Файл: Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами.pdf

Нелинейные модели 425

Ф и г . П . 6 . 3 . 1 . Сравнение приближенных 95% - ных доверительных областей,, полученных при подгонке двух связанных моделей.

Подобное часто используемое преобразование состоит в том, что полагают

где переменная t измерялась в градусах Цельсия. Дл я постоянных

"были имитированы 100 экспериментальных точек, для чего исполь­ зовались случайные значения щ и и2 из интервала от 0 до 1 и слу­ чайные значения t из интервала от 100 до 200. Случайная ошибка, распределенная по нормальному закону со средним значением, равным нулю, и дисперсией

Преобразование абсолютной температуры, описанное в при­ мере 6.3.1, применялось также к выражению (а); величина Т полагалась равной 423 (t — 150). Минимизация преобразованной целевой функции дала следующие результаты:

Д ля минимизации суммы квадратов отклонений использова­ лось несколько различных методов. Накопленный опыт позволяет сделать следующие выводы. (Число шагов, приведенное ниже, определялось по 1/100 доли суммы: 1) числа подсчетов величины (Ri — rt) и 2) числа подсчетов частных производных от г по одному параметру.)

1.Метод наискорейшего спуска для невзвешенной целевой функции с непреобразованной температурой, но использующий масштабный и ускоряющий множители: после 579 шагов значение ф было уменьшено всего до 3615; после 1019 шагов значе­ ние ф равнялось все еще 3523. Вывод: метод неэффективен.

2.Метод наискорейшего спуска с преобразованной температу­ рой, ускоряющим множителем h и масштабными множителями полученными из соотношения

In l} = In q ( 1 - e x p [ - - ^ In (-щщ-) J } ,

ф равнялось 90,95. Вывод: метод эффективен, но сходимость слабая

рой: получилось значение ф, равное 2904, после 1265 шагов и зна­

5. Метод Маркуардта с начальным значением % = 1, после каждых 10 циклов значение К регулировалось: для непреобразо­ ванной температуры ф равнялось 90,7 после 1501 шага; для пре­ образованной температуры ф равнялось 90,7 после 21 шага. Вывод; метод эффективен и быстро сходится, как и метод Гаусса — Зайделя.

Было использовано другое преобразование, приводящее выра­ жение (а) к виду

при замене

к' = In &.

Исходные значения к' равнялись логарифмам первоначальных исходных значений; масштабные множители для к\ и к'% были приняты равными 1. Результаты получились приблизительно такие же, как для преобразования из примера 6.3.1, хотя число шагов пришлось несколько увеличить.

Была также проведена процедура оценивания, при которой численная аппроксимация производных достигалась с помощью правых разностных схем с мелкой сеткой. Для приращения пара­ метров в 0,001 части масштабного множителя существенного раз­ личия между двумя методами не было обнаружено. Однако при более крупной сетке потребовалось дополнительное число шагов.

Э ф ф е к т н у л я . Эта ситуация может быть проиллюстри­ рована на примере следующей целевой функции:

Замечаем, что в целевой функции осталась лишь одна переменная

мум ф. Особенно чувствителен к эффекту нуля метод Гаусса — Зайделя, так как в этом случае матрица А становится вырожден­ ной. С другой стороны, метод наискорейшего спуска продолжает работать и в случае, когда имеет место незамеченный эффект нуля, за что приходится расплачиваться большим числом зигзагообраз­ ных шагов. Что касается метода Маркуардта. то влияние на него эффекта нуля зависит от величины X. Для малых значений X метод

При использовании методов прямого поиска в задачах, в которых имеет место эффект нуля, в основном сталкиваются с трудностями, связанными с выбором неправильного масштаба и взаимодействием параметров.