ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.06.2024
Просмотров: 40
Скачиваний: 0
Питання 4. Символ Якобі.
Якобі узагальнив символ Лежандра на випадок, коли модуль конгруенції P є
непарне число, яке складене з простих чисел, тобто P = p1 p2 ... pk , pi можуть |
|
|
||||||||||||||||||||||
повторюватися. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Означення: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Символ Якобі носить назву показник |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a |
|
a |
a |
a |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P |
p1 p2 pk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
a |
- є звичайні символи Лежандра. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
де |
, |
|
|
,..., |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
p1 |
p2 |
|
|
pk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Нехай a = q1q2 ...qm - розкладання числа a на прості множники. Тоді за |
|
|
||||||||||||||||||||||
властивостями символу Лежандра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
a |
q |
q |
|
q |
|
a |
|
q |
q |
q |
|
a |
|
q |
q |
q |
|
, тобто |
||||||
|
= |
|
1 |
|
|
2 |
... |
|
m ; |
|
|
= 1 |
|
2 ... |
m ;...; |
|
= 1 |
|
2 ... |
m |
||||
p1 |
p1 p1 |
p1 |
p2 |
p2 p2 p2 |
pk |
pk pk pk |
|
|||||||||||||||||
a |
|
|
|
qi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∏ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P |
i =1,m |
p j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
j =1,k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 1.
Для символу Якобі вірні всі властивості 1-6 символу Лежандра.
853
Приклад. Обчислити: 1409
Розв’язання: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
853 = 4 × 213 +1 |
853 |
|
= |
1409 |
|
= |
556 |
|
|
22 ×139 |
139 |
|
853 |
|
853 |
19 |
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
= |
|
|
= |
|
= |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
853 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1409 |
|
|
853 |
|
|
853 |
|
|
|
853 |
139 |
|
139 |
139 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
19 |
|
139 |
|
|
6 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
19 = 4 × 4 + 3; 139 = 4 ×34 + 3 |
|
|
= - |
|
|
= - |
|
= - |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
139 |
19 |
|
|
19 |
19 19 |
|
|
|
|
|
||||||
19 = 8 × |
2 |
|
|
|
|
+ 3 |
3 |
|
19 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 + 3 |
= -1; 3 = 4 × 0 |
|
|
= - |
|
= - = -1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
19 |
|
|
|
|
|
19 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
853 |
= (-1)× (-1)× (-1) |
= -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1409 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Висновки Після вивчення теми 5 ви повинні знати такі факти:
–Квадратична конгруенція має такий загальний вигляд:
ax 2 + bx + c º 0(mod m);
– Зведена квадратична конгруенція має вигляд: y 2 º C(mod P) ;
– Якщо (C, P) = P , то квадратична конгруенція y 2 º C(mod P) завжди має єдиний розв’язок y ≡ 0(mod P)
58
– Якщо модуль є складеним числом m = p1α1 p2α2 ...pk α k , то розв’язання квадратичної конгруенції зводиться до розв’язання системи конгруенцій виду:
y 2 |
≡ C mod(p |
α1 |
) |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
≡ C mod(p2 |
α 2 |
) |
||
y 2 |
|||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
L |
|
|
|
2 |
≡ C mod(pë |
α ë |
) |
|
y |
|
|
|||
|
де p - просте число; |
||||
|
|
– |
В разі простого непарного модуля квадратичні конгруенції мають такі |
особливості розв’язання:
квадратична конгруенція, в якій не ділиться на p , тобто (C , p) = 1, має 2 різних
розв’язки, якщо
p−1
C 2 ≡ 1(mod p),
або зовсім немає розв’язків, якщо
p−1
C 2 ≡ −1(mod p)
Причому розв’язками є класи лишків з повної найменшої системи лишків або з абсолютно найменшої системи лишків.
–Якщо конгруенція y 2 ≡ C(mod p) має розв’язки, то C носить назву
лишка за модулем p , якщо розв’язків немає, то C - нелишок за модулем p .
–Показником наявності розв’язків у квадратичної конгруенції
a |
|
p −1 |
|
|
|
y 2 ≡ a(mod p)є символ Лежанндра |
|
≡ (−1) 2 |
(mod p) . Обчислити символ |
||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
Лежандра можна використовуючи 6 властивостей.
– Узагальненням символу Лежандра є символ Якобі. Якщо розглядається конгруенція y 2 ≡ a(mod P), де P = p1 p2 ... pk , то символом Якобі називається показник
a |
a |
a |
|
|
a |
a |
a |
|
|
a |
- є звичайні символи Лежандра. |
||
|
|
= |
|
... |
|
, де |
, |
,..., |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
p1 |
p2 |
|
pk |
p1 |
|
p2 |
|
pk |
|
Після вивчення теми 4 ви повинні вміти:
– Визначати, чи має квадратична конгруенція y 2 ≡ a(mod m) нульовий розв’язок.
–Спираючись на властивості символу Лежандра, обчислити його для конгруенції
y 2 ≡ a(mod p), ( p - просте число) визначивши тим самим чи є лишком за модулем
pчисло a .
–В разі складного модуля квадратичної конгруенції y 2 ≡ a(mod m) обчислювати для неї символ Якобі.
Контрольні питання до теми №4.
1.Дайте означення квадратичної конгруенції за довільним модулем.
2.Укажіть в якому випадку квадратична конгруенція має єдиний нульовий розв’язок.
3.Назвіть спосіб розв’язання квадратичної конгруенції за складеним модулем.
4.Назвіть критерій Ейлера про наявність розв’язків конгруенції x2 ≡ a(mod p)
59
5.Дайте означення лишка і нелишка за модулем p
6.Назвіть слідство з критерію Ейлера про наявність розв’язку квадратичної конгруенції.
7.Назвіть теорему Ейлера про взаємодію лишків і нелишків по певному простому модулю.
8.Назовіть 6 властивостей символу Лежандра.
9.За допомогою символу Лежандра з’ясуйте, чи є лишком 139 за модулем 5, якщо так, знайдіть розв’язок квадратичної конгруенції x2 ≡ 139(mod 5)
10.За допомогою символу Лежандра з’ясуйте, чи є лишком 98 за модулем 5, якщо так, знайдіть розв’язок квадратичної конгруенції x2 ≡ 98(mod 5)
11.Які лишки з повної системи найменших додатних лишків за модулем 7
a = {0,1,2,3,4,5,6} є лишками для квадратичної конгруенції x2 ≡ a(mod 7)? Скільки таких лишків?
12.Дайте означення символу Якобі за складеним модулем P = p1 p2 ... pk
13.Обчисліть символ Якобі для 393 за модулем 455.
60
Список літератури.
1.Виноградов И.М. Основы теории чисел. – Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. – 176 с
2.Сушкевич А.К. Теория чисел. Элементарный курс. – Х.:Издательство ХГУ, 1954. – 204 с.
3.А.А. Бухштаб. Теория чисел, изд. 2, испр., М.: «Просвещение», 1966
4.Конспект лекцій з курсу Застосування теорії чисел у криптографії. Розробник Оглобліна О.І., СумДУ, 2009 р.
5.Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражений по теории чисел. – М.: Просвещение, 1964. – 144 с.
6.А.А. Кочева Задачник-практикум по алгебре и теории чисел. Ч.3, М.: «Просвещение», 1984 – 40 с.
7.В.А. Александров, С.М. Горшенин Задачник-практикум по теории чисел. М.: Просвещение, 1972. . – 80 с.
8.Методичні вказівки та контрольні завдання з дисципліни «Застосування теорії чисел у криптографії» для студентів спеціальностей «Інформатика» та «Прикладна математика», Розробник Оглобліна О.І., СумДУ, 2010 р.
9.О.Н. Василенко Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. – М.:МЦНМО, 2003. -328 с.
10.Н. Коблиц Курс теории чисел и криптографии. – М.: Научное изд-во ТВП, 2001. - 254
с
11.А.В. Черемушкин Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. – М.:
МЦНМО, 2002. – 104 с.
61