Файл: Задача 16.pdf

Задача 16.
Однородная цепь длиной 2,5 м соскальзывает с горизонтального стола, причем в начальный момент времени со стола свисает конец длиной 10 см. Пренебрегая трением и считая ускорение свободного падения равным 10 м/c , найти время соскальзывания всей цепи.
Решение. Пусть
- это длина части цепи, свисающей со стола, в момент времени . Эта длина указана в метрах. Сила тяжести, свисающей части, заставляет цепь соскальзывания, тогда она находится по формуле
,где - масса свисающей части, - ускорение свободного падения. Массу можно найти через линейную плотность :
Подставим в формулу силы тяжести
. Из второго закона Ньютона следует, что
, где - длина всей цепи, поэтому
, так как длина всей цепи равняется 2,5 м
. Так как в условиях сказано, что трением пренебречь, то значит цепь движется прямолинейно, следовательно
, где -
Перемещение. В данной случае перемещение равняется длине части цепи, свисающей со стола, так как именно она вызывает силу тяжести, следовательно
. Подставим и в
, получим:
. Приравняем и и получим дифференциальное уравнение: или
- это линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка. Составим характеристическое уравнение, где
:
2
l(t)
t
F
g
= mg
m
g
λ
−
m
= m
l
⇒ m = λ
−
m
l
m
F
g
= λ
−
m
lg = 10λ
−
m
l
F
g
= Ma
M
M = λ
−
m
l
⇒
M = 2,5λ
−
m
a = s′
′
s
s = l, ⇒ a = l′
′
a = l′
′
M = 2,5λ
−
m
F
g
= Ma
F
g
= 2,5λ
−
m
l′
′
F
g
= 10λ
−
m
l
F
g
= 2,5λ
−
m
l′
′
10λ
−
m
l = 2,5λ
−
m
l′
′
l′
′
− 4l = 0
l′
′
= k
2

. Характеристическое уравнение имеет корни
. Общее решение дифференциального уравнения:
. Неизвестные константы можно найти, исходя из начальных условий и
, которые приводят к системе уравнений:
, откуда и решение принимает вид:
Для нахождения времени соскальзывания всей цепи надо принять длину
. Получим или чтобы найти воспользуемся формулой для нахождения c.
Ответ: 1,94 с.
Задача 37.
Через сколько лет произойдет удвоение уровня цен при ежегодной инфляции в 7 %.
Решение. Во время инфляции увеличение цен происходит постоянно, следовательно можно использовать модель непрерывного начисления процентов. Если
- это уровень цен в момент времени , то
, где совпадает с начальным уровнем цен.
Момент, когда цены удваиваются описывается
, следовательно
k
2
− 4 = 0
k
2
− 4 = 0
k
1,2
= ± 2
l = C
1
e
2t
− C
2
e
−2t
l(0) = 0,1 l′
(0) = 0
{
C
1
+ C
2
= 0,1
C
1
− C
2
= 0
C
1
= C
2
= 0,5
l = 0,05(e
2t
+ e
2t
) = 0,05 ⋅ 2e
2t
= 0,1 ⋅ e
2t
= 0,1ch 2t
l = 2,5 − 0,1 = 2,4 2,4 = 0,1ch 2t
arcch 24 2
arcch 24 2
arcch t = ln(t + t
2
− 1)
arcch 24 2
= ln(24 + 24 2
− 1 2
= 1,94
p(t)
t
p = Ce
0,07t
, p′
= 0,07p
C
p = 2C

или
. Найдём отсюда : лет.
Ответ: 10 лет.
2C = Ce
0,07t
e
0,07t
= 2
t t = ln 2 0,07
= 10