ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.03.2025
Просмотров: 69
Скачиваний: 0
Практикум 4. Поиск приближенного значения
суммы сходящегося числового ряда
Цель работы – познакомиться с проблемой приближенного вычисления суммы ряда.
Продолжительность работы - 2 часа.
Оборудование – работа выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MATLAB.
Порядок выполнения
-
Знакомство со справочным материалом по математике
-
Знакомство со справочным материалом по пакету MATLAB.
-
Изучение примеров.
-
Самостоятельное выполнение упражнений. При выполнении упражнений в случае сообщения системы об ошибке рекомендуется найти и исправить ошибку самостоятельно; однако, если после многократных попыток сделать это не удается, то можно и нужно проконсультироваться с преподавателем.
P.S. Отчитываться перед преподавателем о выполнении упражнений не нужно. Однако, следует учесть, что их выполнение – залог успешного написания контрольной работы по модулю, поскольку контрольная работа составлена из аналогов упражнений.
Справочный материал по математике
Пусть дан ряд . Назовем ряд , полученный из исходного отбрасыванием первых членов ряда, -м остатком ряда.
Доказано, что если сходится ряд , то сходится и его остаток, причем их суммы связаны соотношением (здесь - сумма ряда, - сумма остатка).
Будем говорить, что сумма ряда найдена с заданной точностью , если вычислена такая частичная сумма ряда, для которой величина остатка не превосходит по абсолютной величине , т.е. выполняется неравенство .
Ключевой вопрос - сколько членов ряда нужно взять для достижения требуемой точности?
Несложно убедиться на примерах, что ответ на него для каждого ряда свой.
Для знакочередующихся рядов, удовлетворяющих условиям Лейбница, остаток ряда легко оценить. Напомним, что ряд , где все положительны, называется знакочередующимся. Для знакочередующихся рядов справедлив признак сходимости Лейбница: если и , то знакочередующийся ряд сходится.
Для рядов, удовлетворяющих условиям признака Лейбница, справедливо утверждение об оценке остатка знакочередующегося ряда: для любого остатка выполняется неравенство , причем знак совпадает со знаком .
Упражнения
Упражнение 1
Известно, что перечисленные ниже ряды сходятся, причем их суммы совпадают.
Начнем с задания-«угадайки»: постройте последовательности частичных сумм нижеприведенных рядов и выскажите предположение о значении их общей суммы:
а) ; б) ; в) .
P.S. Прежде чем приступить к следующему упражнению, проверьте справедливость вашей гипотезы у преподавателя.
Упражнение 2. Проведите сравнительный анализ «скорости сходимости рядов» упражнения 1: найдите частичные суммы , , , , и вычислите абсолютные отклонения каждой из них от значения суммы, вычисленной Matlab (фактически это оценки сумм -х остатков ) . Используйте format long.
Итогом выполнения упражнения должна стать матрица, в первом столбце которой перечислены значения номеров частичных сумм (количество просуммированных членов ряда), во втором – соответствующие отклонения (оценки остатка) для первого ряда, в третьем – соответствующие отклонения для второго ряда, в четвертом – для третьего ряда.
Ранжируйте ряды по «скорости» сходимости последовательности частичных сумм ряда к значению суммы ряда.
Упражнение 3. Исследуйте знакочередующийся ряд , в котором и , .
Исследование ряда проведите по следующей схеме:
(1) Постройте график последовательности и используйте его для проверки условий Лейбница. Если графическое исследование говорит в пользу выполнения условий Лейбница, то переходите к следующему пункту задания.
(2) Найдите частичные суммы , , , , и оцените отклонение каждой из них от суммы ряда (используйте неравенство, которому удовлетворяют суммы остатков ряда при выполнении условий Лейбница). Итогом выполнения упражнения должна стать матрица, в первом столбце которой перечислены значения номеров частичных сумм (количество просуммированных членов ряда), во втором – соответствующие частичные суммы, в третьем - оценки остатков.
P.S. Желательно дополнить графическое исследование п. (1) аналитической проверкой выполнения условий Лейбница.
Список литературы и информационных ресурсов
-
Сборник задач по математике для втузов [Текст]: Учеб. пособие для втузов: В 4-х ч. Ч. 2: [Введение в анализ; Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной; Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; Кратные интегралы; Дифференциальные уравнения] / Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2009.
-
В.Г.Потемкин "Введение в Matlab" (v 5.3) http://matlab.exponenta.ru
-
Мещеряков В.В. Задачи по математике с MATLAB&SIMULINK – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2007
-
Амос Гилат. MATLAB. Теория и практика. 5-е изд./ Пер. с англ. Смоленцев Н.К. – М.:ДМК Пресс, 2016.
-
http://matlab.exponenta.ru
