Файл: КПрМА Практикум 6.pdf

Практикум 6. Геометрические приложения частных производных

Цель работы – приобрести опыт использования частных производных для математического моделирования практических задач.

Продолжительность работы - 2 часа.

Оборудование – работа выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MATLAB.

Порядок выполнения

1.Знакомство со справочным материалом по математике

2.Знакомство со справочным материалом по пакету MATLAB.

3.Изучение примеров.

4.Самостоятельное выполнение упражнений. При выполнении упражнений в случае сообщения системы об ошибке рекомендуется найти и исправить ошибку самостоятельно; однако, если после многократных попыток сделать

это не удается, то можно и нужно проконсультироваться с преподавателем.

P.S. Отчитываться перед преподавателем о выполнении упражнений не нужно. Однако, следует учесть, что их выполнение – залог успешного написания контрольной работы по модулю, поскольку контрольная работа составлена из аналогов упражнений.

Справочный материал по математике

1. Касательная плоскость. Касательной плоскостью к поверхности в ее точке

M0 (точка касания) называется плоскость, содержащая все касательные к кривым,

проведенным через поверхности через эту точку.

Пусть уравнение поверхности имеет вид F(x, y, z) = 0 . Тогда уравнение касательной плоскости в точке M0 ( x0 , y0 , z0 ) есть

Fx ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0 .

2. Нормаль. Нормалью к поверхности в ее точке M0 называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости, проведенной к поверхности в точке M0

Пусть уравнение поверхности имеет вид F(x, y, z) = 0 . Тогда уравнение нормали в

Справочный материал по пакету MATLAB

1. Символьное дифференцирование функции нескольких переменных

Для символьного дифференцирования используется функция diff. Базовый формат вызова функции:

Y = diff(S,t,p)

S – функция, заданная в символьном виде, t – переменная, по которой дифференцируется функция, p – порядок производной.

Часть параметров можно опускать:

1

Y = diff(S)

Y = diff(S,t) Y = diff(S,p)

Если отсутствует параметр t, то дифференцирование по умолчанию происходит по переменной, первой по алфавиту; если отсутствует параметр p, то ищется первая производная.

>>clear

>>syms x y

>>z=x^3+y^2;

>>dzdy=diff(z,y) dzdy =

2*y

>>d2zdy2=diff(z,y,2) d2zdy2 =

>>d2zdy2=diff(dzdy,y) d2zdy2 =

>>d3zdx3=diff(z,x,3) d3zdx3 =

2.Численные расчеты с символьными выражениями.

Напомним, что при помощи команды subs можно подставить вместо какой-либо переменной числовое значение и вычислить соответствующее численное значение выражения.

>>z=x^4*y^2;

>>d2zdxdy=diff(diff(z,x),y) d2zdxdy =

8*x^3*y

>>R=subs(d2zdxdy,x,2)

R = 64*y

Упражнения

Упражнение 1

а) Вычислите производные первого и второго порядка функции u = ( x − 3y + 5z)2 . б) Вычислите их значения в точке M0 (3, 2,1) .

Упражнение 2

а) Вычислите якобиан перехода от декартовой системы координат к цилиндрической (переход осуществляется по формулам: x = r cos , y = r sin , z = z ).

б) Вычислите якобиан перехода от декартовой системы координат к сферической (переход осуществляется по формулам: x = r cos cos , y = r sin cos , z = r sin ).

Упражнение 3

В одной системе координат постройте: а) график функции z = x2 + y2 ;

б) касательную плоскость к нему в точке M0 (1, 2,5) ,

в) нормаль к поверхности в той же точке M0 (1, 2,5) .

2

Упражнение 4

Имеется насыпной холм, возвышающийся над ровной поверхностью земли в форме полусферы радиусом 3м. Строители получили задание положить на него прямоугольную плиту размером 1м 4м так, чтобы плита: (а) упиралась одной из своих коротких сторон в поверхность земли, (б) опиралась на холм на высоте 2 м от поверхности земли, (в) занимала устойчивое положение.

Постройте трехмерное изображение холма и опирающейся на него плиты.

Список литературы и информационных ресурсов

1. Сборник задач по математике для втузов [Текст]: Учеб. пособие для втузов: В 4-х ч. Ч. 2: [Введение в анализ; Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной; Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; Кратные интегралы; Дифференциальные уравнения] / Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2009.

3