Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл (30,27Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 744

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

398

Глава

независимые

переменные

ф =

ф (Ь),

b =

[Ьи Ь2,

. . .,

Ьт}т.

(6.2.7)

Обозначим через

Ьг

[blfi,

Ъ2,і,

• . .,

bmi]T

вектор,

определяе

мый в пространстве

параметров m координатами bt,

b2,

. . ., bm

вершины с номером

і.

Симплекс

имеет

m + 1 вершину,

каждой

из

которых

соответствует

некоторый

вектор

Ьг . Пусть-

фі

— соответствующие

значения

целевой

функции.

Исходным

симплексом является

правильный

симплекс

(это не обязательно),

вершина 1 которого принята за начало координат. С помощью аналитической геометрии можно показать, что координаты дру гих вершин правильного симплекса получаются так, как показано-

в табл.	6.2.1.
								Таблица	6.2.1
				Координаты
	Вершина
					• • • b m-l, і			ьт, і
	1		0	0		0		0
	2		я	я	"...	Я		я
	3		я	7l\		я		я
	m		я	я	. . .	Яі		я
	m + l		л	я		я		Яі
	Здесь
	Я	і = =	m У2~ ( Ѵ т		+ 1 + ™ —1)'
		а — расстояние м е ж д у двумя					вершинами .
Например, для m =			2 и а = 1 вершины				треугольника,		изоѵ-
бражеиного на фиг. 6.2.2, имеют					следующие			координаты:
	Вершина				^Z,i
		1		0	О
		2		0,965	0,259
		3		0,259	0,965
Обозначим
фи	— Ѵй&х{фі)	для соответствующего				вектора Ьі=ьиу.
	г

фі = т\п{фі) для соответствующего вектора b i = t

Нелинейные	модели	399
и пусть с будет центром тяжести	всех точек симплекса с і ф	иг

т. е. исключая наихудшую точку. Метод состоит в последователь ной замене вершины Ьа на новую вершину, согласно следующей схеме:

1.	Прежде	всего	осуществляется отражение, при котором
получается вершина
			Ь* =	(1 + ѵг) с -	У г К ,	(6.2.8)
где уг	— так	называемый		коэффициент	отражения,	некоторая

положительная постоянная, определяемая исследователем, кото

рая	может быть равна единице. Пусть		ф (Ь) = ф. После того
как	проведено отражение	Ъи, осуществляется следующее:
	а) Если фі <С ф* < фи,	заменяют	Ь„ на Ь*. Полученный

в результате этой замены симплекс используют в качестве исход

ного		для первого		этапа.
	б)	Если	ф* <С фи, производят				растяжение,		преобразуя	век
тор Ь* в			Ь** с	помощью		соотношения
				Ь** =	Т е Ь * +		(1 -	уе) с,	(6.2.9>
где уе		— коэффициент растяжения					(например, 2). Если ф** <С фі,
заменяют Ъи на Ь** и снова начинают								первый этап. Если ф** >
>	фі,	растяжение		ухудшает		ситуацию.; тогда			Ъи заменяют на Ъ*
и	снова начинают			первый		этап.	и, т. е. замена Ъи на Ь* показы
	в). Если ф* > фі для всех і Ф
вает, >что Ь* соответствует					точке,		дающей максимум ф, то опре
деляют некоторый				новый	вектор		Ъи,	равный	либо старому	век

тору bu , либо Ь*, который дает более низкое значение ф. Затем

осуществляют сжатие,		преобразуя вектор			b u в Ь**	согласно,
формуле
	Ь**	= УсК +	(1 -	Ус) с,		(6.2.10)
где ус	— коэффициент	сжатия,	0 ^	ус ^ 1	(обычно	ус = Ѵ2 ).
Вектор	b u заменяют на Ь** и снова повторяют первый этап, если

только вершина, полученная при сжатии, не приводит к худшему результату, чем max {ф (Ъи), ф (Ь*)}, т. е. если ф** > т і п { ф и , ф*}; в последнем случае все векторы bj заменяют на V 2 (bj + Ьг ) и воз

вращаются	к первому этапу.
2. Поиск	прекращают, когда

где е — произвольно выбранное малое число, а ф — среднее значение ф.

Алгоритм поиска показан на фиг. 6.2.4.

Старт

Вычислить

начальные

a <pL

I* 1,2,..,tn*1,исходного симплекса

Вычислить Ьа

Вычислить Ь = (/+ fr)c-fr

Ъи

Вычислить ф

~ \

•m —н

Ф*<Фі? —Нет-*\

<р*>фь1фи?

ф* > 0 U

Hem

Да

Вычислить Ь •=(!+%.) Ь*- /е С

{Заменить Ьана Ь*

ffem

— "

Вычислить

ф**

Вычислить Ь* =

Ьц + ( / -

/ J

Нет

{заменить Ь„ «û h*

~ т ~

<ФС?

{вычислить ф**

Да

Нет

•>

0 „ ?

\3аменить

b.ßaß'

{Заменить Ь.маЪ**

Да

Заменить все bLHa^(bt+

bt )

Нет

•^£(Фс-Ф)2/л*5е?

Да

Стоп

Ф и г. 6.2.4. Алгоритм

усовершенствованного

симплексного метода.

Нелинейные модели 401

Пример 6.2.2. Симплексный метод

Д ля иллюстрации применения симплексного метода линейная

модель n =	ß„ + ßix	подгонялась к данным из примера 4.3.2.
В качестве	начального был выбран вектор с координатами о'0		0 > =
= 1, Ь[0) =	1, для	которого сумма квадратов отклонений	<£„0)

равнялась 9,55 -105. На фиг. П.6.2.2 показан процесс уточнения параметров при поиске, включающем 85 последовательных отраже

ний,	растяжений и сжатий (для чего потребовалось 1,76 секунд
юо
	I 0(°>= 9,55 -ГО5
80	хххххххххххххххххххххххххх-
	I А х х х х х х х х х х х Х х * х х х х х х х
g 60	-іхххх

		40	50	60	70	ао	90
		Число	итераций
		Ф и г . П . 6 . 2 . 2 .
машинного времени на вычислительной				машине CDC 6600),			кото
рый	был прекращен, когда получились значения					Ь'0 = 13,506,
bj =	79,021 и фмм	= 9,616 -103	по сравнению		с	13,51,	79,02
и 9,617-103 соответственно для примера				4.3.2. Другие начальные
точки приводят к		таким же	результатам.