Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 748

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

402

 

 

 

Глава

6

 

 

 

где ß

= / + (1 -

/) а:

 

 

 

 

 

 

Q — предсказанное значение приращения скорости потока по

 

сравнению с нормальным уровнем, зависимая переменная;

О* — скорость

потока

на

входе.в русло, известная величина;

t

— время, независимая

переменная;

 

 

 

— параметры модели,

характеризующие задержку

потока,

 

байпас,

застойные

зоны,

которые

требуется

оценить;

t

— среднее

время

пребывания,

известная величина.

Эта модель с помощью симплексного метода подгонялась к дан­

ным,

полученным

для реки

Колорадо

ниже

Остина (шт. Техас).

Врежя от сброса в Остине г ч

Ф и г. П . 6 . 2 . 3 . Предсказанные и экспериментальные значения избыточного потока близ Смитвилля (шт. Техас).

Средний нормальный поток равен 580 м3/мин, Q* = 3220 м3/мин.

Данные представляют собой измерения потока в городе Смитвилле. Они относятся к 4 августа 1966 г., когда в Остине была выпущена вода, которая днем позднее дала пиковое значение „потока в Смитвилле. На фиг. П.6.2.3 данные сравниваются с предетсазанной кривой. В табл. П.6.2.За показан путь поиска в про­ странстве параметров. Поиск был прекращен, когда «объем» симплекса "стал меньше чем Ю - 7 (после обработки данных на машине CDC 6600 в течение примерно 8 с ) .

 

 

 

Нелинейные

модели

 

403

 

 

 

 

 

Таблица

П.6.2.3а

Число ша-

Ф

m

n

 

а

гов 1)

 

1

А

2,443

2,035

1,077

0,898

1,013

 

В

0,470

1,077

4.035

0,898

1,013

 

С

2,460

1,131

1,119

0,155

1,080

 

D

2,768

1,152

1,143

0,730

1,979

 

Е

0,107

2,000

4,000

0,040

2,000 ,

5

А

0,675

1,888

3,895

0,577

1,203

 

В

0,471

1,077

4,035

0,898

1,013

 

С

0,496

2,410

5,423

0,895

1,220

 

D

0,977

1,969

3,973

0,266

0,574

 

Е

0,489

1,814

4,460

0,652

0,613

10

А

0,480

1,555

5,53

0,970

0,966

 

В

0,470

1,077

4,403

0,898

1,013

 

С

0,432

1,875

4,924

0,832

1,027

 

D

0,470

1,489

4,630

0,751

0,466

 

Е

0,413

1,675

4,647

0,731

0,853

20

А

0,241

2,354

6,467

0,867

0,366

 

В

0,250

2,202

6,177

0,579

0,385

 

С

0,225

2,546

6,625

0,836

0,359

 

D

0,249

2,393

6,243

0,778

0,489

 

Е

0,314

1,953

5,972

0,916

0,391

50

А

0,143

3,731

8,587

0,727

0,472

 

В

0,169

3,470

8,047

0,730

0,439

 

С

0,147

3,670

8,481

0,729

0,472

 

D

0,167

3,228

7,822

0,788

0,384

 

Е

0,126

4,167

9,458

0,713

0,500

184

А

0,0219

6,651

14,672

0,719

0,440

 

В

0,0219

6,653

14,676

0,719

0,440

 

С

0,0219

6,653

14,675

0,719

0,440

 

D

0,0219

6,651

14,672

0,719

0,440

 

Е

0,0219

6,651

14,671

0,719

0,440

1) А, В, С, D, Е обозначают вершины симплекса.

Использовалось несколько исходных точек и все они привели по существу к одним и тем же оценкам параметров. Наименьшее значение ф, равное 0,0216, получилось при m = 6,13, n = 15,08, / = 0,705 и ce = 0,448. При этих значениях было подсчитано взаи­ модействие между параметрами (см. разд. 6.3).

Параметры той же самой модели оценивались методом прямого

поиска

в течение

такого

же

времени. Результаты приведены

в табл.

П.6.2.36.

Оценки

для

тип

несколько отличаются от

значений, записанных в табл. П.6.2.За, так как программа прямого

поиска, использующая

такое же относительное

изменение к о ѳ ^

фициентов, прервалась

раньше,

чем это имело

место при поиске

симплексным методом

(при значении ф = 0,026 в отличие от

ф = 0,0219 для симплексного

метода).

 

404

 

Глава

6

 

 

 

 

 

 

Таблица

П.6.2.36

Число шагов

Ф

m

n

а

 

0

1,067

2,000

4,000

0,040

2,000

5

0,434

4,400

7,600

0,028

0,800

10

0,048

3,200

36,40

0,280

0,800

20

0,026

3,136

23,83

. 0,399

0,716

50

0,026

3,133

23,92

0,398

0,717

6.2.3. Линеаризация

модели

Теперь рассмотрим методы с производными, применяемые для

минимизации суммы квадратов отклонений, которые требуют

численного

или аналитического

вычисления

первых (а

иногда

и вторых)

производных.

Из большого многообразия

методов

с производными опишем здесь лишь два наиболее широко

исполь­

зуемых метода:

 

 

 

 

 

 

1)

линеаризация

модели процесса;

 

 

2)

линеаризация

критерия,

т. е.

линеаризация функции ф.

Ряд

других

методов рассмотрен в

книге [1].

 

Первый метод известен под различными названиями, в том

числе

как метод Ньютона — Рафсона, метод

Гаусса — Ньютона

и метод Гаусса — Зайделя,

хотя

основной вклад в развитие этого

метода внесен Гауссом г ) . Идея метода очень проста: линеаризовать модель с помощью отрезка ряда Тейлора для того, чтобы приме­ нить линейный анализ и получить искомый минимум суммы квадратов отклонений посредством итерационных расчетов. Вво­ дятся начальные предположения о параметрах; новые оценки получаются с помощью метода, основанного на использовании алгоритма Ньютона — Рафсона. Вычисления повторяют до тех пор, пока критерий сходимости не будет удовлетворен.

Начнем с разложения т| в ряд Тейлора (разд. 2.4.4) относи­ тельно значения Ь< 0 ) , начального приближения вектора ß. Веса вводятся как в гл. 5. Исходное значение ß, обозначается через bf>. Если

 

ф=%и>і ( У І - Л О * .

(6.2.11)

 

t=l

 

где

величина г)г- соответствует вектору г-го набора данных хг ,

то,

минимизируя ф, можно найти улучшенную

оценку ß^. (Если

1 ) В нашей литературе этот метод принято называть методом линеари ­ зации или методом нелинейных оценок. Методом Гаусса — З а й д е л я обычно называют метод поочередного варьирования переменных. — Прим. ред.

Нелинейные

модели

405

функция т] действительно линейна, для достижения минимума ф необходимо осуществить лишь один этап расчета.) Разложим функцию п следующим образом:

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

Ъ+%(-щ)0&ЬГ>

(6-2.12)

где

Abj0) = ßj

— bf\

и с индексом

0

означает, что эта функция

вычисляется в точке

Ь\оу,

. . ., Ъ\%,

а индекс 0 у частных

произ­

водных означает то

же самое. Чтобы освободить исследователя

от

наиболее

трудоемких

расчетов,

для используемого

метода

с производными составлены машинные программы, в которых частные производные аппроксимируются отношениями частных разностей:

где ô обозначает малое приращение. Однако не всегда возможно численно вычислить производную с требуемой точностью. Если кривая регрессии для модели гладкая, величина в знаменателе растет слабо и относительная ошибка приближенного значения производной может резко возрастать. (То же самое остается справедливым при использовании численной аппроксимации про­ изводных от ф. По мере того как функция ф достигает своего минимума, относительные ошибки производных, определяемых численным расчетом, становятся большими. Следовательно, поиск минимума ф может приводить к колебаниям и (или) стать весьма неэффективным.)

После подстановки в выражение (6.2.11) линейного приближе­ ния (6.2.12) для г) частные производные от ф по каждому из при­ ращений Abf} можно приравнять нулю, как объяснялось в раз­ деле 5.1:

n

m

= 0. (6.2.13)

406

Глава 6

В*результате получается система m линейных уравнений, соот­ ветствующих нормальным уравнениям гл. 5:

і=1

*Ъ*'[Г'-М-[%).^-(%),Щ--...](%)-о.

і=1

Пусть £ І0 )

= Yt

 

— (н;)0 .

Тогда

эти

линейные

уравнения можно

переписать

в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• •

 

 

 

 

 

 

 

 

і=1

 

 

 

 

 

 

 

i =l

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.2.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=l"' '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i = l

 

 

 

 

 

 

 

i=l

 

 

 

 

 

 

 

 

1=1

 

Теперь

нужно

 

разрешить

их

 

относительно

Afy.

Эту громоздкую систему уравнений можно сделать более ком­

пактной,

если

 

ввести

следующие

матричные

обозначения:

, Y

 

1 _ .

3

r u

(Xj? Ь)

 

.

.

 

9

 

., и, / = 1, 2, . . ., т,

L A i j J —

 

^

 

1

1 — 1

Ï ^ 5

 

 

 

 

 

 

/

ОТ)

\

 

I

дг\і

 

\

 

 

 

 

 

 

ЩІ

 

 

 

 

 

Х<°> =

V aßt )о

"

' \

ö ß m

;

 

 

 

/ дЦп

\

 

(

дцп

 

\

I —матрица п X то,

 

 

 

 

. U ß i /о " '

Vößm i o J

 

А^0 ) '

А&<°>

В ( 0 ) =

AM

Смотрите также файлы