ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 31.10.2024
Просмотров: 37
Скачиваний: 0
г для полупрямой с заданным на ней нулевым потенциалом. Постоянная А здесь задается организацией потенциала вдали от конца полупрямой. Все эти задачи решены при условии а (г, ф) =
= const (а — коэффициент электропроводности среды).
Найдем поле температуры, получаемое от разогрева электри ческим током проводника с распределением потенциала вида (19).
Мощность тепловыделения в проводящей среде запишется |
|
q (г) = (grad ф)2 а = аА2/4г. |
(20) |
Будем считать изолятор нейтральным в тепловом отношении. Тогда для нахождения температуры воспользуемся формулой (5), где второй член равен нулю, а в качестве функции G использу ется фундаментальное решение (7) для п = 2. В полярных коор
динатах
03 t
|
Т (г, П = Г г'dr' |
.) |
Г dt' -----— |
X |
||
|
|
J |
4я — |
|||
|
|
о |
о |
|
||
2rt |
|
(r')2 — 2rr' cos (0 — 0 ') +Г2 |
||||
X I |
d 0'exp |
|||||
|
|
4a (t — t') |
(21) |
Этот интеграл можно выразить через функцию Мейера [7]. После ее разложения в ряд по степеням г получим
T(r, t ) ~ V a t |
|
г k — - |
г2 1* |
|
|
|
|||
j L A |
tn * + i)]2 |
4at |
||
|
||||
|
Vк=О |
|
|
|
У nat [l |
г |
г 2 |
|
(22) |
||
|
|
|
8at |
|
||||
|
|
4^, |
|
] / я at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь Г (z) — гамма-функция Эйлера. |
Оценки по этой формуле по |
|||||||
казывают, что |
в |
реальных |
ситуациях температура |
Т (г = 0, |
t) |
|||
может достигать |
сотни |
градусов, поэтому |
необходимо |
учитывать |
||||
зависимость удельной проводимости от температуры. |
|
|
||||||
Ограничимся расчетом температуры вблизи края изолятора. |
||||||||
Можно показать, |
что |
поле |
источников |
тепла при |
малых |
г, |
т. е. в области наиболее ' интенсивного тепловыделения, имеет круговую симметрию. Поэтому считаем 0 = а(г). Для анализа
электрической задачи заметим, что распределение потенциала описывается таким же уравнением, как уравнение (12), нужно только заменить Т на ф, а К на а. Для удовлетворения гранич
8
ным условиям учтем, что это уравнение инвариантно относитель но параболического преобразования [8]. В параболических коор динатах полуплоскость переходит в плоскость, граница полу плоскости сворачивается в полупрямую, при этом сохраняется круговая симметрия. Таким образом, в решении уравнения (13)
радиус г |
преобразуется в V r , угол <р в угол <р/2. |
|
||
На основании решения (22) смоделируем температурное поле |
||||
линейной функцией |
расстояния г: |
|
|
|
|
|
|(1 — r/R2) Т (г = 0), |
r < R 2, |
|
|
г<Но |
r > R 2. |
(23) |
|
|
|
|
|
|
Будем |
считать |
о = <т+ ехр (—рТ) = а_ехр {—р [Т — Г(г = 0)]}. |
В этой аппроксимации решением электрической задачи служит
решение (16), (17), |
где |
Т заменяется на ф, г на |
V r , |
ср на |
ф/2. |
||
Для согласования |
электрической задачи с тепловой |
нужно |
по |
||||
ложить —R2 = T/(dT/dr) |
(г = 0). |
Вместо выражения (20) получим |
|||||
|
Ц ( г ) |
А *а + |
|
g (r ) /cr- |
|
|
(24) |
|
|
4Г |
[/„ |
(in V <7-/0+ )]2 |
|
|
|
Поскольку вид функции ф (г) |
слабо зависит от |
вида а (г), в |
вы |
ражении (24) функцию о (г) с аппроксимацией (23) можно за
менить на реальное о [Т (г)]. |
После |
интегрирования (21) |
по |
по |
||||
лярному углу получим |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
СО |
'» |
df |
о (Т)/а (Т0) |
|
|
T(r, t) = ^ |
± |
Г dr' |
X |
|
||||
|
|
|
|
2Х (t — t') |
In |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г * + ( г ') * |
|
|
|
|
|
|
|
х е |
4a l t - |
П г |
( _ И 1 ____ |
|
(25) |
|
|
|
|
|
0 \2a(t — t') |
|
|
|
где Т 0 = Т (г=0, |
t). Это нелинейное интегральное уравнение можно |
|||||||
решать |
методом |
итераций, |
беря |
за исходное значение |
Т° = |
|||
= T(r, t, |
р = 0). |
В первом приближении |
|
|
||||
|
’ |
|
Г |
|
оо |
|
|
|
Здесь Ф (z) — интеграл вероятностей [7]; То — температура, рас
считываемая по формуле (22). Приближение можно улучшить, но формулы получаются весьма громоздкими. Отметим только, что квадратичный по р член отрицателен.
9
Проведены численные оценки по формуле (26). Для диска ра диусом 5 мм в жидком натрии при микросекундной длительности
импульса электрического тока температура вблизи края изолято ра превышает объемную в две тысячи раз.
Полученные результаты имеют силу для изоляционных пере
городок толщиной а, значительно меньшей V яa t . Ошибка в опре
делении температуры Т0 составляет примерно aTjV^nat гра
дусов.
Успех в применении аппарата теории функции Грина опреде ляется умением решать интегральные уравнения. Метод функции Грина иногда, особенно в решении простых задач, более громозд кий, чем другие методы. Однако при приближенном решении сложных нелинейных теплофизических задач он весьма эффек тивен.
|
|
|
|
|
|
Л И Т Е Р А Т У Р А |
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Л. |
Шв а р ц . Математические методы |
для |
физических наук. |
М., |
«Мир», |
||||||||||
2. |
И. |
1965. |
|
|
Г. |
Е. Ши л о в . |
Обобщенные |
функции и действия |
||||||||
М. Г е л ь ф а н д , |
||||||||||||||||
-3. |
Г. |
над ними. М., Физматгиз, |
1959. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Б р е м е р м а н . |
Распределения, комплексные переменные и преобразо |
|||||||||||||||
4. |
В. |
вания Фурье. М., «Мир», 1968. |
|
|
|
|
М., |
«Наука», |
||||||||
С. В л а д и м и р о в . |
Уравнения математической физики. |
|||||||||||||||
5. |
Л. |
1967. |
|
Линейные |
дифференциальные |
операторы |
с частными |
|||||||||
Х ё р м а н д е р . |
||||||||||||||||
6. |
Г. |
производными. М., «Мир», 1965. |
|
|
физики. |
М., |
«Высшая |
|||||||||
Н. П о л о ж и й . |
|
Уравнения |
математической |
|||||||||||||
7. |
И. |
школа», 1964. |
|
|
|
И. |
М. |
Р ы ж и к . |
Таблицы |
интегралов, |
сумм, |
|||||
С. Г р а д ш т е й н , |
||||||||||||||||
8. |
|
рядов и произведений. М., «Наука», 1971. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
И. Г. А р а м а н о в и ч , Р. С. Г у б е р , Л. А. Л ю с т е р н и к , И. Л. Р а- |
||||||||||||||||
|
|
у х в а р д е р , |
М. |
|
И. |
С к а н а в и , |
А. |
Р. Я н п о л ь с к и й . |
|
Математи |
||||||
|
|
ческий анализ. |
М., |
Физматгиз, 1961. |
|
|
|
|
|
|
|
А К А Д Е М И Я Н А У К С С СР
У Р А Л Ь С К И Й Н А У Ч Н Ы Й Ц Е Н Т Р
Теплофизика и термодинамика • 1974
УДК 536.423.18:539.1.073.3
Н. Н. ДАНИЛОВ, В. П. СКРИПОВ, Е. Н. СИНИЦЫН
К ВОПРОСУ О МЕХАНИЗМЕ ИНИЦИИРОВАННОГО ЗАРОДЫШЕОБРАЗОВАНИЯ
В ПЕРЕГРЕТОЙ ЖИДКОСТИ
ДВА ПОДХОДА К ОБЪЯСНЕНИЮ МЕХАНИЗМА ИНИЦИИРОВАНИЯ
Фазовому переходу жидкость — пар может предшествовать пре бывание жидкости в метастабильном (перегретом) состоянии. При отсутствии в системе готовых центров парообразования вскипание происходит вследствие флуктуационного возникновения паровых пузырьков. Этот процесс сопровождается переходом через барьер АФ термодинамического потенциала Гиббса, обусловленный силами поверхностного натяжения:
( 1)
где а — коэффициент поверхностного натяжения; гк — радиус кри
тического парового зародыша,
|
|
(2) |
Здесь ps — давление |
насыщенного |
пара; р ' — давление жидкости; |
v' и v" — удельные объемы жидкости и пара. |
||
Характеристикой |
устойчивости |
жидкости в метастабильном |
состоянии может служить частота появления способных к макро
скопическому росту зародышей в единице объема. |
По кинетиче |
|||
ской теории [1—5] эта величина |
|
равна |
|
|
J1 = N1Bex |
р |
АФ |
(3) |
|
k ¥ ’ |
||||
|
|
|
11
где Ыг — число молекул в единице объема жидкости; В — кинети ческий коэффициент; k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная
температура.
Устойчивость перегретой жидкости к зародышеобразованию уменьшается при прохождении через нее заряженных частиц и квантов высокой энергии. В этом случае зародышевые пузырьки пара возникают преимущественно вдоль следа быстрой частицы. Их плотность (число пузырьков на единице длины следа) зависит
от степени |
перегрева, тормозной способности вещества, заряда |
и скорости |
пролетающей частицы [6]. |
Явление инициированного вскипания перегретой жидкости ис пользуется в технике пузырьковых камер [7—9] для регистрации ядерных процессов. Однако в вопросе о механизме инициирования пока много спорного. Экспериментальное исследование процесса зародышеобразования затруднено из-за малости критических пу зырьков и малого времени их образования.
В первых работах по пузырьковым камерам Г'лэзер [7, 8], Мартелли, Бертанза [10 —13], Додд [14], Г. А. Аскарьян [15, 16] предполагали, что инициирование пузырьков пара ионизирующей частицей связано с кулоновским взаимодействием свободных зарядов, которые образуются по следу частицы. Из-за разной подвижности ионов и электронов в жидкости образуются области скопления некомпенсированных ионов вблизи треков б-электронов и частично по следу первичной частицы. Определенная концен трация этих свободных ионов вызывает микроразрыв жидкости.
Предполагается,-что образовавшийся вследствие микроразрыва жидкости зародыш имеет близкую к сферической форму с одно родным распределением ионов одного знака на поверхности. Такой микропузырек может расти, поскольку кулоновские силы способны совершить работу против поверхностных сил.
Рассмотренная модель инициирования получила название ион ной теории. Последняя правильно предсказывает рабочие условия для ряда жидкостей [9, 12, 17]. Делались попытки описать на блюдаемую в опыте плотность пузырьков по следу частицы ион ной моделью [13, 18]. Однако по мере накопления эксперимен тальных данных ионная теория оказалась не в состоянии объяс нить некоторые из них. Рядом авторов были высказаны доводы, говорящие о несостоятельности ионного механизма инициирова ния [9, 18—20).
Г. А. Аскарьян [16] высказал соображение, что небольшое число пузырьков может быть образовано в результате локальных нагревов жидкости, вызванных ядерными соударениями. В на чальный момент развития зародыша существенную роль играет инициированное действие кулоновских сил. С увеличением степени неустойчивости системы энергия зародышеобразования умень шается. Большая эффективность перехода энергии электронного возбуждения в энергию движения ядер многоатомной молекулы
12