Файл: Теплофизика и термодинамика [сборник статей]..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 31.10.2024

Просмотров: 37

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

г для полупрямой с заданным на ней нулевым потенциалом. Постоянная А здесь задается организацией потенциала вдали от конца полупрямой. Все эти задачи решены при условии а (г, ф) =

= const (а — коэффициент электропроводности среды).

Найдем поле температуры, получаемое от разогрева электри­ ческим током проводника с распределением потенциала вида (19).

Мощность тепловыделения в проводящей среде запишется

 

q (г) = (grad ф)2 а = аА2/4г.

(20)

Будем считать изолятор нейтральным в тепловом отношении. Тогда для нахождения температуры воспользуемся формулой (5), где второй член равен нулю, а в качестве функции G использу­ ется фундаментальное решение (7) для п = 2. В полярных коор­

динатах

03 t

 

Т (г, П = Г г'dr'

.)

Г dt' -----—

X

 

 

J

4я —

 

 

о

о

 

2rt

 

(r')2 — 2rr' cos (0 — 0 ') +Г2

X I

d 0'exp

 

 

4a (t — t')

(21)

Этот интеграл можно выразить через функцию Мейера [7]. После ее разложения в ряд по степеням г получим

T(r, t ) ~ V a t

 

г k — -

г2 1*

 

 

j L A

tn * + i)]2

4at

 

 

Vк=О

 

 

 

У nat [l

г

г 2

 

(22)

 

 

 

8at

 

 

 

4^,

 

] / я at

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь Г (z) — гамма-функция Эйлера.

Оценки по этой формуле по­

казывают, что

в

реальных

ситуациях температура

Т (г = 0,

t)

может достигать

сотни

градусов, поэтому

необходимо

учитывать

зависимость удельной проводимости от температуры.

 

 

Ограничимся расчетом температуры вблизи края изолятора.

Можно показать,

что

поле

источников

тепла при

малых

г,

т. е. в области наиболее ' интенсивного тепловыделения, имеет круговую симметрию. Поэтому считаем 0 = а(г). Для анализа

электрической задачи заметим, что распределение потенциала описывается таким же уравнением, как уравнение (12), нужно только заменить Т на ф, а К на а. Для удовлетворения гранич­

8

ным условиям учтем, что это уравнение инвариантно относитель­ но параболического преобразования [8]. В параболических коор­ динатах полуплоскость переходит в плоскость, граница полу­ плоскости сворачивается в полупрямую, при этом сохраняется круговая симметрия. Таким образом, в решении уравнения (13)

радиус г

преобразуется в V r , угол <р в угол <р/2.

 

На основании решения (22) смоделируем температурное поле

линейной функцией

расстояния г:

 

 

 

 

|(1 — r/R2) Т (г = 0),

r < R 2,

 

 

г<Но

r > R 2.

(23)

 

 

 

 

Будем

считать

о = <т+ ехр (—рТ) = а_ехр {—р [Т — Г(г = 0)]}.

В этой аппроксимации решением электрической задачи служит

решение (16), (17),

где

Т заменяется на ф, г на

V r ,

ср на

ф/2.

Для согласования

электрической задачи с тепловой

нужно

по­

ложить —R2 = T/(dT/dr)

(г = 0).

Вместо выражения (20) получим

 

Ц ( г )

А *а +

 

g (r ) /cr-

 

 

(24)

 

 

4Г

[/„

(in V <7-/0+ )]2

 

 

 

Поскольку вид функции ф (г)

слабо зависит от

вида а (г), в

вы­

ражении (24) функцию о (г) с аппроксимацией (23) можно за­

менить на реальное о [Т (г)].

После

интегрирования (21)

по

по­

лярному углу получим

 

 

 

 

 

 

 

 

СО

'»

df

о (Т)/а (Т0)

 

 

T(r, t) = ^

±

Г dr'

X

 

 

 

 

 

2Х (t — t')

In

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г * + ( г ') *

 

 

 

 

 

 

х е

4a l t -

П г

( _ И 1 ____

 

(25)

 

 

 

 

 

0 \2a(t — t')

 

 

где Т 0 = Т (г=0,

t). Это нелинейное интегральное уравнение можно

решать

методом

итераций,

беря

за исходное значение

Т° =

= T(r, t,

р = 0).

В первом приближении

 

 

 

’

 

Г

 

оо

 

 

 

Здесь Ф (z) — интеграл вероятностей [7]; То — температура, рас­

считываемая по формуле (22). Приближение можно улучшить, но формулы получаются весьма громоздкими. Отметим только, что квадратичный по р член отрицателен.

9

Проведены численные оценки по формуле (26). Для диска ра­ диусом 5 мм в жидком натрии при микросекундной длительности

импульса электрического тока температура вблизи края изолято­ ра превышает объемную в две тысячи раз.

Полученные результаты имеют силу для изоляционных пере­

городок толщиной а, значительно меньшей V яa t . Ошибка в опре­

делении температуры Т0 составляет примерно aTjV^nat гра­

дусов.

Успех в применении аппарата теории функции Грина опреде­ ляется умением решать интегральные уравнения. Метод функции Грина иногда, особенно в решении простых задач, более громозд­ кий, чем другие методы. Однако при приближенном решении сложных нелинейных теплофизических задач он весьма эффек­ тивен.

 

 

 

 

 

 

Л И Т Е Р А Т У Р А

 

 

 

 

 

 

1.

Л.

Шв а р ц . Математические методы

для

физических наук.

М.,

«Мир»,

2.

И.

1965.

 

 

Г.

Е. Ши л о в .

Обобщенные

функции и действия

М. Г е л ь ф а н д ,

-3.

Г.

над ними. М., Физматгиз,

1959.

 

 

 

 

 

 

 

 

Б р е м е р м а н .

Распределения, комплексные переменные и преобразо­

4.

В.

вания Фурье. М., «Мир», 1968.

 

 

 

 

М.,

«Наука»,

С. В л а д и м и р о в .

Уравнения математической физики.

5.

Л.

1967.

 

Линейные

дифференциальные

операторы

с частными

Х ё р м а н д е р .

6.

Г.

производными. М., «Мир», 1965.

 

 

физики.

М.,

«Высшая

Н. П о л о ж и й .

 

Уравнения

математической

7.

И.

школа», 1964.

 

 

 

И.

М.

Р ы ж и к .

Таблицы

интегралов,

сумм,

С. Г р а д ш т е й н ,

8.

 

рядов и произведений. М., «Наука», 1971.

 

 

 

 

 

 

И. Г. А р а м а н о в и ч , Р. С. Г у б е р , Л. А. Л ю с т е р н и к , И. Л. Р а-

 

 

у х в а р д е р ,

М.

 

И.

С к а н а в и ,

А.

Р. Я н п о л ь с к и й .

 

Математи­

 

 

ческий анализ.

М.,

Физматгиз, 1961.

 

 

 

 

 

 

 

А К А Д Е М И Я Н А У К С С СР

У Р А Л Ь С К И Й Н А У Ч Н Ы Й Ц Е Н Т Р

Теплофизика и термодинамика • 1974

УДК 536.423.18:539.1.073.3

Н. Н. ДАНИЛОВ, В. П. СКРИПОВ, Е. Н. СИНИЦЫН

К ВОПРОСУ О МЕХАНИЗМЕ ИНИЦИИРОВАННОГО ЗАРОДЫШЕОБРАЗОВАНИЯ

В ПЕРЕГРЕТОЙ ЖИДКОСТИ

ДВА ПОДХОДА К ОБЪЯСНЕНИЮ МЕХАНИЗМА ИНИЦИИРОВАНИЯ

Фазовому переходу жидкость — пар может предшествовать пре­ бывание жидкости в метастабильном (перегретом) состоянии. При отсутствии в системе готовых центров парообразования вскипание происходит вследствие флуктуационного возникновения паровых пузырьков. Этот процесс сопровождается переходом через барьер АФ термодинамического потенциала Гиббса, обусловленный силами поверхностного натяжения:

( 1)

где а — коэффициент поверхностного натяжения; гк — радиус кри­

тического парового зародыша,

 

 

(2)

Здесь ps — давление

насыщенного

пара; р ' — давление жидкости;

v' и v" — удельные объемы жидкости и пара.

Характеристикой

устойчивости

жидкости в метастабильном

состоянии может служить частота появления способных к макро­

скопическому росту зародышей в единице объема.

По кинетиче­

ской теории [1—5] эта величина

 

равна

 

J1 = N1Bex

р

АФ

(3)

k ¥ ’

 

 

 

11

где Ыг — число молекул в единице объема жидкости; В — кинети­ ческий коэффициент; k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная

температура.

Устойчивость перегретой жидкости к зародышеобразованию уменьшается при прохождении через нее заряженных частиц и квантов высокой энергии. В этом случае зародышевые пузырьки пара возникают преимущественно вдоль следа быстрой частицы. Их плотность (число пузырьков на единице длины следа) зависит

от степени

перегрева, тормозной способности вещества, заряда

и скорости

пролетающей частицы [6].

Явление инициированного вскипания перегретой жидкости ис­ пользуется в технике пузырьковых камер [7—9] для регистрации ядерных процессов. Однако в вопросе о механизме инициирования пока много спорного. Экспериментальное исследование процесса зародышеобразования затруднено из-за малости критических пу­ зырьков и малого времени их образования.

В первых работах по пузырьковым камерам Г'лэзер [7, 8], Мартелли, Бертанза [10 —13], Додд [14], Г. А. Аскарьян [15, 16] предполагали, что инициирование пузырьков пара ионизирующей частицей связано с кулоновским взаимодействием свободных зарядов, которые образуются по следу частицы. Из-за разной подвижности ионов и электронов в жидкости образуются области скопления некомпенсированных ионов вблизи треков б-электронов и частично по следу первичной частицы. Определенная концен­ трация этих свободных ионов вызывает микроразрыв жидкости.

Предполагается,-что образовавшийся вследствие микроразрыва жидкости зародыш имеет близкую к сферической форму с одно­ родным распределением ионов одного знака на поверхности. Такой микропузырек может расти, поскольку кулоновские силы способны совершить работу против поверхностных сил.

Рассмотренная модель инициирования получила название ион­ ной теории. Последняя правильно предсказывает рабочие условия для ряда жидкостей [9, 12, 17]. Делались попытки описать на­ блюдаемую в опыте плотность пузырьков по следу частицы ион­ ной моделью [13, 18]. Однако по мере накопления эксперимен­ тальных данных ионная теория оказалась не в состоянии объяс­ нить некоторые из них. Рядом авторов были высказаны доводы, говорящие о несостоятельности ионного механизма инициирова­ ния [9, 18—20).

Г. А. Аскарьян [16] высказал соображение, что небольшое число пузырьков может быть образовано в результате локальных нагревов жидкости, вызванных ядерными соударениями. В на­ чальный момент развития зародыша существенную роль играет инициированное действие кулоновских сил. С увеличением степени неустойчивости системы энергия зародышеобразования умень­ шается. Большая эффективность перехода энергии электронного возбуждения в энергию движения ядер многоатомной молекулы

12

Смотрите также файлы