Файл: Сафонов, С. Ф. Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах (конспект лекций).pdf

Формы представления чисел в машине. Числа в машину можно ввести и записать в ОЗУ различными способами в форме с пла­ вающей запятой, в форме целых, длинных чисел, в форме с фик­ сированной запятой.

Запись чисел в форме с плавающей запятой представляется в виде двух множителей

А --:М • 1(Х

Такая запись имеет смысл в любой системе счисления. П|5и этом

10 означает основание системы скисления.

В приведенной выше записи М — мантисса, Р — порядок. При нормальной записи на мантиссу накладывается ограни­

чение

0,1 < |м ! < 1.

При этом 0,1 не обязательно означает десятую часть числа, а есть 1/10, где 10 — основание системы счисления.

Нормализованная мантисса в двоичной системе счисления не должна быть меньше одной второй.

Примеры записи чисел в форме с плавающей запятой: десятичная система счисления

0,5 • 10; 0,25 • 10°;

двоичная система счисления (те же количества, что и в пре­ дыдущем примере). Обозначения двоичные!

0,101 • 10й ; 0,1 ■ 10- ю .

Рассмотрим внешний и внутренний коды формы представле­ ния чисел с плавающей запятой.

Внешний код — это форма представления чисел и команд в привычной для нас форме, удобной в общении с машиной. Уст­ ройства машины проще выполнить для двоичной системы счисле­ ния, но традиционной системой счисления уже давно является десятичная. Общение в двоичной системе счисления с машиной было бы слишком непривычным делом. Поэтому для некоторых современных ЭВМ предусмотрены встроенные в долговременную память различной сложности программы, переводящие внешний код общения во внутренний.

Внешний код ЭВМ «Наири» имеет буквы русского и латин­ ского алфавитов, десятичные числа и некоторые синтаксические и математические символы: «+ », «—», «/», «,» и др.

Внутренний код — это упорядоченная определенным образом запись числа (буквы или команды) символами двоичной систе­

ЧИТАЛЬНОГО 9 A ih

>озряЗпереполнения мант исса порядок

11ниJHIпигш ш in гш ни512!П51НИ НО. Г 'L HL П

сы. 36 и 35—разряды для размещения,, соответственно, знаков чи­ сла и для анализа переполнения разрядной сетки. Разряды с 1-го по 7-й предназначаются для размещения порядка, причем седь­ мой разряд определяет знак порядка.

Знаки отрицательных чисел обозначаются единицей в 36-м разряде, знаки отрицательных порядков — единицей в 7-м раз­ ряде. Отрицательное число записывается во внутреннем коде в модифицированном дополнительном коде — м. д. к.

Положительное число пять в форме с плавающей запятой во внутреннем коде запишется так:

О0 1 01 ООООООООQОООDа о о о о о о о о о о о о о о о н

Рис. 3. Запись-положительного числа пять

а отрицательное число пять запишется в м,. д. к.

Н О Н OOOBDOO 0 0 0 0 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 о н

Рис. 4. Запись отрицательного числа пять

Достоинства формы представления чисел в форме с плаваю­ щей запятой: высокая точность, получаемая при округлении; наи­ высший, по сравнению с другими формами, диапазон представ­ ления чисел.

Недостаток формы (для «Наири») — малая скорость обработ­ ки информации, а именно: операции сложения, еычитэния име­ ют скорость выполнения 600—800 операций в секунду, а умноже­ ние и деление выполняются со скоростью 100 операций в секун­ ду, так как в ЭВМ «Наири» числа в форме с плавающей запятой обрабатываются псевдооперациями.

18

В случае, если число, записанное в форме с плавающей запя­

той

Л = М • 10*

представить так, чтобы порядок был равен нулю, получим форму представления чисел, называемую представлением в форме с фик­ сированной запятой. В этой форме в мдшине «Наири» число все­ гда меньше 2—2 34. Примеры внутренних кодов формы:

0,510 = 00,1000...02; —0,51о = 11,100...0*

(Для записи отрицательного числа использован м. д. к.)

Форма хорошо реализуется схемами электроники, однако при этой форме усложняется программирование, поскольку макси­ мальное значение чисел, представляемых формой, не может быть больше двух. При программировании задач в форме с фиксиро­ ванной запятой всегда требуется анализ на вероятность превы­ шения промежуточных и конечных результатов вычислений мак­ симального значения формы. Если такая вероятность существу­ ет, то задача требует масштабирования, причем часто даже ав­ томатически выполняемого в процессе решения задачи по мере получения промежуточных результатов той или иной величины.

Необходимость масштабирования задачи до ее ввода в ма­ шину или с помощью автоматического масштабирования в про­ цессе решения задачи — существенный недостаток формы пред­ ставления чисел в виде с фиксированной запятой.

Достоинство формы — в быстроте выполнения операций. Опе­ рации в этой форме, кроме операций умножения и деления, про­ ходят в «Наири» со скоростью до 2000 операций в секунду.

Форма представления в виде целых чисел. В такой форме число в машине «Наири» представляется в виде

;V = a35 • 2364-а34 ■234+ ... + «» • 2°,

где а, i — разрядная двоичная цифра—0 или 1. Самый старший разряд (крайний слева) — 36 разряд а35 характеризует знак чи­ сла. Если в этом разряде находится единица, то число считается отрицательным, если ноль — положительным. 35 разряд — а34— разряд переполнения.

Отрицательные числа в этой форме записываются модифици­ рованным дополнительным кодом, получаемым по схеме: инвер­ сия разрядов отрицательного числа (замена единиц двоичных разрядов числа нулями и наоборот) с последующим сложением с единицей в младшем разряде.

Как и в форме с фиксированной запятой, максимальная ошибка при округлении малых чисел в форме целых может до­ стигать недопустимых значений.

Наибольшее положительное число в форме целого может быть для Зб-разрядной «Наири» не. выше 10й — 1.

Достоинство формы — быстрота выполнения операций. Ско­ рость выполнения операций (кроме операций умножения и де­ ления) такая же, как и при обработке чисел в форме с фиксиро­ ванной запятой.

В ЭВМ «Наири» числа могут быть записаны в форме «длин­ ных». Длинное число записывается в двух последовательных ячейках, причем целая часть числа записывается в предыдущей, а дробная — в последующей ячейке.

Число в форме длинного изобразится

-•+ оза • г - 33'.-!-... + «1 • 2 -‘,

где аз5 — знаковый разряд, O34 — разряд переполнения, а; — раз­ ряды дробной части (в ячейке с дробной частью 36 и 35 разря­ ды не используются). Отрицательные числа записываются с по­ мощью модифицированного дополнительного кода. Например, отрицательное число 10,5 запишется в виде длинного числа во внутреннем коде

Достоинство формы длинного числа — возможность легко, программным путем, отделять целую и дробную части числа. Это всегда легко сделать, потому что'целая и дробная части длинно­ го числа записываются в отдельных ячейках.

В ЭВМ «Наири» числа из одной формы в другую можно пере­ водить с помощью специальных операций.

Система операций. Цифровая электронная машина может вы­ полнять конечное число различных операций. Совокупность опе­ раций, выполняемых машиной, называется системой операций данной машины.

Каждой операции присваивается определенный номер, напи­ санный в той системе счисления, в которой работает машина. Этот номер называется внутренним кодом операции. Системы one-- раций многих ЭВМ являются полными, т. е. такими, что из них возможно составлять любые правила преобразования буквенной или цифровой информации. Из этого немедленно вытекает свой­ ство универсальности ЭВМ — возможность использования их для решения любых задач.

В системе ЭВМ «Наири» операции подразделяются на ма­ шинные и псевдооперации.

Машинная операция выполняется электронными схемами ма­ шины и обозначается при написании программ одной начальной

буквой общепринятого названия операции. Например, для обо­ значения операции сложения используется буква С, для умноже­

является стандартным набором этих операций, используемых мно­ гократно для вычисления таких, например, часто встречающихся выражений, как ]/, sin, cos, tg, exp, Ig , In .

Стандартные наборы машинных операций (псевдоопераций) обозначаются в командах программ наподобие машинной опера­ ции с тем различием, что в обозначении этого набора испдльзуется не одна буква, а две. Например, обозначение логарифмирова­ ния (натурального)—In или вычисления корня квадратного—КП.

Такие наборы псевдоопераций хранятся в ДЗУ, и если ЭВМ находит в программах код псевдооперации, то она всегда по этому коду обращается к своей долговременной памяти и выполняет по соответствующей СП ту или иную псевдооперацшо.

Поскольку псевдооперацкя составлена из машинных операций, то она всегда работает медленнее машинных операций.

Команда. Это часть программы, выполняющая одно (приня­ тое неделимым) действие, например, по сложению, умножению, сравнению и т. п. различных чисел. Команда содержит в«себе обо­ значение операции и адресов,ячеек, в которых содержится обра­ батываемая информация:

С 100 Н 30

Это команда сложения двух чисел из 100 и 300 ячеек ОЗУ. Здесь буква С обозначает операцию, буква Н — модификацию, числа 100 и 30 — адреса обрабатываемой информации.

В полном коде команды различают две основные части — ко­ довую и адресную. В кодовой части указывается номер (код) тон операции, которую должна выполнить машина на данном шаге вычислений (при прохождении данной команды). В команде мо­ гут быть указаны:

а) адреса чисел, над которыми должна быть выполнена опе­ рация, или номера ячеек, откуда должны быть взяты числа для их обработки операцией, а также адрес ячейки, куда должен быть послан результат вычисления;

б) условия, при которых команда выполняется или пропуска' ется;

в) признак изменения адреса (адресов) или других кодов команды;

г) модификация команды — вариации исполнения команды. Программа вместе с исходным числовым материалом через считывающее устройство (в «Наири» с помощью телетайпа) вво­ дится в ОЗУ. Каждой команде, из которых состоит программа,

присваивается номер ячейки ОЗУ.

Работа ЭВМ заключается в выполнении отдельных команд в последовательности, предусмотренной программой.

21