Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

прямого поиска с использованием критерия (в), по существу совпадают со значениями, которые дает применение к этой задаче метода линеаризации, хотя их вычисление требует, вообще говоря, большего времени. Так как перечисленные три критерия не являются тождественными, сравнение их, проведенное в этой таблице, показывает влияние выбора самого критерия. Если ненаблюдаемая ошибка е прибавляется к lg г|, то линейный метод наименьших квадратов дает желаемые оценки параметров. Однако если в действительности модель имеет вид Y = п + е, то оценки ее параметров могут весьма отличаться от. оценок, полученных из модели lg Y = lg и + е, особенно когда ошибки велики.

На фиг. П.6.2.1 показан процесс уточнения параметров для одного поиска. Заметим, что, хотя сумма квадратов остатков монотонно уменьшается, оценки параметров изменяются нерегу­ лярно. Помимо начальных значений, указанных в табл. П.6.2.1, испытывались и другие начальные точки, которые привели прак­ тически к тем же результатам как для оценок параметров, так и для суммы квадратов остатков. Однако выбор начальных оценок параметров далеко не так прост, как это может показаться. Неудачный выбор начальных значений может привести к «мас­

При таких обстоятельствах невозможно осуществить никаких пробных или рабочих шагов, ибо эффект любых изменений в пара­ метрах находится далеко за пределами значащих цифр в имитиро­ ванных данных для Y.

Несмотря на то что этот пример является несколько искус­ ственным, он проливает свет на многие типичные проблемы, с кото­ рыми приходится сталкиваться при нелинейном оценивании, в частности:

1. Как выбрать начальные значения параметров?

2.Как выбрать подходящий размер шага для определения минимума?

3.Как следует записать модель и тем самым критерий опти­ мизации?

6.2.2. Симплексный метод

Вторым методом без производных, применяемым для миними­ зации нелинейной целевой функции, является метод, основанный на использовании симплексов. Подобные методы оказались весьма

полезными для обнаружения экстремума целевой функции, как условного, так и безусловного; особенно они эффективны при большом числе параметров. Для случая двух параметров правиль­ ным симплексом является равносторонний треугольник (три вершины); для трех параметров такой конфигурацией служит правильный тетраэдр (четыре вершины). Соответствующие иллю­ страции даны на фиг. 6.2.2.

При поиске минимума суммы квадратов отклонений ф в каче­

са, как впервые было предложено в работе [4] в связи с задачей планирования экспериментов. В каждой вершине симплекса подсчитывается сумма квадратов отклонений; с помощью прямой, проходящей через центр тяжести симплекса, строится некоторая проекция точки, соответствующей наибольшему значению целевой

функции; на фиг. 6.2.2 такой точкой является точка А. Затем точка А отбрасывается и образуется новый симплекс, называемый отражением, который составляют оставшиеся старые точки и одна новая точка В, расположенная на линии AB на надлежащем расстоянии от центра симплекса. Повторение этой процедуры, в которой всегда отбрасывается точка, соответствующая наиболь­ шему значению целевой функции, с соблюдением правил уменьше­ ния размера симплекса и правил, предотвращающих периодиче­ ские колебания в окрестности экстремума, является методом поиска

а

а направление поиска может изменяться. На фиг. 6.2.3, а изо­ бражен последовательный ряд симплексов, построенный для двупараметрической модели, где в качестве целевой функции была взята хорошо сходящаяся сумма квадратов.

Однако применение оригинального метода связано с некото­ рыми практическими трудностями: он не позволяет ускорить поиск при движении по искривленным впадинам или гребням, что может несколько улучшить сходимость (см., например, довольно сложный метод [5], использующий неправильные многогранники). Здесь будет описан простой усовершенствованный симплексный метод, при котором допускается изменение формы симплекса [61, что оказывается весьма эффективным и легко осуществимым на цифровых вычислительных машинах. Этому методу следует отдать предпочтение по сравнению с описанным ранее методом прямого поиска, ибо он требует меньшего машинного времени, даже если сходимость к моменту остановки оказывается медленной.

Итак, требуется минимизировать величину ф, определяемую выражением (6.2.1). Для упрощения записи удержим в аргумен­ те функции ф лишь зависимость от оценок параметров, опуская