

5030

25,9

7,13

 

 

6

6150

31,8

8,72

 

 

8

7110

36,6

10,1

 

 

10

7910

41,0

11,2

 

 

11

8230

42,9

11,7

1,164

0,0498

4

5070

43,4

11,9

 

 

6

6130

53,2

14,3

 

 

8

6940

61,2

16,2

 

 

10

7680

68,5

18,0

1,122

0,0288

4

5060

73,5

19,7

 

 

6

6060

90,1

23,6

 

 

8

6970

104

27,2

 

 

10

7620

116

29,7

 

 

11

8040

122

31,3

1,000

0,0127

4

5000

157

39,4

 

 

6

6060

193

47,7

 

 

8

6760

223

53,2

 

 

10

7470

249

58,8

 

 

12

8180

273

64,4

0,989

0,0054

4

4540

369

83,1

 

 

6

5480

451

100

 

 

8

6240

520

114

 

 

10

6850

583

125

 

 

12

7540

638

138

В логарифмическом масштабе по обеим осям получилась прямая линия, хорошо согласующаяся с экспериментальными данными. Прокомментируйте этот эксперимент и проведенный статистиче­ ский анализ. Можно ли улучшить модель, полагая Q = К2Рт?

5.22. При условии, что две переменные Хі и Х2 имеют дву­ мерное нормальное распределение со средними значениями ш и іх2

380

Глава

5

и ковариационной

матрицей

 

 

ІОц 0 1

2 ^

0"2І о-2 2 / '

найдите максимально правдоподобные оценки для Ці, ц2, Оц, а 2 2 и сг1 2 = о 2 1 .

7 4 ^

 

 

 

73

 

3-М

 

 

 

 

 

 

(36)

 

72

 

 

 

I69

6-D

 

 

71

 

 

 

(37)

Регрессия Y на х

70

 

Коэффициент

регрессии à=ff,â

 

 

 

68

 

 

 

67

А-ТѴ

 

 

(125)

1-М

 

 

 

 

66 U

 

 

2-D

 

 

 

(38)

 

2,4

2ß

2,6

 

Средняя оценка

 

Ф и г . 3.5.24. Отложенные точки представляют номер группы; буква соот­ ветствует фамилии преподавателя; в к р у г л ы х скобках указано число сту­ дентов [/ . Eng. Ed., 52, 316 (1962)].

5.23. Проведите подгонку полинома второй степени к сле­ дующим данным, о которых известно, что зависимая переменная

коррелирована во

времени:

 

 

Время t

Адгезионная

Время t

Адгезионная

способность У

способность Y

 

 

1

21

9

26

2

9

10

40

3

14

11

41

4

16

12

59

5

10

13

74

6

1

14

91

7

14

15

105

 

14

 

 

Линейные модели с несколькими переменными 381

Обсудите данные, выполните соответствующие проверки и интер­ претируйте результаты.

5.24. На первом курсе механического факультета был прове­

ден некоторый

эксперимент. Секция телевизионного обучения

из 125 студентов

была разделена на 5 групп по 25 человек, зани­

мающихся в четырех аудиториях (две группы находились в одной большой аудитории с двумя телевизионными установками). Дру­ гие 225 студентов обучались обычным способом различными опытными преподавателями. Известны общие результаты заключи­

тельного экзамена.

 

 

Результаты этого

эксперимента даны в

виде графика на

фиг. 3.5.24. Точки на

графике представляют

средние значения

по соответствующим группам. Так как точка для секции телеви­ зионного обучения попала на линию регрессии для всех групп, успеваемость в ней равна средней успеваемости всех студентов

курса,

причем

рассматривались

относительные способности.

 

Прокомментируйте

применение

метода

наименьших квадратов

для получения

оценки

кривой

регрессии.

 

 

 

 

 

 

 

Л И Т Е Р А Т У Р А

 

 

1.

Freund R. J.,

Amer.

Stat.,

17,

13

(Dec.

1963).

 

2.

Smiley К . W . ,

Amer.

Stat.,

18, 26

(Oct.

1964).

 

3.

Gaber M . J., Comm.

ACM,

7,

721

(1964).

 

 

4.

Wampler R. H . , / . Res. Nat.

Bur.

Standards,

73B.

5.

Milne W . E . , Numerical Calculus, Princeton Univ . Press, 1954; есть рус ­

 

ский

перевод:

Милн

В . Э., Численный

анализ,

И Л , 1951.

6.

Forsythe G. E.,

/ .

Soc.

Ind.

Appld.

Math.,

5,

74

(1957).

7.

Kramer К . H . ,

/ .

Amer.

Stat.

Assn., 58,

1082 (1963).

8.

Gorman J. W . ,

Toman

R. J.,

Technometrics,

8,

27

(1966).

9.Lyttkens E . , Standard Errors of Regression Coefficients in the Case of

Autöcorrelated Residuals, i n : Proceed. Symposium Time Series Analysis,

 

Rosenblatt

M . , ed., W i l e y ,

N . Y . , 1963, p. 49.

 

 

 

 

10.

Box G. E. P., Draper N .

R.,

Biometrika,

52,

355

(1965).

 

1 1 .

Strotz

R.

H . , W o l d H . 0 .

A . ,

Econometrica,

 

28,

417 (1960).

12.

Kerridge D . , Technometrics,

9,

309

(1967).

 

 

 

 

 

 

13.

Kunungi T . , Tamura T . , Naito T . ,

Chem.

Eng.

Prog.,

57, 43 (1961).

14.

Greyson M . , Cheasley J., Petrol.

Ref.,

38,

8,

135

(1959).

 

15.

Levenspiel О., Weinstein N . J.,

L i J . CR . , Ind.

Eng.

Chem.,

48, 324 (1956).

16.

Sieder

E.,

T ä t e G. E . , Ind.

Eng.

Chem.,

.28,

1429

(1936).

 

 

 

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ

ЛИТЕРАТУРА

 

 

 

 

 

 

Общие

вопросы

 

 

 

 

 

 

 

Action F. S., Analysis oi

Straight

Line

Data,

W i l e y ,

N . Y . , 1959.

 

Cramer H . , Mathematical

Methods

of

Statistics,

Princeton

U n i v . Press.,

Princeton,

N . J . . 1954.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Davies O. L . , Statistical Methods in Research and Production, 3rd ed.,

Oliver and

Boyd, London, 1958.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Draper N . R., Smith H . , Applied

Regression Analysis, W i l e y , N . Y . , 1966;

есть русский

перевод: Дрейпер

H . ,

Смит

Г.,

Прикладной

регрессионный

ЯТТЯТТІТЯ ТТІЭТТ-ТІЛ й С т Я Т Т Т Р . Т Т Т К Я А Т* ТГРИЯТІТ .

J

382

 

 

 

 

 

 

Глава 5

 

 

 

 

 

Feller

W . ,

A n

Introduction to Probability Theory and

Its Applications,

W i l e y ,

N . Y . ,

 

1957.

 

 

 

 

 

 

 

 

Fischer R., Statistical Methods and Scientific

Inference,

Oliver

and

Boyd,

London,

1956.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Guest

P.

 

G., Numerical Methods of Curve

Fitting,

 

Cambridge

U n i v .

Press,

Cambridge,

England,

1961.

 

 

 

 

 

 

Mood

A . ,

Graybill F., Introduction to the Theory of Statistics, McGraw-

H i l l .

N . Y . ,

 

1963.

 

 

 

 

 

 

 

 

Plackett

R., Principles of Regression Analysis,

Oxford Univ . Press,

Oxford,

England,

1960.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Smile K . W . ,

A n

Introduction to

Regression

and Correlation,

Academic

Press, N . Y . ,

1966.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Williams

 

E .

J.,

Regression Analysis, W i l e y , N . Y . ,

 

1959.

 

 

 

 

Программы для ц и ф р о в ы х вычислительных

м а ш и н

 

 

ALSQ — подпрограмма

на языке

F O R T R A N

I V для

решения

линейной

задачи методом наименьших квадратов, написанная Стюартом (Stewart G. W . , I I I , Union Carbide Corp., Oak Ridge, Tenn.). Эта программа использует некоторую модификацию алгоритма, предложенного в работе: Businger Р . , Golub G. H . , Linear Least Squares Solutions by Householder Transformations,

Num.

Math.,

7,

269—276 (1965).

 

 

 

 

 

 

 

B J Ö R C K - G O L U B — п р о г р а м м а

на

я з ы к е

F O R T R A N

V для решения ли­

нейной

задачи

методом

наименьших

квадратов,

написанная

Вамплером

(Wampler R. H . , National Bureau of Standards), которая использует

алгоритм

Б ь е р к а

— Голуба,

описанный в работах:

 

 

 

 

 

Björck

 

A . , Solving Linear Least

Squares

Problems

by

Gram-Schmidt

Orthogonalization,

BIT,

7, 1—21

(1967).

 

 

 

 

 

Björck

 

A . ,

Iterative Refinement

of

Linear

Least

Squares

Solutions,1 1,

BIT,

7,

257—278

(1967).

 

 

 

 

 

 

 

 

Björck

 

A . ,

Golub

G.

H . , A L G O L

Programming," Contribution № 22:

Iterative Refinement of Linear Least Square Solutions by Householder Trans­

formation,

BIT,

7,

322—337 (1967).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Björck A . , Iterative

Refinement

of

 

Linear

Least Squares Solutions,

I I ,

BIT,

8, 8—30 (1968).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B M D 0 2 R ,

шаговая

регрессия — одна

из

машинных

программ

для

био­

медицины,

написанная

на

я з ы к е F O R T R A N

 

и представленная

в

работе:

Dixon W . J.,

ed., B M D Biomedical

Computer

Programs,

Health

Sciences

Computing Facility,

 

Univ . of Calif., Los Angeles, 1964, Revised 1965

and

1Ѳ67.

 

B M D 0 3 R ,

множественная регрессия со случайными комбинациями —

одна

из

машинных

программ

д л я

биомедицины,

написанная

на

я з ы к е

F O R T R A N .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B M D 0 5 R ,

полиномиальная

регрессия — одна из

машинных

программ

для

биомедицины,

написанная

на

языке

F O R T R A N .

 

 

 

 

 

 

 

L I N F I T — программа

подгонки

некоторой линейной

функции

к

собран­

ным

данным

с помощью

метода наименьших

квадратов .

Н а

подгоняемые

коэффициенты

можно наложить произвольные ограничения, чтобы

сделать

их неотрицательными, прибавлять к

некоторой постоянной и т. д. Это

одна

из восемнадцати статистических подпрограмм, написанных Миллером:

Miller J. R.,

On-Line Analysis for Social Scientists, MAC-TR-40,

 

Project

MAC, Mass. Inst,

of Techn., Cambridge,

Mass.,

1967.

 

 

 

 

 

 

 

 

L I N F I T - A — д р у г а я

программа

 

линейной

подгонки

методом

 

наимень­

ших

квадратов и

вычисления

к о р р е л я ц и й ,

написанная

 

на языке

BASIC.

C-E-I-R Multi-Access Computer Services Library Programs Documentation,

MAC 71-7-1,

1967;

 

Addendum,

MAC

71-7-1,

A 12-368,

1968.

 

 

 

 

 

LSCF — подпрограмма

подгонки

полиномиальной

к р и в о й

методом

наи ­

меньших квадратов, написанная на языке BASIC: C-E-I-R Multi-Access Computer Services Library.

Смотрите также файлы