Практикум 6. Геометрические приложения частных производных

Цель работы – приобрести опыт использования частных производных для математического моделирования практических задач.

Продолжительность работы - 2 часа.

Оборудование – работа выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MATLAB.

Порядок выполнения

1. Знакомство со справочным материалом по математике

2. Знакомство со справочным материалом по пакету MATLAB.

3. Изучение примеров.

4. Самостоятельное выполнение упражнений. При выполнении упражнений в случае сообщения системы об ошибке рекомендуется найти и исправить ошибку самостоятельно; однако, если после многократных попыток сделать это не удается, то можно и нужно проконсультироваться с преподавателем.

P.S. Отчитываться перед преподавателем о выполнении упражнений не нужно. Однако, следует учесть, что их выполнение – залог успешного написания контрольной работы по модулю, поскольку контрольная работа составлена из аналогов упражнений.

Справочный материал по математике

1. Касательная плоскость. Касательной плоскостью к поверхности в ее точке (точка касания) называется плоскость, содержащая все касательные к кривым, проведенным через поверхности через эту точку.

Пусть уравнение поверхности имеет вид . Тогда уравнение касательной плоскости в точке есть

.

2. Нормаль. Нормалью к поверхности в ее точке называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости, проведенной к поверхности в точке

Пусть уравнение поверхности имеет вид . Тогда уравнение нормали в точке есть

.

Справочный материал по пакету MATLAB

1. Символьное дифференцирование функции нескольких переменных

Для символьного дифференцирования используется функция diff. Базовый формат вызова функции:

Y = diff(S,t,p)

S – функция, заданная в символьном виде, t – переменная, по которой дифференцируется функция, p – порядок производной.

Часть параметров можно опускать:

Y = diff(S)

Y = diff(S,t)

Y = diff(S,p)

Если отсутствует параметр t, то дифференцирование по умолчанию происходит по переменной, первой по алфавиту; если отсутствует параметр p, то ищется первая производная.

---

>> clear

>> syms x y

>> z=x^3+y^2;

>> dzdy=diff(z,y)

dzdy =

2*y

>> d2zdy2=diff(z,y,2)

d2zdy2 =

2

>> d2zdy2=diff(dzdy,y)

d2zdy2 =

2

>> d3zdx3=diff(z,x,3)

d3zdx3 =

6

2. Численные расчеты с символьными выражениями.

Напомним, что при помощи команды subs можно подставить вместо какой-либо переменной числовое значение и вычислить соответствующее численное значение выражения.

>> z=x^4*y^2;

>> d2zdxdy=diff(diff(z,x),y)

d2zdxdy =

8*x^3*y

>> R=subs(d2zdxdy,x,2)

R =

64*y

Упражнения

Упражнение 1

а) Вычислите производные первого и второго порядка функции .

б) Вычислите их значения в точке .

Упражнение 2

а) Вычислите якобиан перехода от декартовой системы координат к цилиндрической (переход осуществляется по формулам: , , ).

б) Вычислите якобиан перехода от декартовой системы координат к сферической (переход осуществляется по формулам: , , ).

Упражнение 3

В одной системе координат постройте:

а) график функции ;

б) касательную плоскость к нему в точке ,

в) нормаль к поверхности в той же точке .

Упражнение 4

Имеется насыпной холм, возвышающийся над ровной поверхностью земли в форме полусферы радиусом 3м. Строители получили задание положить на него прямоугольную плиту размером так, чтобы плита: (а) упиралась одной из своих коротких сторон в поверхность земли, (б) опиралась на холм на высоте 2 м от поверхности земли, (в) занимала устойчивое положение.

Постройте трехмерное изображение холма и опирающейся на него плиты.

Список литературы и информационных ресурсов

1. Сборник задач по математике для втузов [Текст]: Учеб. пособие для втузов: В 4-х ч. Ч. 2: [Введение в анализ; Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной; Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; Кратные интегралы; Дифференциальные уравнения] / Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2009.

2. В.Г.Потемкин "Введение в Matlab" (v 5.3) http://matlab.exponenta.ru

3. Мещеряков В.В. Задачи по математике с MATLAB&SIMULINK – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2007

4. Амос Гилат. MATLAB. Теория и практика. 5-е изд./ Пер. с англ. Смоленцев Н.К. – М.:ДМК Пресс, 2016.

5. http://matlab.exponenta.ru

---

3

---

Смотрите также файлы

• КПрМА Практикум 6.pdf

• КПрМА Практикум 7.doc

• КПрМА Практикум 7.pdf

• КПрМА Практикум 8.doc

• КПрМА Практикум 8.pdf