Файл: Практическая работа 4 Составление закона распределения дискретной случайной величины и вычисление ее основных характеристик.pdf

Практическая работа №4
Составление закона распределения дискретной случайной величины и
вычисление ее основных характеристик
Цель: научиться составлять таблицу распределения дискретной случайной величины. Научиться вычислять основные характеристики дискретной случайной величины.
Средства обучения:

методические рекомендации к практической работе № 4.
Виды самостоятельной работы:

составление таблицы распределения дискретной случайной величины;

вычисление основных характеристик дискретной случайной величины.
Краткая теоретическая справка
Определение. Случайной величинойназывается величина, которая в результате опыта может принимать то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно.
Определение. Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).
Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.
Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.
Определение. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной
случайной величины.
Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.
Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.
Х х
1 х
2
х
3
… х
n
Р p
1 p
2
p
3
… p
n
Графическое представление этой таблицы называется многоугольником
распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако такой закон бывает трудно обозримым и по нему сложно судить о поведении случайной величины. Для этой цели используют некоторые числовые характеристики. Они определяют некоторое среднее значение, вокруг которого группируются значения случайной величины, и степень их разбросанности вокруг этого среднего значения.

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности.








n
i
i
i
n
n
x
p
x
p
x
p
x
p
x
X
M
m
1 2
2 1
1
)
(
Свойства математического ожидания:
1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной.
С
С
М

)
(
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания.
)
(
)
(
x
CM
Cx
M

3) Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
)
(
)
(
)
(
Y
M
X
M
XY
M

Это свойство справедливо для произвольного числа случайных величин.
4) Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
)
(
)
(
)
(
Y
M
X
M
Y
X
M



Однако, математическое ожидание не может полностью характеризовать случайный процесс. Кроме математического ожидания надо ввести величину, которая характеризует отклонение значений случайной величины от математического ожидания.
Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.


2
)
(
)
(
X
M
X
M
X
D


Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания.


2 2
)
(
)
(
)
(
X
M
X
M
X
D


Свойства дисперсии:
1)
Дисперсия постоянной величины равна нулю.
0
)
(

C
D
2)
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.
)
(
)
(
2
X
D
C
CX
D

3)
Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
)
(
)
(
)
(
Y
D
X
D
Y
X
D



4)
Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
)
(
)
(
)
(
Y
D
X
D
Y
X
D




Определение. Средним квадратическим отклонениемслучайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.
)
(
)
(
X
D
X


Задания для аудиторной работы
1.
Даны законы распределения двух независимых случайных величин.
Составить закон распределения случайной величины Х+2У.
Х
0 1
2
Р
0,3 0,2 0,5
У
-1 1
Р
0,3 0,7 2.
Из пяти гвоздик две белые. Составить закон распределения числа белых гвоздик из двух наудачу взятых.
3.
Для данной случайной величины вычислить основные характеристики
(математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение).
Построить многоугольник распределения.
Х
5 6
7 8
9
Р
0,4 0,1 0,3 0,1 0,1 4.
Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха ему очков не начисляют. Составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела и вычислить основные характеристики этой случайной величины.
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1.
Даны законы распределения двух независимых случайных величин.
Составить закон распределения случайной величины Х+2У.
Х
1 2
3
Р
0,2 0,3 0,5
У
-1 2
Р
0,5 0,5 2.
В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и найти их основные характеристики.
3.
Для данной случайной величины вычислить основные характеристики
(математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение).
Построить многоугольник распределения.
Х
-7
-6
-4
-2 2
Р
0,2 0,1 0,25 0,4 0,05

4.
Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено
4 варианта ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании и найти их основные характеристики.
Вариант 2
1.
Даны законы распределения двух независимых случайных величин.
Составить закон распределения случайной величины Х+2У.
Х
-1 0
2
Р
0,2 0,3 0,5
У
1 2
Р
0,6 0,4 2.
Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено
4 варианта ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании.
3.
Для данной случайной величины вычислить основные характеристики
(математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение).
Построить многоугольник распределения.
Х
-6
-3
-2
-1 5
Р
0,2 0,3 0,1 0,15 0,25 4.
В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить основные характеристики этой случайной величины.
Вариант 3
1.
Даны законы распределения двух независимых случайных величин.
Составить закон распределения случайной величины Х+2У.
Х
-1 1
2
Р
0,4 0,1 0,5
У
-1 0
Р
0,6 0,4 2.
Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки.
3.
Для данной случайной величины вычислить основные характеристики
(математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение).
Построить многоугольник распределения.
Х
-4
-3
-2 0
1
Р
0,1 0,1 0,5 0,2 0,1

4.
Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти основные характеристики этой случайной величины.
Вариант 4
1. Даны законы распределения двух независимых случайных величин. Составить закон распределения случайной величины Х+2У.
Х
-1 0
1
Р
0,4 0,1 0,5
У
1 2
Р
0,6 0,4 2.
Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено
4 варианта ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1.
3.
Для данной случайной величины вычислить основные характеристики
(математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение).
Построить многоугольник распределения.
Х
-3
-2
-1 4
5
Р
0,3 0,1 0,1 0,3 0,2 4.
Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки. Найти основные характеристики этой случайной величины.
Требования к отчёту:
1.
После выполнения работы студент обязан продемонстрировать преподавателю выполненные задания 1-2.
2.
Предоставить отчёт о выполненной работе, содержащий:
− порядковый номер и наименование практической работы;
− цель практической работы;
− ход выполнения работы;
− ответы на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы
1.
Что называется случайной величиной?
2.
Что такое дискретная случайная величина?
3.
Как может быть задана дискретная случайная величина?
4.
Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины?
5.
Что такое дисперсия дискретной случайно величины случайная величина?
6.
Как вычислить основные характеристики дискретной случайной величины?
Сделайте вывод о том, какие математические навыки были приобретены вами в ходе выполнения данной практической работы.