Файл: КПрМА Практикум 7.pdf

Практикум 7. Экстремумы функции двух переменных

Цель работы – ознакомиться с графическими методами поиска экстремумов функций двух переменных.

Продолжительность работы - 2 часа.

Оборудование – работа выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MATLAB.

Порядок выполнения

1.Знакомство со справочным материалом по математике

2.Знакомство со справочным материалом по пакету MATLAB.

3.Изучение примеров.

4.Самостоятельное выполнение упражнений. При выполнении упражнений в случае сообщения системы об ошибке рекомендуется найти и исправить ошибку самостоятельно; однако, если после многократных попыток сделать

это не удается, то можно и нужно проконсультироваться с преподавателем.

P.S. Отчитываться перед преподавателем о выполнении упражнений не нужно. Однако, следует учесть, что их выполнение – залог успешного написания контрольной работы по модулю, поскольку контрольная работа составлена из аналогов упражнений.

Справочный материал по математике

1. Экстремумы функции. Функция z = f (x, y) имеет максимум (минимум) в точке M 0 ( x0 , y0 ) , если существует такая окрестность точки M0 , для всех точек M которой, отличных от M0 , выполняется неравенство f (M0 ) f (M ) ( f (M0 ) f (M ) ).

Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая функция z = f (x, y)

достигает экстремума в точке M0 , то в этой точке fx (M 0 ) = 0 , f y (M 0 ) = 0 .

Равенства fx = 0 , f y = 0 могут выполняться не только в точках экстремумов, но и в точках, которые не являются точками экстремума. Точки, в которых выполняются условия fx = 0 , f y = 0 называют стационарными.

Отбор точек экстремума среди стационарных точек связан с исследованием знака второго дифференциала функции. Этот способ применим только в том случае, если функция z = f (x, y) дважды дифференцируема в некоторой окрестности стационарной

1

x, y , причем равенство нулю имеет место не только при одновременно нулевыхx, y , то функция S может быть точкой экстремума функции, а может и не быть.

(Второй дифференциал удовлетворяет этим условиям, если AC − B2 = 0 ).

2. Линии уровня функции. Рассмотрим способ описания функции посредством

(спроектируем) полученные кривые на плоскость Oxy . Получим линии уровня функции. Заметим, что линии уровня применяют на географических картах для изображения

рельефа местности.

Линии уровня могут помочь в локализации точек максимума и минимума функции.

Справочный материал по пакету MATLAB

Построение линий уровня функции

Для построения линий уровня служит команда contour. Базовый формат вызова функции:

contour(X,Y,Z)

Здесь X,Y – массивы координат узлов сетки, в которых определены аппликаты Z точек поверхности.

Другой вариант вызова:

contour(X,Y,Z,k)

Аргумент k задает число уровней (высот по оси z ), для которых должны быть построены линии уровня.

Еще один вариант вызова:

contour(X,Y,Z,v)

Аргумент v – вектор, который задает набор уровней (высот по оси z ), для которых должны быть построены линии уровня. Если какие-либо компоненты этого вектора не принадлежат диапазону [zmin , zmax ], то соответствующие линии уровня не существуют и

не строятся.

Чтобы рисунок стал более информативным, можно сделать оцифровку линий – записать около каждой линии уровня соответствующее значение z . Для автоматической оцифровки линий служит функция clabel(C,h). Ее входные параметры – матрица изолиний и вектор указателей на линии уровня. Их нужно предварительно сформировать, добавив к любому из форматов вызова функции contour выходные аргументы (например, [C,h]=contour(X,Y,Z,k)). Оцифровка линий уровня позволит оценить значения функции в точках экстремума.

u=-4:0.05:4; v=-2:0.05:2; [X,Y]=meshgrid(u,v); Z=X.^2+4*Y.^2; [C,h]=contour(X,Y,Z,10); clabel(C,h)

2

z = x2 − ( y − 2)2

z = (x − y +1)2

z = x2 − 2xy2 + y4 − y5

z = x2 y3 (6 − x − y)

z = 2x4 + y4 − x2 − 2 y2

для втузов: В 4-х ч. Ч. 2: [Введение в анализ; Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной; Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; Кратные интегралы; Дифференциальные уравнения] / Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2009.

4