П о д з а д а ч а 1. Максимизировать
{fi (Мъ хі) + РіЧ {Мх, *і) — iV l}
Mi, хх£ .S’l
П о д з а д а ч а II. Максимизировать
{/2 (ЛГ2, *г) + Т2г2 {M2, <л 2)—P xx2]
M%, %2(z $2
где S = S i U S 2.
Ограниченные множества S x и S 2 заключают оптимизирующие переменные в реальные физические пределы и тем самым гаранти руют, что максимумы подзадач существуют для любого множества цен Р.
Решение подзадач I и II дает решение основной задачи, если цены Р ± и Р 2 выбраны правильно. Выбор правильных цен является зада чей второго уровня алгоритма. Этот уровень выбирает цены так, чтобы свести разности (хг — z2) и (х 2 — zx) к нулю; тем самым удо влетворяется условие равенства одноименных технологических по токов ХТС.
Действительный алгоритм для подбора цен разрабатывают ис ходя из выражения функции Лагранжа для первоначальной задачи оптимизации:
L (М, X, Р) = fi (Mi, xi) + / 2 (AT* х2)-\-Рі [zi {Mi, хі)ш^х2]-\-
Р2 [ н { М 2, x2)—x i]= {/i + PiZi— P2xi] + {/2 + T2z2—Pix2) (VI,44)
где L — функция Лагранжа основной задачи; Рх и Р 2 множители Лагранжа (или цены).
Функцию Лагранжа обычно используют для того, чтобы устано вить условия стационарности, которые справедливы в оптимуме основной задачи. В следующем разделе, однако, показано, что при относительно умеренных ограничениях необходимым и достаточным условием для основной задачи, которая должна быть оптимизиро вана, является максимизация функции Лагранжа посредством под бора М ъ х х и М 2, х 2.
Задача оптимизации функции Лагранжа разлагается непосредст венно на подзадачи I и II, поскольку первый член в скобках уравне
ния (VI,45) представляет собой целевую функцию |
подзадачи I, |
а второй член — целевую |
функцию подзадачи II, т. е. |
max {fi + Р і Ч — iV i} + max {/2-f P 2z2 — Ріх2}ш* |
|
M t X 1 |
М г Х г |
|
= |
max L (M, x) = y (P) |
(VI,45) |
|
Mx |
|
Так как максимум функции Лагранжа является функцией только множителя Р и эта функция играет главную роль в дальнейшем, ей дано специальное название — д в о й с т в е н н а я ф у н к - ц и я, которую обозначают через у (Р).
