Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

тов, написанная на языке BASIC. Составлена Шумакером (Shumaker J. В . ,

См.: Efroymson M . A . , Multiple Regression Analysis, i n : Mathematical Methods

ского и численного анализа . Допускает эффективную связь с вычислитель­

Глава 6

Н Е Л И Н Е Й Н Ы Е МОДЕЛИ

Как уже объяснялось во введении к гл. 4, термин «нелиней­ ные» . применительно к моделям в этой части книги означает, что эти модели нелинейны по параметрам (коэффициентам), которые должны быть оценены (как правило, они оказываются нелинейны­ ми и по независимым переменным). По сравнению с линейными моделями в случае нелинейных моделей усложняется не только оценивание параметров по причинам, которые будут объяснены ниже, но и в значительной мере затрудняются вычисление и интер­ претация доверительных интервалов для этих параметров, провер­

Прежде чем перейти к детальному описанию эксперименталь­ ных данных: посредством нелинейных моделей, необходимо оста­ новиться на обозначениях и предположениях, лежащих в основе методов нелинейного оценивания. Затем рассматривается несколь­ ко конкретных методов, эффективно используемых для оценива­ ния параметров модели. Одновременно указывается на те трудно­ сти, с которыми приходится сталкиваться при применении этих методов. После этого обсуждаются ошибки оценок параметров и, наконец, дается краткий обзор методов оценивания в случае, когда на переменные или параметры модели наложены некоторые ограничения.

6.1. В В Е Д Е Н И Е

Пусть дана некоторая случайная наблюдаемая зависимая пере­ менная, или отклик, Yt или Yt, i = 1, . . ., п, в соответствии с тем, проводились или нет повторные наблюдения, и несколько неслучайных независимых (контролируемых) переменных xh, к =

редко производятся повторные наблюдения.) Предполагается, что

Можно предложить и другую нелинейную модель, обладаю­ щую большой практической ценностью, хотя она и не будет

случайных переменных, тогда как в (6.1.5) жй представляют собой просто фиксированные числа.

Как и при линейном оценивании, хотелось бы получить не только оценки b параметров ß нелинейной модели (6.1.2), но и оценки Ѳ параметров Ѳ плотности распределения вероятности е, так как значения Ѳ позволяют оценить рассеяние значений b относительно истинных значений ß. Однако получить оценки b оказывается проще, чем Ѳ, и поэтому основное внимание будет уделено этой задаче. Существует много методов численного оце­

Во-первых, необходимо знать функциональную форму функции правдоподобия (6.1.4). Во-вторых, эта процедура, вообще говоря, не может быть проведена аналитически для нелинейных моделей. Хотя всегда целесообразно исследовать, если это возможно, пове­ дение функции правдоподобия в окрестности ее максимума, на практике наиболее часто предполагают, что справедливы следую­ щие основные предпосылки разд. 4.2 (независимо от того, выпол­

Так как оценивание методом наименьших квадратов является наиболее простым, здесь будет отдано предпочтение этому методу перед методом максимального правдоподобия. К тому же многие из желательных свойств оценок, полученных по методу наимень­ ших квадратов (состоятельность, эффективность, несмещенность и минимальная дисперсия), не зависят от предположения о нор­ мальности распределения в случае линейных моделей, и это при-

•°—u —п -м —^™нейдых_жодедей^_Если плотность