Файл: КПрМА Практикум 3.pdf

Практикум 3. Графические методы анализа числовых рядов

Цель работы – приобрести опыт анализа числовых рядов графическими методами.

Продолжительность работы - 2 часа.

Оборудование – работа выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MATLAB.

Порядок выполнения

1.Знакомство со справочным материалом по математике

2.Знакомство со справочным материалом по пакету MATLAB.

3.Изучение примеров.

4.Самостоятельное выполнение упражнений. При выполнении упражнений в случае сообщения системы об ошибке рекомендуется найти и исправить ошибку самостоятельно; однако, если после многократных попыток сделать это не удается, то можно и нужно проконсультироваться с преподавателем.

P.S. Отчитываться перед преподавателем о выполнении упражнений не нужно. Однако, следует учесть, что их выполнение – залог успешного написания контрольной работы по модулю, поскольку контрольная работа составлена из аналогов упражнений.

Справочный материал по математике

1. Сумма числового ряда. Пусть дана некоторая бесконечная последовательность чисел a1,a2 ,...,an ,... Составленный из этих чисел символ a1 + a2 +... + an +... называют

Конечный или бесконечный предел последовательности частичных сумм Sn при

Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, если же lim Sn = ,

n→

либо предела не существует, ряд называют расходящимся.

Таким образом, вопрос о сходимости ряда по определению равносилен вопросу о существовании конечного предела последовательности Sn .

2. Необходимый признак сходимости числового ряда

Чтобы установить, сходится данный ряд или расходится, не обязательно рассматривать последовательность его частичных сумм. Доказаны различные теоремы,

1

показывающие, что во многих случаях о сходимости или расходимости ряда можно судить непосредственно по поведению последовательности его членов.

Например, доказан необходимый признак сходимости ряда: если ряд

предел, отличный от нуля, или вообще не имеет предела, ряд an расходится.

n=1

Легко подобрать примеры, показывающие, что данный признак не является достаточным. В таких примерах предел последовательности an равен нулю, и при

этом ряд an расходится.

n=1

Справочный материал по пакету MATLAB

Напомним правила создания и использования файлов функций (подробнее см. справочный материал в практикумах 10 и 11 курса «Компьютерный практикум по основам математического анализа»).

1. Структура файла функции. Файлы функций создаются и редактируются в окне редактора (также, как и скрипт-файлы). Для создания на ленте инструментов нужно набрать New, затем Function. При открытии окно редактора уже содержит несколько введенных строк, которые в общих чертах обрисовывают структуру файла функции. Первая строка – это строка определения функции, которая сопровождается комментариями для описания функции. Затем идет программа (тело функции). Последняя строка содержит одно слово end (им утверждается конец файла).

Строка определения функции имеет вид:

function [output arguments] = function_name (input arguments)

Входные аргументы могут быть скалярами, векторами или массивами большей размерности. Математические выражения кода должны учитывать размерность входных аргументов (когда нужно, использовать поэлементные операции). Фактические значения входных аргументов присваиваются при вызове функции. Кроме числовых массивов различной размерности можно в качестве части входных аргументов передать в файл функции указатели на другую функцию или имя переменной, которой присвоен указатель на функцию.

2

Выходные аргументы передают результаты из файла функции. У файла функции может быть ноль, один, два, или несколько выходных аргументов. Для корректной работы файла функции выходным аргументам в теле функции должны быть присвоены значения.

Любая переменная, которой присваивается значение в коде файла функции, будет выведена на экран, если не будет введена точка запятой в конце команды. То же касается команды plot.

Строки комментария начинаются со знака процента % и являются необязательными. Первая строка комментария обычно содержит имя и короткое определение функции. Далее идут текстовые строки справки. В них принято включать поясняющую информацию о функции и любые инструкции, связанные с аргументами входа и выхода. Строки комментария выводятся на экран, когда пользователь набирает в командном окне help function_name.

Тело функции содержит компьютерную программу (код). Код может использовать все возможности программирования в MATLAB, включая вычисления, любые встроенные или определяемые пользователем функции, циклы, комментарии т.д.

Все переменные в файле функции локальны. Это означает, что входные и выходные аргументы, а также любые переменные, которым присвоены значения в пределах файла функции, определены и опознаются только в файле функции. Когда выполняется файл функции, MATLAB использует область памяти, отдельную от рабочего пространства. Это означает, что у файла функции могут быть переменные с теми же именами, что и у переменных в командном окне или в скрипт-файлах.

2.Сохранение файла функции. Файл функции должен быть сохранен до его использования. Это делается также, как и со скрипт-файлом, выбором Save as … из меню File, затем выбором местоположения и вводом имени файла. Файлы функции сохраняются с расширением .m. Чтобы использовать файл функции, папка, где он сохранен, должна быть текущей папкой.

3.Использование функций от функций. Есть много ситуаций, когда файл функция (функция A) работает с использованием другой созданной пользователем функции (функции В). Функция A в таком случае называется функцией от функции.

При создании функции А в число ее входных аргументов включают «псевдоним» функции В и этот «псевдоним» используют далее в коде функции А. При вызове функции А на место «псевдонима» ставят указатель на функцию В или имя переменной, которой присвоен указатель на функцию.

Указатель на функцию – это тип данных, с помощью которого функция А получает всю необходимую информацию для вычисления значений функции В. При использовании указателя функция В передается (импортируется) в функцию А.

Напомним, что для встроенных и определяемых пользователем функций указатель создается вводом символа @ перед именем функции. Пусть, например, fun – имя

встроенной или созданной пользователем функции (функции В). Тогда указатель на функцию fun создается командой @fun. Командой ff=@fun указатель на функцию присваивается переменной ff.

3

При вызове файла функции А импортируемая функция В занимает место «псевдонимной» функции. Поэтому импортируемая функция должна быть такой, чтобы не противоречить коду функции А.

Примеры применений MATLAB

Пример 1. Создадим файл функции, строящей график последовательности первых

n0 членов числового ряда: an nn0=1 . Используем эту функцию для построения графика

Решение.

function [ ] = grafan( an,n0)

%функция строит график членов последовательности ряда

%@an - формула общего члена ряда

%n0 - число членов ряда

k=1:n0; plot(k,an(k),'.') xlabel('n') ylabel('an')

title('График последовательности членов ряда') grid on

end

Вызовем в командном окне созданную функцию:

>> grafan(@(n)sin(n)./(n.^2),50)

Построенный график свидетельствует в пользу утверждения о стремлении к нулю последовательности членов ряда. Не более того. Можем мы на основе этого наблюдения сформулировать гипотезу о сходимости данного ряда? Нет, не можем,

4