ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.03.2025
Просмотров: 150
Скачиваний: 0
Практикум 2. Геометрические и физические приложения определенного интеграла
Цель работы – приобрести опыт решения практических задач с использованием понятия определенного интеграла.
Продолжительность работы - 2 часа.
Оборудование – работа выполняется в компьютерном классе с использованием пакета MATLAB.
Порядок выполнения
1.Знакомство со справочным материалом по математике
2.Знакомство со справочным материалом по пакету MATLAB.
3.Изучение примеров.
4.Самостоятельное выполнение упражнений. При выполнении упражнений в случае сообщения системы об ошибке рекомендуется найти и исправить
ошибку самостоятельно; однако, если после многократных попыток сделать это не удается, то можно и нужно проконсультироваться с преподавателем.
P.S. Отчитываться перед преподавателем о выполнении упражнений не нужно. Однако, следует учесть, что их выполнение – залог успешного написания контрольной работы по модулю, поскольку контрольная работа составлена из аналогов упражнений.
Справочный материал по математике
1. Вычисление площади фигуры. |
|
||
Площадь фигуры, ограниченной |
графиками функций y = f1 ( x) , y = f2 (x) , |
||
f1(x) f2 (x) , и двумя прямыми x = a , x = b , определяется по формуле |
|||
|
b |
|
|
S = |
|
( f2 |
(x) − f1(x))dx . |
|
|||
a
Если плоская фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями
x = x(t) , |
y = y(t) , |
t [t1, t2 ] , прямыми x = a ( a = x(t1 ) ), |
x = b ( b = x(t2 ) ) и осью Ox , |
причем |
функция |
y(t) неотрицательна на отрезке |
[t1, t2 ] , то площадь фигуры |
вычисляется по формуле
t2
S = y(t)x '(t) dt.
t1
Последняя формула применима также для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой (изменение параметра t от t1 до t2 должно
соответствовать обходу контура по часовой стрелке).
Если фигура на плоскости ограничена графиком непрерывной функции r = r( ) и двумя лучами = , = , где и r - полярные координаты, то площадь фигуры вычисляется пол формуле
S = 1 r2 ( )d . 2
1
2. Вычисление длины дуги. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Если дуга кривой задана уравнением |
y = f (x) , |
|
|
|
x [a,b], где |
f (x) - непрерывно |
||||||||||||||||||||||||
дифференцируемая на отрезке [a,b] функция, то длина дуги вычисляется по формуле |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
L = 1 + ( f '( x))2 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если |
дуга |
кривой |
задана параметрическими |
|
|
уравнениями |
x = x(t) , |
y = y(t) , |
||||||||||||||||||||||
t [t1, t2 ] , |
причем y(t) |
и x(t) - |
|
непрерывно дифференцируемые |
функции и их |
|||||||||||||||||||||||||
производные y '(t) , x '(t) |
не обращаются одновременно в 0 на отрезке [t1, t2 ] , то длина |
|||||||||||||||||||||||||||||
дуги вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = (x '(t))2 + ( y '(t))2 dt. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
дуга |
задана уравнением |
r = r( ) , [ , ] , причем |
r( ) - непрерывно |
||||||||||||||||||||||||||
дифференцируемая на отрезке [ , ] |
функция, то длина дуги вычисляется по формуле |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = |
(r( ))2 + (r '( ))2 dt. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычисление объема тела вращения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Объем тела, |
образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, |
|||||||||||||||||||||||||||||
ограниченной графиком функции y = f (x) |
и двумя прямыми x = a , x = b , вычисляется |
|||||||||||||||||||||||||||||
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = f 2 ( x) dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объем тела, |
образованного вращением вокруг оси Oy криволинейной трапеции, |
|||||||||||||||||||||||||||||
ограниченной графиком функции y = f (x) и двумя прямыми x = a , |
x = b |
( a, b 0 ), |
||||||||||||||||||||||||||||
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V = 2 x |
|
f ( x) |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Вычисление центров масс плоских кривых. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пусть дуга кривой задана уравнением |
y = f (x) |
на отрезке [a,b] |
и имеет на этом |
|||||||||||||||||||||||||||
отрезке плотность = (x) (здесь |
|
f (x) - |
|
непрерывно дифференцируемая, |
а ( x) |
- |
||||||||||||||||||||||||
непрерывная функция на отрезке [a,b] ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Масса этой дуги вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = (x) 1 + ( f (x))2 dx . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Статические моменты этой дуги M x и M y относительно координатных осей Ox |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||
O y вычисляются по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
M |
x |
= |
|
(x) f (x) 1 + ( f (x))2 dx , |
|
|
M |
y |
= |
|
(x)x 1 + ( f |
(x))2 dx . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
||
2
Координаты центра масс x и y относительно вычисляются по формулам x = Mmy , y = Mmx .
Справочный материал по пакету MATLAB
1. Графики в полярных координатах. Для изображения графиков функций, заданных в полярных координатах, используется команда polar. Эта команда использует для того, чтобы вывести на экран значение переменной, не выводя на экран ее имя, и для того, чтобы вывести на экран текст. Команда имеет следующий формат:
polar (phi, radius, ‘line specifiers’)
Полярный |
Полярный |
Дополнительный |
угол |
радиус |
параметр – список спецификаторов, |
|
|
определяющих тип и цвет линий и |
|
|
маркеров |
Параметры phi и radius - массивы со многими элементами. Спецификаторы линии те же, что и в команде plot.
Команда polar изображает точки с полярными координатами (phi, radius) и рисует полярную сетку.
Важно: для значений phi, при которых radius отрицательный, точка откладывается луче, противоположном полярному, на расстоянии |radius|.
2. Команда ввода input. Когда выполняется скрипт-файл, всем переменным, которые используются в вычислениях в его пределах, должны быть присвоены значения. Присвоение значения переменной может быть сделано несколькими способами. Пока мы использовали только два из них: переменная определялась нами непосредственно в самом скрипт-файле или переменная определялась в командном окне до вызова скрипт-файла.
Рассмотрим третий способ, при котором конкретное значение переменной вводится в командном окне в ходе выполнения скрипт-файла. В этом случае при выполнении скрипт-файла у пользователя запрашивается значение переменной, после чего он присваивает переменной конкретное значение в командном окне.
Запрос осуществляется с помощью команды input. Команда записывается в скрипт-файле и имеет следующий формат:
имя_переменной = input (‘текст с сообщением, которое появится в командном окне’)
В тексте сообщения в произвольной форме содержится просьба определить значение переменной. Пользователь в командном окне вводит значение и нажимает клавишу ввода Enter.
3. Команда вывода disp. Эта команда использует для того, чтобы вывести на экран значение переменной, не выводя на экран ее имя, и для того, чтобы вывести на экран текст. Команда имеет следующие форматы:
disp (имя переменной) disp (‘текст’)
3
Примеры применений MATLAB
Пример 1. Написать скрипт-файл, вычисляющий длину дуги кривой, заданной уравнением y = x5/2 на отрезке a x b . Вычислить с его использованием длину дуги кривой на отрезке [3;5] .
Решение. Напишем скрипт-файл, вычисляющий длину дуги данной кривой на произвольном отрезке [a;b].
clear
a=input('Введите значение a_'); b=input('Введите значение b_'); ff=@(x)sqrt(1+(25/4)*x.^3); L=quad(ff,a,b);
disp('Длина дуги кривой на отрезке [a,b] равна') L
Работаем со скрипт-файлом в командном окне:
>> Ex_1_MA2
Введите значение a_3 Введите значение b_5
Длина дуги кривой на отрезке [a,b] равна
L = 40.3653
Пример 2. Построить улитку Паскаля – кривую, заданную в полярной системе координат уравнением r = 2a cos + b при значениях параметров a = b = 1 .
Решение.
phi=linspace(-pi,pi,1000); r=2*cos(phi)+1; polar(phi,r)
|
90 |
3 |
|
|
|
120 |
|
60 |
|
|
2 |
150 |
|
30 |
|
|
1 |
180 |
|
0 |
210 |
|
330 |
240 |
|
300 |
|
270 |
|
Важно: обратите внимание, что внутренняя дуга соответствует тем значениям угла, при которых r , вычисленный по формуле r = 2cos +1 имеет отрицательные значения. При таких значениях программа строит точку на противоположном луче на расстоянии, равном по модулю значению r .
4
Упражнения
Упражнение 1
Имеется пластина, которую можно представить как фигуру плоскости Oxy , ограниченную графиками функций y = x sin x и y = x2 −1 . Найдите площадь пластины.
Упражнение 2
Глиняный сосуд, представляющий собой тело вращения, в поперечном сечении
имеет форму |
криволинейной |
трапеции, ограниченной |
графиками |
функций |
||||
y = x2 sin |
x |
− 2 , |
y = x2,2 sin |
x |
+ 0,5 , |
y = 0 , y = 25 . Изобразите |
поперечное |
сечение |
|
|
|||||||
6 |
|
6 |
|
|
|
|
||
сосуда. Найдите объем глиняной части сосуда.
Упражнение 3
Имеется кусок однородной проволоки единичной плотности, согнутый в форме «подковы». «Подкова» получена путем разрезания эллипса с полуосями 5 см и 7 см вдоль меньшей оси. Нужно уложить «подкову» на квадратный стол размером 1м 1м так, чтобы ось симметрии «подковы» совпадала с диагональю стола, вершина «смотрела» в центр, «подкова» со стола не падала (допустимо, чтобы часть проволоки при этом оказалась вне стола). На какое максимальное расстояние вершина «подковы» может при соблюдении этих условий оказаться удаленной от центра стола?
Упражнение 4
Проволоку согнули в форме лемнискаты Бернулли – замкнутой кривой, которая в полярной системе координат задается уравнением r2 = 8cos 2 . Постройте кривую. Найдите площадь фигуры, ограниченной этой кривой и прямыми = −a , = a . Найдите длину части лемнискаты Бернулли, заключенный между прямыми = −a ,
= a .
Решение выполните в виде скрипт-файла. Программа должна запрашивать значение параметра a , строить кривую и выводить на экран площадь фигуры и длину кривой с комментариями (используйте команды input и disp). Построение и
расчеты выполните для следующих значений параметра a : a = 12 , a = 8 , a = 6 .
Список литературы и информационных ресурсов
1. Сборник задач по математике для втузов [Текст]: Учеб. пособие для втузов: В 4-х ч. Ч. 2: [Введение в анализ; Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной; Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; Кратные интегралы; Дифференциальные уравнения] / Под ред. А.В. Ефимова, А.С. Поспелова. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2009.
2. В.Г.Потемкин "Введение в Matlab" (v 5.3) http://matlab.exponenta.ru
3. Мещеряков В.В. Задачи по математике с MATLAB&SIMULINK – М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 2007
4. Амос Гилат. MATLAB. Теория и практика. 5-е изд./ Пер. с англ. Смоленцев Н.К. – М.:ДМК Пресс, 2016.
5. http://matlab.exponenta.ru
5