Файл: КПрМА Практикум 8.pdf

Практикум 8. Численный поиск экстремумов функций

Цель работы – приобрести опыт численного нахождения экстремумов функций нескольких переменных.

Продолжительность работы - 2 часа.

Оборудование – работа выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MATLAB.

Порядок выполнения

1.Знакомство со справочным материалом по математике

2.Знакомство со справочным материалом по пакету MATLAB.

3.Изучение примеров.

4.Самостоятельное выполнение упражнений. При выполнении упражнений в случае сообщения системы об ошибке рекомендуется найти и исправить ошибку самостоятельно; однако, если после многократных попыток сделать

это не удается, то можно и нужно проконсультироваться с преподавателем.

P.S. Отчитываться перед преподавателем о выполнении упражнений не нужно. Однако, следует учесть, что их выполнение – залог успешного написания контрольной работы по модулю, поскольку контрольная работа составлена из аналогов упражнений.

допустимым множеством.

Если нас интересует не наименьшее, а наибольшее значение функции на множестве X , то переформулируем задачу. Вместо того, чтобы искать наибольшее значение функции f на допустимом множестве, будем искать на этом множестве наименьшее значение функции g = − f .

Справочный материал по пакету MATLAB

В MatLab есть несколько встроенных функций, которые ищут как безусловные минимумы функции нескольких переменных, так и минимумы при наличии ограничений на значения аргументов. Эти программные функции не являются универсальными, каждая используется для решения лишь определенного класса задач (для определенного вида функций и ограничений). В качестве примера рассмотрим одну из таких встроенных функций – fmincon.

Функция fmincon вычисляет вектор x = ( x1* , x2* ,..., xn* ) , который является локальным минимумом функции f ( x1, x2 ,..., xn ) при условии, что переменные (x1, x2 ,..., xn ) удовлетворяют линейным неравенствам и уравнениям следующего вида:

1

(1)

a11x1 + a12 x2 +... + a1n xn b1

…

am1x1 + am2 x2 + ... + amn xn bm

(2)

c11x1 + c12 x2 + ... + c1n xn = d1

…

ck1x1 + ck 2 x2 + ... + ckn xn = dk

(3)

s1 x1 t1

…

sn xn tn

Важное о функции fmincon:

-если функция имеет в области несколько точек минимума, fmincon найдет одну из них;

-когда локальный минимум не находится во внутренних точках допустимой

области, fmincon минимизирует f ( x1, x2 ,..., xn ) в точках, лежащих на границе

допустимой области.

Условия применения fmincon:

1) минимизируемая функция f ( x1, x2 ,..., xn ) должна быть непрерывной функцией аргументов;

2)значения функции f ( x1, x2 ,..., xn ) должны быть действительными (не

комплексными!).

Рассмотрим три формата вызова функции fmincon:

x=fmincon (fun,x0,A,b) x=fmincon (fun,x0,A,b,C,d) x=fmincon (fun,x0,A,b,C,d,s,t)

Здесь

fun - минимизируемая функция, представленная как строка (выражение в апострофах), или как имя файла функции, взятое в апострофы, или как дескриптор (указатель) на минимизируемую функцию;

x – точка минимума;

x0 – точка (вектор координат), начиная с которой идет поиск минимума функции;

заданы ограничения (2).

2

s – вектор (s1, s2 ,..., sk ) и t – вектор (t1, t2 ,..., tk ) , посредством которых заданы

ограничения (3).

Если какой-то из перечисленных выше входных параметров не используется, вместо него задается пустой аргумент ([]). Если отсутствуют ограничения сверху или снизу на отдельные компоненты xi в условиях (3), то соответствующие компоненты

векторов s и t задаются как -inf (−) и inf (+ ) .

Чтобы получить не только координаты точки минимума, но и значение функции в найденной точке, нужно использовать более полное обращение к каждому виду функции fmincon:

[x,fm]=fmincon (…).

Примеры применений MATLAB

Пример 1. Зададимся вопросом, имеет ли функция f ( x1, x2 ) = x12 + x22 − x1x2 − x1 − x2

точки экстремума? При положительном ответе найдем координаты точки экстремума и

значение функции в этой точке.

Решение.

Чтобы прояснить ситуацию, построим график и линии уровня функции. С областью построения поэкспериментируем – будем менять ее, ища точку экстремума (в программе представлен конечный вариант).

>>[X,Y]=meshgrid(0:0.05:3,0:0.05:3);

>>f=X1.^2+X2.^2-X1.*X2-X1-X2;

>>surf(X1,X2,f)

[C,h]=contour(X1,X2,f,10);

clabel(C,h)

6

4

2

0

-2 3

0 0

3

По рисункам локализуем точку минимума и зададим область ее локализации через систему неравенств типа (3): например, 0 x1 2 , 0 x2 2 . На рисунке видно, что в

этой области есть только один локальный минимум и этот локальный минимум совпадает с наименьшим значением функции на допустимом множестве. Для нахождения его используем функцию fmincon. В качестве начальной точки x0 возьмем точку с координатами (0,5; 0,5) (эта точка удовлетворяет ограничениям).

s=[0 0]; t=[2 2];

x0=[0.5 0.5]; [x,fm]=fmincon(@(x)x(1).^2+x(2).^2-x(1).*x(2)-x(1)-x(2),x0,[],[],[],[],s,t) x =

1 1

fm =

-1

Пример 2. Найдем наименьшее значение функции f ( x1, x2 ) = x12 + x22 − x1x2 − x1 − x2

в области x1 + x2 0, 75 , x1 0 , x2 0

Решение.

По линиям уровня функции видно, что функция не имеет локальных минимумов внутри допустимой области. Следовательно, функция fmincon найдет минимум на границе.

clear clc

s=[0 0]; t=[inf inf]; A=[1 1]; b=0.75;

x0=[0.25 0.25]; [x,fm]=fmincon(@(x)x(1).^2+x(2).^2-x(1).*x(2)-x(1)-x(2),x0,A,b,[],[],s,t) x =

0.3750 0.3750

fm = -0.6094

4

экстремумов. Для поиска числовых значений экстремумов используйте функцию

fmincon.

Упражнение 2

локализуйте точки экстремумов. Для поиска числовых значений экстремумов используйте функцию fmincon.

Упражнение 3

Внутри четырехугольника с вершинами в точках A1(−5, 2) , A2 (−2,5) , A3 (6, 4) , A4 (14, −6) найдите точку:

а) сумма квадратов расстояний которой от вершин была бы наименьшей (поиск сопроводите графической иллюстрацией, найденную точку отметьте на графике);

б) сумма квадратов расстояний которой от вершин была бы наибольшей (поиск сопроводите графической иллюстрацией, найденную точку отметьте на графике).

Список литературы и информационных ресурсов

1. Сборник задач по математике для втузов [Текст]: Учеб. пособие для втузов: В 4-х ч. Ч. 2: [Введение в анализ; Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной; Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; Кратные интегралы; Дифференциальные уравнения] / Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2009.

5