Практикум 7. Экстремумы функции двух переменных

Цель работы – ознакомиться с графическими методами поиска экстремумов функций двух переменных.

Продолжительность работы - 2 часа.

Оборудование – работа выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MATLAB.

Порядок выполнения

1. Знакомство со справочным материалом по математике

2. Знакомство со справочным материалом по пакету MATLAB.

3. Изучение примеров.

4. Самостоятельное выполнение упражнений. При выполнении упражнений в случае сообщения системы об ошибке рекомендуется найти и исправить ошибку самостоятельно; однако, если после многократных попыток сделать это не удается, то можно и нужно проконсультироваться с преподавателем.

P.S. Отчитываться перед преподавателем о выполнении упражнений не нужно. Однако, следует учесть, что их выполнение – залог успешного написания контрольной работы по модулю, поскольку контрольная работа составлена из аналогов упражнений.

Справочный материал по математике

1. Экстремумы функции. Функция имеет максимум (минимум) в точке , если существует такая окрестность точки , для всех точек которой, отличных от , выполняется неравенство ( ).

Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то в этой точке , .

Равенства , могут выполняться не только в точках экстремумов, но и в точках, которые не являются точками экстремума. Точки, в которых выполняются условия , называют стационарными.

Отбор точек экстремума среди стационарных точек связан с исследованием знака второго дифференциала функции. Этот способ применим только в том случае, если функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки и все ее производные непрерывны в этой точке.

Достаточное условие экстремума. Пусть - стационарная точка.

(1) Если при любых одновременно не равных нулю, то - точка минимума. (Второй дифференциал удовлетворяет этому условию, если , . Здесь , , ).

(2) Если при любых одновременно не равных нулю, то - точка максимума. (Второй дифференциал удовлетворяет этому условию, если , ) .

---

(3) Если при одних принимает положительные значения, а при других - отрицательные, то не является точкой экстремума. (Второй дифференциал удовлетворяет этому условию, если ).

(4) Если при любых или при любых , причем равенство нулю имеет место не только при одновременно нулевых , то функция может быть точкой экстремума функции, а может и не быть. (Второй дифференциал удовлетворяет этим условиям, если ).

2. Линии уровня функции. Рассмотрим способ описания функции посредством линий уровня. Построим сечения поверхности горизонтальными плоскостями (здесь - числа). Эти сечения представляют собой некоторые кривые – каждая кривая соответствует определенному числу. Затем нанесем (спроектируем) полученные кривые на плоскость . Получим линии уровня функции.

Заметим, что линии уровня применяют на географических картах для изображения рельефа местности.

Линии уровня могут помочь в локализации точек максимума и минимума функции.

Справочный материал по пакету MATLAB

Построение линий уровня функции

Для построения линий уровня служит команда contour. Базовый формат вызова функции:

contour(X,Y,Z)

Здесь X,Y – массивы координат узлов сетки, в которых определены аппликаты Z точек поверхности.

Другой вариант вызова:

contour(X,Y,Z,k)

Аргумент k задает число уровней (высот по оси ), для которых должны быть построены линии уровня.

Еще один вариант вызова:

contour(X,Y,Z,v)

Аргумент v – вектор, который задает набор уровней (высот по оси ), для которых должны быть построены линии уровня. Если какие-либо компоненты этого вектора не принадлежат диапазону , то соответствующие линии уровня не существуют и не строятся.

Чтобы рисунок стал более информативным, можно сделать оцифровку линий – записать около каждой линии уровня соответствующее значение . Для автоматической оцифровки линий служит функция clabel(C,h). Ее входные параметры – матрица изолиний и вектор указателей на линии уровня. Их нужно предварительно сформировать, добавив к любому из форматов вызова функции contour выходные аргументы (например, [C,h]=contour(X,Y,Z,k)). Оцифровка линий уровня позволит оценить значения функции в точках экстремума.

u=-4:0.05:4;

v=-2:0.05:2;

[X,Y]=meshgrid(u,v);

Z=X.^2+4*Y.^2;

[C,h]=contour(X,Y,Z,10);

clabel(C,h)

Упражнения

---

Упражнение 1

Постройте график и линии уровня функции. Основываясь на графике функции и линиях уровня, локализуйте точки экстремума функции.

а) ( ; );

б) .

Упражнение 2

Если мы хотим выяснить, является ли стационарная точка точкой экстремума, нам нужно посмотреть, какие по знаку значения принимает второй дифференциал функции (п. 1 Справочного материала по математике). С другой стороны, представление об экстремумах функции можно получить, построив ее линии уровня. Зададимся вопросом: «Есть ли взаимосвязь между знаком второго дифференциала функции и видом ее линий уровня вблизи стационарной точки?». Исследуем вопрос экспериментально (на конкретных примерах). Результаты занесем в таблицу, проанализируем, сформулируем подмеченные закономерности.

- стационарная точка	Знак вблизи стационарной точки	Изображение графика функции	Изображение линий уровня функции

---

Список литературы и информационных ресурсов

1. Сборник задач по математике для втузов [Текст]: Учеб. пособие для втузов: В 4-х ч. Ч. 2: [Введение в анализ; Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной; Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; Кратные интегралы; Дифференциальные уравнения] / Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2009.

2. В.Г.Потемкин "Введение в Matlab" (v 5.3) http://matlab.exponenta.ru

3. Мещеряков В.В. Задачи по математике с MATLAB&SIMULINK – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2007

4. Амос Гилат. MATLAB. Теория и практика. 5-е изд./ Пер. с англ. Смоленцев Н.К. – М.:ДМК Пресс, 2016.

5. http://matlab.exponenta.ru

4

---

Смотрите также файлы

• КПрМА Практикум 7.pdf

• КПрМА Практикум 8.doc

• КПрМА Практикум 8.pdf

• КПрМА Практикум 9.doc

• КПрМА Практикум 9.pdf