ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 13.03.2025
Просмотров: 9
Скачиваний: 0
Семинар 3
№ 6.50
Частица движется слева направо в одномерном потенциальном поле, показанном на рисунке. Левее барьера, высота которого , кинетическая энергия частицы . Во сколько раз и как изменится дебройлевская длина волны при переходе через барьер? Решение:
Так как , барьер является низким, и можно найти дебройлевские длины волн и до и после барьера соответственно. Полная же энергия частицы до барьера равна ее кинетической энергии. Тогда получаем:
и , где и , тогда
№6.59
Параллельный поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины . Определить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстояние , ширина центрального дифракционного максимума .
Решение: Условие минимума для дифракции Фраунгофера на щели: , нас интересует . Тогда . Т.к. угол можно считать малым, то и (т.к. ширина главного максимума равна удвоенному расстоянию от центра до первого минимума). С другой стороны:
. Следовательно, .
№6.60
Параллельный пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов , падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми . Определить расстояние между соседними максимума дифракционной картины на экране, расположенном на расстоянии от щелей.
Решение: Так как электроны ускоряются разностью потенциалов, то => Из условия максимума на решетке: , где нас интересует . Из-за малости углов можно считать: и . Вспоминаем результат, полученный при изучении схемы Юнга:
Тогда учитывая, что , получим:
№6.72
Электрон с кинетической энергией локализован в области размером . Оценить с помощью соотношения неопределенностей относительную неопределенность его скорости.
Решение: Из соотношения неопределенностей получаем:
Поскольку и , получаем:
№6.73
Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Ширина ямы . Оценить с помощью соотношения неопределенностей силу давления электрона на стенки ямы при минимально возможной энергии.
Решение: Давление на стенки ямы образуется из-за столкновения электронов со стенками. Тогда для нахождения силы давления мы можем воспользоваться законом сохранения импульса для электрона. Рассмотрим абсолютно упругий удар электрона о стенку (яма одномерная, поэтому записываем сразу в проекции на направление х):
.
При ударе импульс по модулю остается прежним, но меняет направление на противоположное, тогда . Для нахождения , воспользуемся соотношением неопределенностей. Полная энергия электрона в яме описывается выражением:
,
где в яме . Т.к. в условии сказано, что электрон обладает минимально возможной энергией, формальным минимумом выражения является . Тогда из закона сохранения импульса следует:
Из соотношениям неопределенностей имеем:
.
Т еперь оценим время между двумя столкновениями. Если электрон движется со скоростью , то между двумя ближайшими столкновениями об один фиксированный участок стенки пройдет время (см. рисунок):
,
где мы воспользовались нерелятивистской формулой для импульса: . Из механики известно, что , тогда
№6.75
Частица массой движется в одномерном потенциальном поле (гармонический осциллятор). Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию частицы в таком поле.
Решение: Полная энергия электрона в одномерном потенциальном поле описывается выражением:
.
Формальному минимуму этого выражения, очевидно, будут соответствовать следующие значения импульса и координаты:
, .
Тогда из соотношений:
.
Из соотношения неопределенностей, .
Тогда выражение для энергии приобретает следующий вид:
.
Продифференцируем для отыскания минимума функции:
Тогда подставив это значение в выражение для энергии, получим:
.
№6.76
Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимально возможную энергию электрона в атоме водорода и соответствующее эффективное расстояние его от ядра.
Решение: Для энергии электрона, движущегося в потенциальном поле ядра атома, имеем:
,
Из соотношения неопределенностей, для получения значения минимальной энергии (см. предыдущую задачу) , тогда:
.
Продифференцируем для нахождения минимума:
.
Подставив в функцию для энергии, получим:
.
