ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 09.05.2024
Просмотров: 144
Скачиваний: 0
X =
3 |
6 |
10 |
6 |
14 |
25 |
10 |
25 |
46 |
Отрицательные и дробные степени
Если А является квадратной и невырожденной, то A^(-p) эквивалентно умножению inv(A) на себя p раз.
Y = B^(-3)
Y =
0.0053 -0.0068 0.0018 -0.0034 0.0001 0.0036 -0.0016 0.0070 -0.0051
Дробные степени, например A^(2/3), также допускаются; результаты при этом зависят от распределения собственных значений матрицы А.
Поэлементное возведение в степень
Оператор .^ (с точкой !) осуществляет поэлементное возведение в степень. Например,
X = A.^2
A = |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
4 |
9 |
1 |
9 |
36 |
Вычисление корня квадратного из матрицы и матричной экспоненты
Для невырожденных квадратных матриц А функция sqrtm вычисляет главное значение квадратного корня , т.е. если X = sqrtm(A) , то X*X = A . Буква m в sqrtm означает, что выполняется матричная операция. Это отличает данную функцию отsqrt(A), которая, подобно A.^(1/2) (обратите внимание на точку!), выполняет операцию извленчения корня поэлемен-
тно.
Система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений первого порядка может быть записана в виде
dx/dt = Ax
где x = x(t) есть векторная функция от t, а A есть постоянная матрица не зависящая от t. Решение данной системы может быть выражено в виде матричной экспоненты.
x(t) = ℮Atx(0)
Функция expm(A) вычисляет матричную экспоненту. Рассмотрим пример системы дифференциальных уравнений со следующей 3х3 матрицей коэффициентов
A =
36
0 |
-6 |
-1 |
6 |
2 |
-16 |
-5 |
20 |
-10 |
и начальными условиями x(0)
x0 = [ 1 1 1]’.
Использование матричной экспоненты для вычисления решения дифференциального уравнения в 101 точке с шагом 0.01 на интервале 0 ≤ t ≤ 1 записывается в виде
X = [ ];
for t = 0 : 0.01 : 1
X = [X expm(t*A)*x0];
end
Трехмерный график решения в фазовом пространстве может быть получен при помощи специальной функции
plot3(X(1,:), X(2,:), X(3,:), '-o')
Решение имеет вид спиральной функции сходящейся к началу координат (см. рис. ниже). Такое решение обусловлено комплексными собственными значениями матрицы коэффициентов А.
Собственные значения и собственные векторы
Собственным значением и собственным вектором квадратной матрицы А называются скаляр λ и вектор v, удовлетворяющие условию
Av = λv
37
Диагональная декомпозиция
Имея диагональную матрицу Λ, составленную из собственных значений λ матрицы А и матрицу V , составленную из соответствующих собственных векторов v, можно записать
AV = VΛ
Если матрица V несингулярная, на основании данного выражения получаем спектральное разложение матрицы А
А = VΛV-1
Неплохой пример использования спектрального разложения дает рассмотренная выше матрица коэффициентов линейного дифференциального уравнения. Ввод выражения
lambda = eig(A)
дает следующий вектор-столбец собственных значений(два из них являются комплексносопряженными)
lambda =
-3.0710 -2.4645 + 17.6008i -2.4645 - 17.6008i
Действительные части всех собственных значения являются отрицательными, что обеспечивает устойчивость процессов в системе. Ненулевые мнимые части комплексно-сопряженных собственных значений обуславливают колебательный характер переходных процессов.
При двух выходных аргументах, функция eig вычисляет также собственные векторы и выдает собственные значения в виде диагональной матрицы
.
|
[V,D] = eig(A) |
|
|
V = |
|
|
|
-0.8326 |
0.2003 - 0.1394i |
0.2003 + 0.1394i |
|
-0.3553 -0.2110 - 0.6447i |
-0.2110 + 0.6447i |
||
-0.4248 |
-0.6930 |
|
-0.6930 |
D = |
|
|
|
-3.0710 |
0 |
|
0 |
0 |
-2.4645+17.6008i |
0 |
|
0 |
0 |
-2.4645-17.6008i |
Первый собственный вектор (первый столбец матрицы V) является действительным, а два других являются комплексно-сопряженными. Все три вектора являются нормализованными по длине, т.е. их Евклидова норма norm(v,2), равна единице.
Матрица V*D*inv(V), которая в более сжатой форме может быть записана как V*D/V, равна, в пределах погрешностей округления, матрице А. Аналогично, inv(V)*A*V, или V\A*V, равна, в пределах погрешностей округления, матрице D.
38
Дефектные матрицы
Для этой матрицы ввод [V, D] = eig(A) дает
0.8127 |
0.8165 |
0.8165 |
|
-0.3386 |
-0.4082 |
-0.4082 |
|
-1.0000 |
|
0 |
0 |
0 |
1.0000 |
0 |
|
0 |
|
0 |
1.0000 |
Некоторые матрицы не имеют спектрального разложения. Такие матрицы называются дефек- |
|||
тными или не диагонализируемыми. Например, пусть матрица А имеет вид |
|||
A = |
|
|
|
6 |
12 |
19 |
|
-9 |
-20 |
-33 |
|
4 |
9 |
15 |
|
V =
-0.4741 -0.4082 -0.4082
D =
Здесь имеются два положительных единичных кратных собственных значений. Второй и третий столбцы матрицы V являются одинаковыми и поэтому полного набора линейно-неза-
висимых собственных векторов не существует(и поэтому не существует обратная матрица
V-1).
Сингулярное разложение матриц
Сингулярным значением и соответствующими сингулярными векторами прямоугольной ма-
трицы A называются скаляр σ и пара векторов u и v такие, что удовлетворяются соотношения
Av = σu ATu = σv
Имея диагональную матрицу сингулярных чиселΣ и две ортогональные матрицыU и V, сформированные из соответствующих собственных векторов, можно записать
AV = U Σ
ATU = V Σ
Поскольку U и V являются ортогональными матрицами, это можно записать в виде сингуляр-
ного разложения
A = U ΣVT
Полное сингулярное разложение матрицыА размера mхn включает mхm матрицу U, mхn матрицу Σ, и nхn матрицу V. Другими словами, обе матрицы U и V являются квадратными , а матрица Σ имеет тот же размер, что и A. Если A имеет намного больше строк чем столбцов, результирующая матрица U может быть достаточно большой, но большинство ее столбцов умножаются на нули в Σ . В таких ситуациях может быть использована так называемая
39
экономичная декомпозиция, которая сберегает как время так и память, за счет вывода матрицы U размера mхn, матрицы Σ размера nхn и той же матрицы V.
Спектральное разложение является подходящим инструментом анализа матрицы, когда последняя осуществляет преобразование векторного пространства в себя, как это было в рассмотренном выше примере дифференциальных уравнений. С другой стороны, сингулярное разложение матриц удобно при отображении одного векторного пространства в другое, возможно с иной размерностью. Большинство систем совместных линейных уравнений относятся ко второй категории. Если матрица А является квадратной, симметричной и поло- жительно-определенной, то ее спектральное и сингулярное разложения совпадают. Но при отклонении A от симметричной и положительно-определенной матрицы, разница между двумя разложениями возрастает. В частности, сингулярное разложение действительной матрицы всегда действительно, но спектральное разложение действительной несимметричной матрицы может быть и комплексным.
Для матрицы
A =
9 |
4 |
6 |
8 |
2 |
7 |
полное сингулярное разложение задается в форме
[U,S,V] = svd(A)
и приводит к следующим результатам
U =
-0.6105 0.7174 0.3355 -0.6646 -0.2336 -0.7098 -0.4308 -0.6563 0.6194
S =
14.9359 |
0 |
|
0 |
5.1883 |
|
0 |
|
0 |
V =
-0.6925 0.7214 -0.7214 -0.6925
Вы можете убедиться, что матрица U*S*V' равна А с точностью до ошибок округления. Для этого примера экономичная декомпозиция дает незначительный эффект.
[U,S,V] = svd(A,0)
U =
-0.6105 0.7174 -0.6646 -0.2336 -0.4308 -0.6563
S =
14.9359 |
0 |
|
0 |
5.1883 |
V =
40