Файл: Опорный конспект.pdf

У результаті буде отримана послідовність чисел M i , які являють собою вихідне

повідомлення М. Щоб алгоритм RSA мав практичну цінність, необхідно мати можливість без істотних витрат генерувати великі прості числа, вміти оперативно обчислювати значення ключів K A та K B .

Наприклад, виконаємо шифрування повідомлення “Буду завтра”.

Нехай P=59, Q=61. Тоді N P * Q 59 * 61 3599 , а (2773) 3480 . Виберемо як відкритий ключ K A довільне число з урахуванням виконання умов (4.6) і (4.7). Нехай K A 53 . Згідно (4.8) таємний ключ KВ 197 .

Подамо повідомлення як послідовність цілих чисел у діапазоні від 1 до 32. Нехай

A – 01, Б – 02, В – 03, ..., Я – 32.

Тоді повідомлення “Буду завтра” буде подано у вигляді

02 20 05 20 08 01 03 19 17 01.

Розбиваємо повідомлення на блоки по чотири цифри

0220 0520 0801 0319 1701

і кодуємо кожен блок:

C1 22053 mod 3599 0099, C2 52053 mod 3599 3273, C3 80153 mod 3599 2050, C4 31953 mod 3599 0719,

C5 170153 mod 3599 1664.

У результаті одержимо шифр 0099 3273 2050 0719 1664.

Для відновлення вихідного тексту необхідно обчислити модульну експоненту, підвівши зашифроване значення Ci в степінь K В за модулем N:

M1 99197 mod 3599 0220, M 2 3273197 mod 3599 0520, M 3 2050197 mod 3599 0801, M 4 719197 mod 3599 0319, M 5 1664197 mod 3599 1701.

Таким чином, отримали відновлене вихідне повідомлення

0220 0520 0801 0319 1701.

Криптосистеми RSA реалізуються як апаратним, так і програмним шляхом. Для апаратної реалізації операцій зашифрування та розшифрування RSA розроблені спеціальні процесори. Ці процесори, реалізовані на надвеликих інтегральних схемах, дозволяють виконувати операції RSA, пов’язані з піднесенням великих чисел у колосально великий ступінь за модулем N, за відносно короткий час.

Слід відзначити, що і апаратна, і програмна реалізації алгоритму RSA в декілька сот разів повільніші від реалізацій симетричних криптосистем. Мала швидкодія криптосистеми RSA обмежує сферу її застосування, але не перекреслює її цінність.

Безпека й швидкодія криптосистеми RSA

Безпека алгоритму RSA базується на труднощах розв’язання задачі факторизації великих чисел, що є добутками двох великих простих чисел. Дійсно, крипостійкість алгоритму RSA визначається тим, що після формування таємного ключа K B й відкритого ключа K A "стираються" значення простих чисел P й Q, і

тоді винятково важко визначити таємний ключ K B за відкритим ключем K A ,

41

оскільки для цього необхідно розв’язати задачу знаходження дільників P та Q модуля N.

Розкладання величини N на прості множники Р і Q дозволяє обчислити функцію(N ) (P 1)(Q 1) , а потім визначити таємне значення K B , використовуючи

рівняння (4.8).

Іншим можливим способом криптоаналізу алгоритму RSA є безпосереднє обчислення або підбір значення функції (N ) . Якщо встановлено значення (N ) ,

то співмножники P й Q обчислюються досить просто. Справді, нехай x P Q N 1 (N ),

y (P Q)2 (P Q)2 4 * N.

Знаючи (N), можна визначити х і потім y; знаючи х та y, можна визначити числа

P і Q з таких співвідношень:

Однак ця атака не простіша задачі факторизації модуля N.

Задача факторизації є задачею, яка важко розв’язується для великих значень модуля N.

Спочатку автори алгоритму RSA пропонували для обчислення модуля N вибирати прості числа P й Q випадковим чином, по 50 десяткових розрядів кожне. Вважалося, що такі великі числа N дуже важко розкласти на прості множники. Один з авторів алгоритму RSA, Р.Райвест, вважав, що розкладання на прості множники числа з майже 130 десяткових цифр, наведеного в їхній публікації, зажадає більше 40 квадрильйонів років машинного часу. Однак цей прогноз не виправдався через порівняно швидкий прогрес обчислювальної потужності комп’ютерів, а також поліпшення алгоритмів факторизації.

Один з найбільш швидких алгоритмів, відомих у цей час, алгоритм NFS (Number Field Sieve) може виконати факторизацію великого числа N (із числом десяткових розрядів більше 120) за число кроків, оцінюваних величиною

e2(ln N )3 (ln(lnN )) 3

У 1994 р. було факторизовано число з 129 десятковими цифрами. Це вдалося здійснити математикам А.Ленстра й М.Манассі за допомогою організації розподілених обчислень на 1600 комп’ютерах, об’єднаних мережею, протягом восьми місяців. На думку А.Ленстра та М.Манассі, їхня робота компрометує криптосистеми RSA і створює більшу погрозу їхнім подальшим застосуванням. Тепер розроблювачам криптоалгоритмів з відкритим ключем на базі RSA доводиться уникати застосування чисел довжиною менше 200 десяткових розрядів. Останні публікації пропонують застосовувати для цього числа довжиною не менше 300 десяткових розрядів.

4 Схема шифрування Поліга - Хеллмана

Схема шифрування Поліга - Хеллмана подібна RSA. Розглянута схема не є симетричним алгоритмом, оскільки використовуються різні ключі для шифрування та розшифрування. З іншого боку її не можна віднести й до класу криптосистем з відкритим ключем, тому що ключі шифрування та розшифрування легко виходять один з одного. Обидва ключі (відкритий і таємний) необхідно тримати в таємниці.

Аналогічно схемі RSA криптограма C і відкритий текст M визначаються зі співвідношень:

42

де

K A * KB 1mod(деяке складене число) . (4.16)

На відміну від алгоритму RSA у цій схемі число N не визначається через два великих простих числа; число N повинне залишатися частиною таємного ключа. Якщо хто-небудь довідається значення K A та N, він зможе обчислити значення

K B .

Не знаючи значень K A або K B , зловмисник буде змушений обчислювати значення

K A (log M C) mod N .

Відомо, що це є важкою задачею. Схема шифрування Поліга - Хеллмана запатентована в США [9] і Канаді.

5 Алгоритм шифрування Ель Гамаля

Алгоритм Ель Гамаля, розроблено в 1985 р., може бути використаний як для шифрування, так і для цифрових підписів. Безпека схеми Ель Гамаля обумовлена складністю обчислення дискретних логарифмів у кінцевому полі.

Для того щоб генерувати пари ключів (відкритий ключ K A і таємний ключ K B ),

спочатку вибирають деяке велике просте число P і велике ціле число G степені якого за модулем P породжують велику кількість елементів множини Z P ,

причому G P . Числа P й G можуть бути поширені серед групи користувачів. Потім вибирають випадкове ціле число K B , причому KB P . Число K B є таємним

ключем і повинне зберігатися в секреті. Далі обчислюють відкритий ключ K A

Пари чисел (а,b) є шифротекстом. Помітимо, що довжина шифротексту вдвічі більша довжини вихідного відкритого тексту М.

Для того щоб розшифрувати шифротекст (а,b), обчислюють

Довести, що співвідношення (4.22) справедливо, можна виходячи з (3.17) , (3.20) і (3.21), оскільки

Наприклад, виберемо Р = 17, G = 5, таємний ключ K B = 2. Обчислюємо

K A G KB mod P 52 mod 17 8 .

Отже, відкритий ключ K A = 8.

Нехай повідомлення М = {Д}={5}.

Виберемо деяке випадкове число K = 3. Перевіримо умову (3.19) дійсно НСД (3,16) =1. Обчислюємо пари чисел а та b:

43

aG K mod P 53 mod 17 125 6 mod 17,

bK A K * M mod P 83 * 5 mod 17 2560 10 mod 17.

Таким чином, шифротекстом для літери Д є пара чисел (6,10).

Виконаємо розшифрування цього шифротексту. Обчислюємо повідомлення М, використовуючи таємний ключ K B

Вираз

M 1062 mod 17

можна подати у вигляді

62 * M 10 mod 17 .

Розв’язуючи дане порівняння, знаходимо М = 5.

Уреальних схемах шифрування необхідно використовувати як модуль P велике ціле просте число, що має у двійковому поданні довжину від 512 до 1024 бітів.

Усистемі Ель Гамаля відкритого шифрування той самий ступінь захисту, що для алгоритму RSA з модулем N з 200 знаків, досягається вже при модулі P в 150 знаків. Це дозволяє в 5-7 разів збільшити швидкість обробки інформації. Але у такому варіанті відкритого шифрування немає підтвердження достеменності повідомлень.

Система Ель Гамаля не позбавлена певних недоліків. Серед них можна зазначити такі:

1 Відсутність семантичної стійкості. Якщо G – примітивний елемент множини Z P ,

то за поліноміальний час можна визначити чи є деяке число x квадратичним

Якщо результат дорівнює 1, то х – квадратичне відрахування за модулем Р, якщо –1 , то х – квадратичне невирахування. Далі пасивний зловмисник перевіряє, чи є GK і G K A квадратичними відрахуваннями. G K *K A буде квадратичним відрахуванням тоді й тільки тоді, коли і GK , і G K A будуть квадратичними відрахуваннями. Якщо це так, то K * M mod P буде квадратичним відрахуванням тоді й тільки тоді,

коли саме повідомлення М буде квадратичним відрахуванням. Тобто пасивний зловмисник одержує деяку інформацію про вихідний текст, маючи лише шифрований текст і відкритий ключ одержувача.

2 Подільність шифру. Якщо дано шифрований текст (a, b), можна одержати інший шифрований текст, змінивши тільки другу частину повідомлення. Справді, помноживши b на GU (U 0), можна одержати шифротекст для іншого вихідного повідомлення M M * GU .

6 Схема шифрування Рабіна

Схема Рабіна була розроблена в 1979 році й може застосовуватися тільки для шифрування даних. Безпека алгоритму спирається на складність пошуку коренів за модулем складеного числа.

Для генерації ключів вибирається пара простих чисел p, q , таких що

p 3 mod 4,

(4.23)

q 3 mod 4.

Ці прості числа і є таємним ключем. Відкритим ключем є число

44