ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.03.2025
Просмотров: 491
Скачиваний: 0
этого проведем компьютерный эксперимент: построим интегральные кривые при различных начальных условиях и «прочитаем» полученные графики. Учтем, что по смыслу задачи x 0 .
clc
clear all format rational
eq=sprintf('Dx=(1-x)*x') t0=0;
for m=1:15 x0=0.2*m
nu=sprintf('x(%d)=%d',t0,x0); xx0=dsolve(eq,nu)
ezplot(xx0) hold on grid on
axis([0 6 0 3]) xlabel('t') ylabel('x')
title('Интегральные кривые уравнения dx/dt=(1-x)*x') end
|
|
Интегральные кривые уравнения dx/dt=(1-x)*x |
|||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
00 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
Мы видим, что процесс имеет два положения равновесия: |
x = 0 и x = 1 . |
||||||
Положение равновесия x = 0 неустойчиво – каким бы малым не было население в |
|||||||
начальный момент времени, со временем оно растет, уходя все дальше от нулевой |
|||||||
отметки. |
|
|
|
|
|
|
|
Положение |
равновесия |
x = 1 , |
напротив, |
устойчиво |
(население |
с начальной |
|
численностью меньшей 1 растет, со временем приближаясь к этой отметке, а население |
|||||||
с начальной численностью большей 1 убывает, со временем также приближаясь к 1). |
|||||||
Вывод: каким бы не было начальное состояние x 0 с течением времени процесс |
|||||||
выходит к устойчивому состоянию равновесия x = 1 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
Пример 2. Пусть на материальную точку, отклонившуюся от положения равновесия, действует упругая сила, возвращающая ее в это положение, причем с определенной степенью точности можно считать, что величина силы пропорциональна отклонению точки от положения равновесия. Это предположение приводит к
уравнению малых колебаний d 2 x = −k 2 x . Выбором масштаба времени коэффициент k 2 dt2
можно сделать равным 1. Уравнение примет вид |
d 2 x |
= −x . |
Найдем решения для |
dt2 |
|||
каждой пары начальных условий: (1) x(0) = 0 , x (0) = 0 , |
(2) x(0) = 0,5, x (0) = 0 , ... (9) |
||
x(0) = 4 , x (0) = 0 . Построим соответствующие интегральные |
кривые и фазовые |
||
траектории. Проанализируем качественно характер решений уравнения.
Решение.
clc
clear all format rational
k=input('Введите значение k:') eq=sprintf('D2x=-%d*x',k) t0=0;
for x0=0:0.5:4 nu=sprintf('x(%d)=%d',t0,x0); nu1=sprintf('Dx(%d)=%d',t0,0);
xx0=dsolve(eq,nu,nu1)
dxx0dt=diff(xx0)
figure(1)
ezplot(xx0,[0,20]) hold on
grid on xlabel('t') ylabel('x')
zag=sprintf('Интегральные кривые уравнения D2x=-%d*x',k); title(zag)
figure(2)
ezplot(dxx0dt,xx0) hold on
grid on xlabel('x') ylabel('dxdt')
zag1=sprintf('Фазовый портрет D2x=-%d*x',k); title(zag1)
end
7
|
Интегральные кривые уравнения D2x=-1*x |
|
4 |
|
3 |
|
2 |
|
1 |
|
x |
0 |
|
|
|
-1 |
|
-2 |
|
-3 |
|
-4 |
|
0 |
5 |
10 |
15 |
20 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
Фазовый портрет D2x=-1*x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dxdt |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
|
-5 |
|
0 |
|
5 |
|
|
|
x |
|
|
Вывод: система совершает колебательные движения, амплитуда и частота которых |
|||||
не меняется со временем. |
|
|
|
|
|
8
Упражнения
Упражнение 1
Найдите решение дифференциального уравнения |
d 2 x |
− 0, 07 |
dx |
+ 0,5x = 0 , |
dt2 |
dt |
удовлетворяющее начальным условиям: x(0) = 2 , x (0) = 3 . Изобразите интегральную кривую на различных промежутках и траекторию движения в фазовой плоскости. На фазовой траектории отметьте стрелкой направление движения.
Упражнение 2
В примере 1 была рассмотрена свободная популяция, развивающаяся по своим внутренним законам. Пусть наша популяция, к примеру, это рыба в пруду или океане, и мы оказываем на нее воздействие – планомерно отлавливаем ее часть. Предположим, что скорость отлова постоянна. Тогда возникает дифференциальное уравнение отлова x = (1− x)x − с . Величина c характеризует скорость вылова и называется квотой.
1. Решите уравнения отлова аналитически. Убедитесь в том, что формулы, выражающие зависимость x(t) , зависят от размера квоты. Выделите диапазоны значений квоты, качественно отличные по форме зависимости x(t) (это легко сделать, если искать решение «вручную», не используя dsolve).
2. Для каждого выделенного диапазона размера квоты исследуйте с помощью графического компьютерного эксперимента динамику состояния численности особей популяции. (Возьмите какое-нибудь значение квоты из рассматриваемого диапазона и постройте несколько интегральных кривых при различных начальных условиях; затем возьмите другое значение квоты из рассматриваемого диапазона и вновь постройте несколько интегральных кривых, и т.д. Как ведут себя решения с ростом t ? Есть ли положения равновесия? Если да, то что можно сказать относительно их устойчивости/неустойчивости?).
|
Список литературы и информационных ресурсов |
1. |
Сборник задач по математике для втузов [Текст]: Учеб. пособие |
для втузов: В 4-х ч. Ч. 2: [Введение в анализ; Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной; Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; Кратные интегралы; Дифференциальные уравнения] / Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2009.
2. |
В.Г.Потемкин "Введение в Matlab" (v 5.3) |
http://matlab.exponenta.ru |
|
3. |
Мещеряков В.В. Задачи по математике с MATLAB&SIMULINK |
– М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2007 |
|
4. |
Амос Гилат. MATLAB. Теория и практика. 5-е изд./ Пер. с англ. |
Смоленцев Н.К. – М.:ДМК Пресс, 2016. |
|
5. |
http://matlab.exponenta.ru |
9