Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 09.04.2024

Просмотров: 752

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

Нелинейные

модели

411

значений

х2. Угловые

коэффициенты этих прямых,

аппроксими­

рующие

параметр ß t ,

равны:

Ь<0>

 

 

 

JC2

 

0 3,1

12,9

23,2

так что в качестве Ь[0) можно использовать среднее значение 3,1. Заметим, что, если бы отсутствовали повторные значения х2, вышеприведенная процедура требовала бы значительной интер­ поляции данных.

'г ,

— I

 

 

оі

 

 

 

I

 

 

I

 

I

 

 

 

 

О

 

 

 

I

 

 

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф и г. П.6.2.4а.

 

 

 

 

Для

получения

Ь'0 )

и bf

запишем

 

 

 

 

 

 

 

 

(г)

-

3,1*і) =

ßaePs«.,

 

 

 

 

 

 

In

(л — ЗДжД

=

In ß 2

+ ß3x2.

 

 

(в)

На фиг. II.6.2.46

изображен

график

зависимости In (Y

— ЗДа^)

от х2 для некоторого

набора

данных;

угловой коэффициент этой

прямой

представляет

 

собой

оценку

&|°\

а

отрезок,

отсекаемый

ею на

оси

ординат,

приближенно равен

In (bl20)).

Из

чертежа

следует,

что

Ь(20) œ

2,9

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ь у > ^

1° 2.88-1° 1.02

= _ 0

> 5

2 .

 

 

Эти оценки близки к истинным значениям параметров, ибо при получении имитированных данных была выбрана небольшая дис­ персия ошибок.

Затем следует принять решение о выборе весов. В этом примере все наборы данных будут входить с равным весом, т. е. w( = 1.

412

Глава 6

Наконец, необходимо установить критерий прекращения поиска, чтобы вычислительная машина «знала», когда прервать вычисле­

но,

.

-0,5

Ф и г . П.6.2.46.

ния; пусть этот критерии для каждого параметра имеет вид

 

 

h—°i—

< ю-".

(r)

 

 

 

 

 

 

 

Частные производные от

п

 

равны

 

 

 

 

дц

 

 

 

 

 

 

 

дц

 

 

 

 

 

 

 

Ж

 

 

 

 

 

 

 

дг\

hx2e^.

 

 

 

 

ößs

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vößi

/ о '

 

 

 

 

 

V aßt Jo'

^ 2 1

= 0,0,

 

 

3ß 2

/ о '

 

 

 

 

 

\

öß 2

Jo'

„-0,52-1

= 0,594,

 

 

 

 

 

 

I

дщ \

:2,9 . 0 . e - ° - 52 - o =

o,

W ß s

Jo'

I

дц2

\

^ . Э - І . е - 0

. » 2 - 1 =

1,723,

\

öß 3

Jo

 

 

 

Нелинейные

модели

 

 

413

Эти

элементы составляют

матрицу

Х < 0 ) , по которой

можно под­

считать матрицу [Хі0))т

Х <

0 ) = А ( 0 ) . Элементы

матрицы

Е <

0 ) равны

E T

= Уі - (Лі)о = У і - ( 3 , Ь і і + 2,9e-".62*«) =

 

 

 

 

 

 

 

= 2,93 —(3,1-0 +2,9e - 0 . " - 0 ) = 0,03,

 

. £ 2 0 , = F 2 - ( î ] 2

) 0 = l , 9 5 - ( 3 , l - 0 + 2 , 9 e - ° . 5 2 1 ) = 0,23 .

и т. д.

 

 

 

 

 

 

 

 

Отсюда

можно вычислить матрицу Х ( 0 ) Г Е ' 0 ) . Затем

по

форму­

ле

(6.2.16)

можно

найти матрицу

В ( 0 ) и,

используя выраже­

ние

(6.2.17), вычислить

вектор Ь ( 1 ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

П.6.2.46

 

 

Уточнение

параметров методом Гаусса — Зайделя

 

 

Номер цикла

 

ь(«)

ь(»>

Ь («)

 

Ф<«)

0 (начальное

приближе ­

 

з д

2,9

-0,52

 

0,1981

ние)

 

 

3,017

2,958

—0,5222

 

0,1573

1

 

 

 

 

2

 

 

 

3,017

2,958

—0,5220

 

0,1574

3

 

 

 

3,017

2,958

-0,5220

 

0,1574

В табл. П.6.2.46 показан процесс уточнения параметров по циклам (записаны лишь четыре значащие цифры). Заметим, что начальные предположения близки к конечным оценкам параме­ тров ß и при хорошо сходящейся целевой функции оказалось достаточно небольшого числа циклов, чтобы согласно критерию прекращения поиска расчет был приостановлен.

Чтобы сделать итерационную

процедуру быстро сходящейся

и избежать колебаний при менее

благоприятных целевых функ­

циях, чем в примере 6.2.4, некоторые авторы предлагают во время каждого цикла итерации автоматически исследовать поведение суммы квадратов отклонений ф в направлениях, задаваемых элементами ß [9—11]. Хартли после вычисления матрицы (6.2.16),

но

перед

применением формулы (6.2.17)

подсчитывал

несколько

значений ф для различных значений vjAbjn)

в интервале 0 ^ Vj ^

^

1. Конечно, можно взять и другой интервал. Значение Vj, при

котором

функция фш(ѵ)

имела

минимум, например

ѵ*, исполь­

зовалось

для получения

(п +

1)-го

вектора

Ь,

путем замены

V* = hj

в формуле (6.2.17). Если

для

подгонки

к

значениям

фш

(ѵ) брали некоторую

параболу,

как на

фиг. 6.2.6,

 

 

фт (у.) = а 0

+ aiVj +

а2ѵ),

 

 

 

414

 

Глава 6

 

то

для определения коэффициентов а0, ау и а2,

а также ѵ* =

=

—aJ2a2 требовалось лишь

три значения ф. Хартли показал,

что

эта модификация метода

Гаусса — Зайделя

при некоторых

заданных условиях обеспечивает сходимость к минимуму ф. Однако в'силу того, что необходимые требования, вообще говоря, не могут быть установлены до нахождения минимума ф, практиче­ ская польза метода Хартли заключается в том, что он дает неко­ торый объективный, а не субъективный критерий выбора вели­ чины hj в формуле (6.2.17). Предлагаемый метод поиска имеет неко­ торое преимущество перед методом наискорейшего спуска (кото­

рый будет

кратко

рассмотрен),

заключающееся

в

том, что он

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Парабола,

построенная

ШІ

 

 

 

 

по трем

значениям

<f>(äb )

 

 

 

±Д6<п>

йЬ (п)

 

 

 

 

 

 

Ф и г. 6.2.6. Исследование поверхности ф.

 

 

позволяет контролировать масштаб шагов (выбор

их

размера)

при уточнении ф. Любой метод,

при котором

непрерывно регу­

лируется величина hj, так что функция ф может лишь

уменьшать­

ся, но никоим

образом не возрастать, обходит ряд

трудностей,

присущих

стандартному методу

Гаусса — Зайделя,

в котором

величина hj равна

единице.

 

 

 

 

 

 

Пример 6.2.5,

Модифицированные варианты

метода

Гаусса —

 

 

Зайделя

 

 

 

 

 

 

В работе [12] использовалась модификация Хартли метода Гаусса — Зайделя для подгонки значений потенциала Томаса — Ферми — Дирака для атомов, протабулированного Томасом. Модель имела вид

Tj

(х,

ß „ . . . ,

ß 6 )

=

ß i e - k * +

ß3e-&iX

+

ß e e - f o * .

 

 

Параметр

ѵ мог изменяться

от —1,5 до 1,75 с интервалом

0,25.

Для каждого

параметра

ьу° на каждом

цикле

подсчитывалось

14 значений

ф(П)(ѵ);

определялось

наименьшее

 

значение фіП) (ѵ)

при vt. Значение ѵ*

соответствовало минимуму

параболы,

про­

ходящей через точки

(уг _ь

ф (fj-O),

(vt, ф(ѵі))

И (Ѵш,

ф

(ѵі+і))

(если точка vt

не совпадала

со значением

—1,5

или

1,75).

Нелинейные модели 415

Итерационный процесс прерывался, когда выполнялось нера­ венство

ф < Г Ы - 1 ) _ ф ( П )

 

ф(п)

I U

или если функция ф{П+1) возрастала.

В табл. IJ.6.2.5 приведены

некоторые результаты, позволяющие сравнить модифицированный

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

П.6.2.5

 

 

Подгонка

потенциала

Томаса — Ферми — Дирака

методом

 

 

 

 

наименьших

квадратов

 

 

Номер

bin)

bin)

 

bin)

bW

bin)

bin)

 

цикла n

 

 

1

2

 

3

4

 

 

 

 

 

Модифицированный метод Гаусса — Зайделя

 

А:

0

0,4660

1,1420

 

0,5410

6,4470

0,1000

9,9990

83,7

 

1

0,4607

1,3458

 

0,4526

5,9621

0,0820

8,9045

7,415

 

2

0,5261

1,6027

 

0,4302

6,9199

0,0414

9,0207

4,048

 

5

0,5696

1,6775

 

0,3845

7,6433

0,0438

10,993

3,533

 

10

0,4786

1,5047

 

0,4063

5,4189

0,1125

12,708

3,016

В:

0

5,180

1,5770

 

0,3910

6,2190

0,0890

25,000

6,624

 

1

0,5625

1,6825

 

0,3674

6,5011

0,0099

22,126

2,390

 

2

0,5313

1,6276

 

0.3892

5,9050

0,0792

21,504

1,923

 

4

0,4578

1,4974

 

0,4758

5,2726

0,0651

28,376

0,786

 

9

0,4256

1,4431

 

0,4918

4,8668

0,0823

24,116

0,572

 

 

 

Немодифицированный

метод

 

 

Л О 2 )

10

0,5897

1,7177

 

0,2792

8,2340

0,1292

8,2392

3,574

 

9

0,5899

1,7182

—199,47

8,2426

199,88

8,1085

402,7

Ві

10

1,2226

- 0,7341

 

1,9944

2,0019

0,2384

—7,8010

10*2

2) Значения параметров, соответствующие номеру цикла n и исходному вектору АО.

метод Гаусса — Зайделя с немодифицированный методом. Очевид­ но, что модифицированный метод является более совершенным.

6.2.4. Линеаризация целевой функции

Другой способ определения минимума суммы квадратов откло­ нений ф состоит в том, чтобы линеаризовать саму целевую функ­ цию. К таким методам относятся хорошо известный метод наи­ скорейшего спуска, метод сопряженных градиентов [13] и метод Маркуардта [14]. Градиент функции ф, grad ф, или Тф, пред­ ставляет собой вектор, перпендикулярный к контурам поверхно­ сти ф в пространстве параметров, который указывает направле­ ние наибольшего возрастания ф в данной точке. Противополож-

Смотрите также файлы