ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.03.2025
Просмотров: 8
Скачиваний: 0
Семинар 15 (СРС ПО ЛЕКЦИИ)
№6.80
Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найти ширину ямы, если разность энергии между уровнями с и составляет .
Решение:
Чтобы вычислить длину ямы, получим сначала выражение для энергии электрона в зависимости от уровня, на котором он находится. Рассмотрим уравнение Шредингера внутри ямы:
.
По условию, внутри ямы , тогда примем и с учетом одномерности запишем:
.
Для решения этого дифференциального уравнения, проведем аналогию с уравнениями вида , для которых решение следует искать в виде , тогда
.
Рассмотрим две граничные точки, в которых волновая функция ввиду ее непрерывности должна быть равна нулю:
: ;
: .
Вспоминаем, что в наших обозначениях , тогда
.
.
№6.81 Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме ширины l с абсолютно непроницаемыми стенками ( ). Найти вероятность пребывания частицы в области .
Решение: Согласно физическому смыслу -функции, вероятность нахождения частицы в элементарном объеме описывается выражением:
.
Наша задача – получить решение уравнение Шредингера для частицы, находящейся в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Запишем уравнение Шредингера:
.
С учетом того, что в яме потенциальная энергия частицы = 0, запишем:
.
Решение последнего дифференциального уравнения нужно искать в виде:
.
Рассмотрим два граничных условия:
1) т.к. при ;
2) т.к. при , имеем:
,
причем , т.к. получится, что частицы нет ни внутри ямы, ни за ее пределами. Значит, волновая функция имеет вид:
.
Найдем константу . Из условий нормировки получим:
Таким образом, собственные функции имеют вид:
.
Теперь чтобы найти вероятность нахождения частицы в заданной области, нужно просто взять определенный интеграл:
.