Файл: 1_Kolebania_I_Volny_Zadachi_Na_Pervuyu_Kontrolnuyu_I_Ekzamen.doc

МОДУЛЬ 1 КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

ЗАДАЧИ И ТЕСТЫ НА ПЕРВУЮ КОНТРОЛЬНУЮ И ЭКЗАМЕН

Механические и электрические колебания

Л-4, №№ 3.2а (4.2а), 3.6 (4.5), 3.7 (4.7), 3.19 (4.18 ), 3.22 (4.21), 3.26 (4.24), 3.116 (4.108) ,

3.128 (4.120), 3.131 (4.123), 3.150 [4.142]

1. Механические колебания.

3.2а [4.2а] .(Mожет быть на экзамене в тестовой части).

Некоторая точка движется вдоль оси х по закону . Найти амплитуду и период колебаний; изобразить график .(Mожет быть на экзамене в тестовой части).

3.6 [4.5] (Mожет быть на экзамене в тестовой части).

Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом и амплитудой .Найти среднюю скорость точки за время, в течении которого она проходит путь :

a) из крайнего положения;

б) из положения равновесия.

3.7 [4.7]

Найти графически амплитуду А колебаний, которые возникают при сложении следующих колебаний:

а) , ;

б) , ,

3.19 [4.18 ]

Неподвижное тело, подвешенное на пружинке, увеличивает ее длину на . Найти период малых вертикальных колебаний тела.

3.22 [4.21]

Вычислить период малых колебаний ареометра (рис.), которому сообщили небольшой толчок в вертикальном направлении. Масса ареометра , радиус его трубки , плотность жидкости . Сопротивление жидкости пренебрежимо мало.

3.26 [4.24] (Может быть на экзамене в тестовой части).

Найти период малых вертикальных колебаний тела массы в системе показанной на

(рис.) Жесткости пружинок и .

Ознакомиться с решением задачи из лекции Гармонический осциллятор Колебания груза на пружине

П римером гармонических колебаний может служить поведение системы, состоящей из груза массы m и лёгкой пружины с жёсткостью k, в поле сил тяжести. После того, как на пружине закрепили груз, она стала длиннее на Δl:

---

В результате сила тяжести будет скомпенсирована, и появится новое положение равновесия. Выведем систему из этого положения:

Направим ось X вниз, и выберем её начало в новом положении равновесия. Тогда:

• Отклонение от положения равновесия:

• Скорость:

– амплитуда скорости.

• Потенциальная энергия:

• Кинетическая энергия:

2. Метод векторных диаграмм см. В лекции!!!

Метод векторных диаграмм. Сложение колебаний

П усть закон движения имеет вид .

Рассмотрим вектор :

• Угол между вектором и осью Ox равен φ.

Если теперь заставить этот вектор равномерно вращаться против часовой стрелки вокруг начала координат с угловой скоростью ω, то его проекция на ось Оx будет совершать гармоническое колебание по исходному закону . Во многих задачах оказывается удобным математические операции над величиной x заменить операциями над соответствующим вектором . Этим методом удобно складывать колебания одинаковой частоты.

Алгоритм сложения колебаний с помощью векторных диаграмм

1. Привести все колебания к виду . Использовать формулы:

• Формула приведения: .

• Для смены знака надо поменять фазу на π: .

2. Для каждого колебания построить векторную диаграмму: .

3. Сложить полученные вектора по правилу сложения векторов: .

4. По результирующему вектору рассчитать амплитуду и фазу суммарного колебания:

Пример: Для двух колебаний можно сразу воспользоваться готовыми формулами:

Ознакомиться с решением задачи из лекции

Установившиеся колебания представляют собой гармонические колебания. Подберем начало отсчета времени таким образом, чтобы начальная фаза была равна нулю, и будем искать решение – функцию вида . Уравнение вынужденных колебаний . Построим векторную диаграмму, соответствующую этому уравнению. В левой части 3 слагаемых:

---

• , поэтому слагаемому соответствует вектор длины , направленный вдоль оси абсцисс;

• поэтому слагаемому соответствует вектор длины , составляющий угол π/2 с положительным направлением оси абсцисс;

• поэтому слагаемому соответствует вектор длины , составляющий угол π с положительным направлением оси абсцисс;

Построим эти вектора и сложим их по правилу сложения векторов. Результирующий вектор и будет равен правой части уравнения вынужденных колебаний. Из рисунка видно, что амплитуда и фаза этого колебания равны:

3. Электрические колебания

3.116 [4.108]

В контуре, состоящем из конденсатора емкости и катушки с индуктивностью , совершаются свободные незатухающие колебания, при которых амплитуда напряжения на конденсаторе равна . Найти связь между током в контуре и напряжением на конденсаторе.

3.128 [4.120]

Колебательный контур состоит из конденсатора емкости и катушки с индуктивностью и активным сопротивлением . Найти отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля конденсатора в момент максимума тока.

3.131 [4.123]

Колебательный контур имеет емкость , индуктивность и активное сопротивление .Через сколько колебаний амплитуда в этом контуре уменьшится в е раз?

3.150 [4.142]

Цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкости C=22мкФ и катушки с активным сопротивлением R=20 Ом и индуктивностью L=0,35 Гн, подключена к сети переменного напряжения с амплитудой Um=180В и частотой ω=314 с^-1

Найти:

а) амплитуду тока в цепи;

б) разность фаз между током и внешним напряжением;

---

Ознакомиться с решениями задач, приведенных ниже и с задачей, решенной на лекции "Вынужденные электрические колебания" методом векторных диаграмм.

Пример 1. Определите величины и в общем решении уравнения свободных гармонических колебаний, если в начальный момент времени заряд и ток определяются величинами и .

Р е ш е н и е. Из выражения для тока следует:

.

Тогда, полагая , получаем уравнения:

,

из которых находим:

.

Пример 2. Покажите, что в отсутствие омического сопротивления в контуре полная энергия колебаний постоянна.

Р е ш е н и е. Для энергии электрического поля, локализованного в конденсаторе, и энергии магнитного поля, локализованного в катушке, имеем:

,

откуда:

.

4. Упругие волны

Л-4, N 3.180 а,б (4.176 а,б), 3.181 (4.170)

3.180( а,б) [4.176а,б]

Уравнение плоской звуковой волны имеет вид , где - в микрометрах, - в секундах, - в метрах. Найти:

а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;

б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны;

3.181 [4.170]

Плоская гармоническая волна с частотой распространяется со скоростью в направлении, составляющем углы с осями . Найти разность фаз колебаний точек среды с координатами и .

5. Электромагнитные волны

3.232 (4.218), 3.240 (4.224)

Свойства волн (см. лекцию)

1. В однородной, изотропной среде волна поперечна для полей и , то есть .

Колебания электромагнитных полей происходят поперек направлению распространения волны.

2. Векторы электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны: , причем образуют правовинтовую тройку векторов (см. рис.).

Рис.Синусоидальная электромагнитная волна, бегущая вдоль оси x со скоростью v

---

3. Кроме того, для напряженностей и в любой момент времени t выполняется условие синфазности:

или

где v – фазовая скорость волны в среде.

Условие синфазности означает, что электрические и магнитные поля при колебаниях одновременно достигают амплитудных значений и одновременно обращаются в нуль.

4. Электромагнитная волна в вакууме распространяется со скоростью света .

5. Электромагнитная волна переносит энергию. Направление переноса энергии указывает вектор Пойнтинга - , а модуль этого вектора равен энергии, которую ежесекундно переносит волна через единичную площадку, перпендикулярную направлению ее распространения.

6. Электромагнитная волна переносит не только энергию, но и импульс (подробно см. лекцию, тема 5).

3.323 [4.218]

Электромагнитная волна с частотой переходит из вакуума в немагнитную среду с диэлектрической проницаемостью . Найти приращение ее длины волны.

3.240 [4.224]

Найти средний вектор Пойтинга у плоской электромагнитной волны , если волна распространяется в вакууме.

См. следующий лист

---