Файл: Основи вищої геодезії. Навчальний посібник. Літнарович.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 18.10.2024

Просмотров: 40

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Існує зв'язок між кривизною і радіусом кривизни. Обернене значення кривизни є радіус кривизни.

Знайдемо радіус кривизни меридіанного перерізу.

Відомо, що радіус кривизни плоскої кривої y = f (x) визначається фрмулою:

 

 

dy

2 3 2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3 2

 

 

 

dx

 

 

 

R

 

 

 

1 y

 

 

(3.1)

 

d2y

 

 

 

 

 

 

y

 

 

dx2

Із геометричного трактування похідної (див. рис. 3.1.) маємо

dy y tg(90o B) ctgB dx

Тоді, y

1

 

dB

.

(3.2)

 

 

sin2 B

 

dx

 

Для визначення похідної — використаємо формулу (2.20) x = a cosB (1-e2sin2B)-1/2 ,

Тоді

dx = a {-sinB (1-e2sin2B)-1/2 – ½ (1-e2sin2B)-3/2 (-2e2sinBcos2B)}dB,

dx

a sin B(1 e2 sin2 B) 1/2

e2 sin Bcos2 B (1 e2 sin2 B) 3/2

 

dB

 

 

 

asinB(1 e2 sin2 B) 3/2 { (1 e2 sin2 B) e2 cos2 B},

або

 

 

 

 

 

dx

asinB(1 e2 sin2

B) 3/2(1 e2),

 

 

dB

 

 

 

1 e2 sin2 B 3/2

 

 

 

dB

 

 

 

 

 

.

(3.3)

 

 

dx

 

 

 

asinB(1 e2)

 

Враховуючи (3.3), формула (3.2) має вигляд:

22

y

 

 

(1 e2 sin2)3/2

 

(1 e2 sin2 B)3/2

 

sin2 B a sinB(1 e2)

a sin3 B(1 e2) .

 

Підставимо в (3.1) значення у' і у" та введемо позначення радіуса кривизни меридіана через М:

M

(1 ctg2B)3/2

a sin3 B (1 e2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

(1 e2

sin2 B)3/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вираз (1 ctg

2

B)

3/2

1

 

3/2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

sin3

 

 

 

 

 

 

 

sin2

B

 

B

M

a (1 e2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.4)

(1 e2 sin2 B)3/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При В = 90° радіус кривизни (позначається як с) залежить тільки від елементів еліпсоїда:

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

c

 

 

 

 

 

a

1 e2

(3.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e2

 

 

 

 

 

 

 

 

с- полярний радіус кривизни.

 

Введемо функції

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

W

1 e2 sin2 B

(3.6)

V

 

 

 

 

2

cos

2

B ,

(3.7)

1 e

 

які називаються основними сфероїдальними функціями.

Враховуючи формули (3.5), (3.6), (3.7), а також очевидну залежність

 

W V

 

1 e2

,

 

 

 

 

 

(3.8)

 

 

 

 

 

Так як

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

1

e2

 

cos2

B

1 e2 e2 cos2 B

 

 

1 e2 sin2 B

W

1

 

 

 

 

 

1 e2

 

1 e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e2

 

 

 

1 e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бо 1+е2(cos2B – 1) = 1+e2B – sin2B – cos2B) = 1-e2sin2B ,

 

 

 

 

 

 

M

a(1 e2)

 

 

c

 

 

 

 

 

(3.9)

 

 

 

 

 

 

 

W3

V3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23

Для визначення радіуса кривизни першого вертикалу N сформулюємо слідуючу теорему.

Теорема Меньє. Якщо через точку до поверхні провести нормальний і похилий переріз і якщо в цій точці перерізи мають спільну дотичну, то радіус кривизни похилого перерізу дорівнює радіусу кривизни нормального перерізу помноженого на косинус кута між площинами цих двох перерізів.

Якщо WMW - нормальний переріз, то паралель MQS1 - похилий переріз, оскільки нормаль не лежить в площині цього перерізу. Вказані два перерізи в гочці М мають спільну дотичну МТ.

Тоді радіус паралелі r :

r = N cosB = MC (3.10)

Враховуючи формулу (2.22), одержим

r

 

 

 

acosB

 

NcosB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e2 sin2 B

 

 

 

Звідки N

 

 

a

 

 

(3.11)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 e2 sin

2

B

або по аналогії з (3.9)

 

 

 

N

a

 

c

 

 

(3.12)

 

 

 

 

W

V

 

 

 

Формула (3.11) переходить у формулу (3.5) при значенні В = 90°, як і формула (3.4), тобто на полюсі М = N = 0.

Для радіуса кривизни нормального перерізу, проведеного під азимутом А, служить формула Ейлера:

PA

 

 

M N

(3.13)

N cos2 A M sin2 A

 

Середній радіус кривизни R

 

R

 

 

 

 

 

MN

(3.14)

3.2. Обчислення довжини дуги меридіана.

24

Рис. 3.2. Дуга меридіана.

Нехай точка А на меридіональному еліпсі має широту В. На безконечномалій віддалі ds від точки А візьмемо точку A1, яка має широту B + dB. Різниця широт точок A i A1 відповідає довжині дуги меридіана ds.

Розглянемо елементи дуги ds меридіана з радіусом М, одержимо ds = MdB,

 

 

 

a(1 e2)

або

ds

 

 

 

dB .

 

 

 

 

 

 

 

(1 e2 sin2 B)3

Довжина дуги між точками, які мають широти В1 і В2, буде дорівнювати

S

B2

a(1 e2)

dB a(1 e

2

B2

 

dB

 

 

 

 

)

 

 

(3.15)

(1 e2 sin2 B)3 2

 

W3

 

B1

 

 

B1

 

Таким чином, обчислення довжини дуги меридіана зводиться до знаходження еліптичного інтеграла.

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

Розкладаючи підінтегральну функцію

 

в ряд за біномом Ньютона

W3

І інтегруючи одержаний вираз з потрібною степінню точності,

одержим:

B

B

B

 

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S a(1 e2) A

2

1

 

 

(sin2B2

sin2B1)

 

(sin4B2

sin4B1)

 

 

2

4

 

 

p

 

 

 

 

 

 

(3.16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для еліпсоїда Красовського А = 1,0050517739

25

В = 0,00506237764 (3.17) С = 0,00001062451

Для обчислення S в тріангуляції

S 40км,

тоді

S Mm

B

,

(3.18)

 

 

 

p

 

де S представляє довжину дуги кола, а радіус буде дорівнювати радіусу меридіана Мm в точці із середньою широтою Вm

B

B1 B2

,

(3.19)

 

m

2

 

 

 

 

 

 

Mm

a(1 e2)

(3.20)

(1 e2 sin2 Bm)3 2

Вищезгаданий інтеграл можна розв'язати чисельним методом, застосовуючи формулу Сімпсона:

S

1

 

B

(M1 4Mm M

2 ) .

(3.21)

 

 

6

 

p

 

 

При відстанях між пунктами до 500 км формула (3.21) забезпечує точність обчислення 1-2 см.

3.3. Обчислення довжини дуги паралелі. Паралель на еліпсоїді є коло радіус якого

r = N cosB (3.22)

Довжина дуги паралелі Sn між довготами L1 i L2 буде дорівнювати добутку радіуса паралелі на відповідний центральний кут dl.

Sпаралелі

r

(L2 L1)

N cosB

(L2

L1)

(3.23)

 

 

p

 

 

p

 

26

Смотрите также файлы