3.2. Виды движения жидкости

Всякое движение жидкости характеризуется следующими параметрами: скоростями, ускорениями, давлениями на различных глубинах, плотностями, глубинами и формой потока. Они изменяются с изменением координат и времени. Плотность жидкости в подавляющем большинстве случаев можно считать постоянной.

В зависимости от изменения основных параметров (скорости и давления) различают следующие виды движения жидкости: установившееся и неустановившееся.

Установившим или стационарным движением называется такое движение жидкости, при котором основные параметры скорость и давление в любой точке не изменяются по времени.

Тогда: u=f₁(x,y,z);

P=f₂(x,y,z). (3.1)

Примерами установившегося движения являются:

1) движение жидкости в трубопроводе с включенным в систему центробежным насосом при постоянном числе оборотов рабочего колеса;

2) случай истечения жидкости из резервуара через отверстие сделанное в резервуаре, при условии, что уровень жидкости в нем остается постоянным.

Неустановившимся или нестационарным движением называется такое движение, при котором один из параметров в точках рассматриваемого пространства изменяется во времени:

u=f₁(x,y,z,t);

P=f₂(x,y,z,t). (3.2)

Примером может служить движение жидкости в трубопроводе с включенным в систему поршневым насосом или случай истечения жидкости из резервуара через отверстие, если уровень жидкости в нем меняется.

Будем в дальнейшем рассматривать главным образом установившееся движение, и лишь некоторые частные случаи неустановившегося движения.

Установившееся движение может быть равномерным и неравномерным. Равномерным движением называется движение, в котором скорость в соответствующих точках сечения по длине будет оставаться постоянной. Например, движение жидкости в трубе постоянного диаметра или в канале одинаковой глубины наполнения.

Неравномерным движением называется движение, в котором скорость в соответствующих точках сечения меняется по длине потока. Например, движение жидкости в расширяющихся или сужающихся трубах.

Кроме указанных видов движения жидкости различают движение напорное и безнапорное. Напорное движение происходит в закрытых системах, когда поток со всех сторон окружен твердыми стенками и движение осуществляется за счет разности давлений по длине потока. Жидкость при этом заполняет полностью всю систему. Например, при движении жидкости в трубопроводе, куда включен и насос. Безнапорное движение происходит в открытых системах, т.е. поток не со всех сторон окружен твердыми стенками (имеется свободная поверхность), а осуществляется оно за счет сил тяжести. Примеров является движение воды в реках, каналах, и в трубах при неполном их заполнении.

3.3 Понятие о струйчатом движении жидкости

Д ля упрощения понятия и решения многих практических задач гидравлики поток жидкости представляют состоящим из отдельных струек. Выберем в пространстве, заполненном движущейся жидкостью, произвольную точку 1 (рис. 7), скорость которой равна u₁. На векторе скорости u₁ возьмем точку 2 на расстоянии dt₁ и построим вектор ее скорости u₂. Далее на векторе u₂ на расстоянии dt₂ – точку 3 и построим вектор ее скорости u₃. Продолжая построение, получим ломанную линию 1,2,3, 4, 5 и т.д., а уменьшая бесконечно малые расстояния dt₁, dt₂, dt₃,… до нуля, в пределе получим кривую линию, которая называется линией тока.

Таким образом, линия тока есть совокупность частиц жидкости, векторы скорости которых, касательны к этой линии в данный момент времени.

---

В гидродинамике существует два метода исследования движения жидкости: метод Эйлера и метод Лагранжа. По методу Эйлера изучается поведение частиц жидкости, приходящих в фиксированную точку пространства, заполненного движущейся жидкостью. В этой точке определяются скорость, ускорение, давление. По методу Лагранжа изучается движение отдельных частиц за промежуток времени при перемещении их в общей движущейся массе. В изучении настоящего курса за основу принимается метод Эйлера.

---

Точка 1 выбрана произвольно, следовательно, можно представить пространство занятое движущейся жидкостью, заполненным рядом линий токов.

Не следует смешивать с линией тока понятие о траектории.

Траекторией называется путь, который описывает частица при своем движении. Линия тока дает мгновенную картину скоростей различных точек жидкости, лежащих на ней в данный момент времени. При установившемся движении жидкости линия тока и траектория совпадают. Вид линии токов может быть различным, что зависит от характера течения жидкости.

Линии тока не пересекаются между собой. Докажем это. Допустим, что две линии тока пересекаются в какой-либо точке. На основании определения линий тока скорость в точке пересечения получается неоднозначной и должна принимать два различных направления, исключающих друг друга, чего не может быть.

Если в движущейся жидкости выделить элементарную площадку d (рис. 8) и через все точки ее, находящиеся внутри ее и на контуре, провести линии тока для данного момента времени, получим пучок линий тока, который называется элементарной струйкой. Боковая скорость элементарной струйки называется трубкой тока.

Элементарная струйка при установившемся движении обладает следующими свойствами:

1. Форма элементарной струйки не меняется во времени, поскольку не меняется форма линий тока.

2. Поверхность элементарной струйки, т.е. трубка тока непроницаема, поскольку она состоит из линий тока, а частицы жидкости, движущиеся в одной линии, не могут принадлежать другим.

3. Скорость во всех точках данного поперечного сечения элементарной струйки является постоянной, ввиду малости ее поперечного сечения.

Прибегая к струйчатой модели потока, реальный поток можно представить как совокупность элементарных струек.

---

3.4. Гидравлические элементы потока

К гидравлическим элементам потока относятся/4/:

1. Живое сечение.

2. Скорости.

3. Расход.

4. Смоченный периметр.

5. Гидравлический радиус.

Живым сечением потока называется поверхность, которая нормальна в каждой своей точке к соответствующей линии тока. В гидравлике обычно за живое сечение принимают часть плоскости, ограниченную руслом, нормальную к направлению средней скорости потока. Площадь живого сечения обозначается через ω, для элементарной струйки – dω.

Скорости в различных точках живого сечения потока неодинаковы. Скорость в какой-либо точке потока называется местной или локальной скоростью. Если она определена в некоторый момент времени, то она называется мгновенной, а если представляет собой среднее значение из нескольких мгновенных скоростей, то она называется осредненной (по времени) местной скоростью U.

Для потока вводится понятие так называемой средней скорости V.

Средняя скорость в данном живом сечении потока есть такая одинаковая во всех его точках фиктивная скорость, с которой должны были бы двигаться все частицы, чтобы количество жидкости, протекающее через живое сечение, было равно количеству жидкости, протекающему через это же сечение при действительных скоростях.

Указанных обозначений скоростей: местной U и средней V будем придерживаться при дальнейшем изложении курса.

Расходом потока называют количество жидкости, протекающее через данное живое сечение в одну секунду. Это количество жидкости можно измерить в единицах объема, веса или массы, в связи с чем различают расходы объемный Q, весовой Q_в и массовый Q_m.

Для элементарной струйки объемный расход dQ будет равен объему цилиндра высотой U и площадью основания dω:

dQ=Udω (м³/c) , (3.3)

где U – скорость в живом сечении струйки;

dω – площадь сечения струйки.

Весовой расход:

dQ_в=γdQ(кг/с) (н/с) . (3.4)

Массовый расход:

dQ_m=ρdQ (кг·с/м) (кг/с) . (3.5)

В практических расчетах наиболее часто употребляется объемный расход Q.

Расход для целого потока равен сумме элементарных расходов по всему живому сечению:

Q^o= . (3.6)

В выражении (3.6) скорости U_i меняются в плоскости живого сечения: у границ потока она меньше и больше вдали от них. Поэтому вместо различных скоростей по сечению вводят среднюю скорость V и формула примет вид:

Q=Vω . (3.7)

На практике обычно расход определяется экспериментально, а из выражения находится средняя скорость потока в данном сечении:

. (3.8)

Смоченным периметром называется длина линии, с ограничивающими ее твердыми стенками. Свободная поверхность в смоченный периметр не входит. Обозначается он буквой  (м).

Примером смоченного периметра может служить длина окружности полностью заполненного трубопровода.

Гидравлический радиус представляет собой отношение площади живого сечения потока к смоченному периметру:

. (3.9)

---

3.5. Уравнение постоянства расхода (уравнение неразрывности)

Прежде всего уравнение постоянства расхода (уравнение неразрывности) можно получить для элементарной струйки на основании свойств струйки и жидкости. Движение рассматривается установившееся. Выделим в потоке жидкости элементарную струйку с произвольным сечением 1-1, 2-2, 3-3 (рис. 9).

П лощади сечений струйки и скорости в них соответственно обозначим dω₁ и U₁; dω₂ и U₂; dω₃ и U₃. За время dt через сечение струйки dω, в отсек 1-2 втечет следующее количество жидкости:

U₁dω₁dt . (3.11)

За тоже время из отсека 1-2 вытечет через сечение dω₂ количество жидкости:

U₂dω₂dt . (3.12)

Поскольку жидкость несжимаема, а форма элементарной струйки не изменяется по времени и стенки ее непроницаемы (жидкость не может втекать и вытекать через боковые поверхности), то можно записать, что количество жидкости, втекшее в отсек 1-2 и вытекшее из него, равно:

U₁dω₁dt= U₂dω₂dt , (3.13)

или в единицу времени это будет:

U₁dω₁=U₂dω₂ . (3.14)

Имея в виду, что Udω=dQ и, что сечения по длине струйки взяты произвольно, можно написать:

U₁dω₁=U₂dω₂= . . . . . . .= U_ndω_n=dQ=const . (3.15)

Выражение (3.15) является уравнением постоянства расхода или уравнением неразрывности для элементарной струйки. Его можно сформулировать следующим образом: через все сечения элементарной струйки протекает одно и то же количество жидкости. Другими словами, расход по длине струйки есть величина постоянная.

Аналогичное уравнение можно составить и для потока конечных размеров, ограниченного непроницаемыми стенками, интегрируя уравнение для струйки по всей площади живого сечения потока:

. (3.16)

Соотношение (3.16) можно проинтегрировать, введя средние скорости движения жидкости, тогда получим:

V₁ω₁=V₂ω₂ . (3.17)

Сечения 1-1 и 2-2 выбраны произвольно, следовательно, можно уравнение (3.17) написать для всех сечений потока:

V₁ω₁=V₂ω₂= . . . = V_nω_n=Q=const . (3.18)

Выражение (3.18) является уравнением постоянства расхода или неразрывности для всего потока жидкости. Оно показывает, что при движении жидкости могут меняться сечения ω и средние скорости V, а расход вдоль потока остается постоянным. Уравнение постоянства расхода является математическим выражением условий сплошности течения при установившемся движении.

Из уравнения (3.17) можно написать соотношение между средними скоростями и живыми сечениями потока:

. (3.19)

Итак, между V и ω существует обратно пропорциональная зависимость.

3.6. Уравнение Бернулли

---

Для трубопроводов круглого сечения (полностью заполненных) имеем:

ω=πr² ; =2πr ;

R= ; , (3.10)

где d – внутренний диаметр трубопровода.

---

Для идеально движущейся жидкости гидродинамическое давление по всем направлениям одинаково (P_x=P_y=P_z=P) и уравнение будет иметь вид/6/:

(3.20)

– дифференциальные уравнения Эйлера движения идеальной жидкости. Они устанавливают связь между действительными силами, гидродинамическим давлением, скоростными плотностями.

Смысл каждого уравнения состоит в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорений от сил давления. Уравнения Эйлера справедливы для любого вида движения жидкости.

Существуют дифференциальные уравнения движения реальной жидкости, но они дают очень часто результаты, отличные от действительных соотношений между параметрами движения и вообще интегрируются лишь в немногих частных случаях. Поэтому основой для практических расчетов обычно служат уравнения Эйлера при условиях введения в них экспериментально проверенных и теоретически оправданных поправок на вязкость жидкости. В полученной системе четыре неизвестных и для ее решения обычно добавляется еще уравнение неразрывности.

Преобразуем уравнения Эйлера (3.20) и произведем их интегрирование для некоторых частных случаев. Уравнения Эйлера умножим соответственно на dx, dy и dz и сложим их:

Dx dy (3.21) dz

Имеется в виду, что:

; ; , (3.22)

получим:

.

(3.23)

Учитывая, что давление P – есть функция координат, выражение в скобках является полным дифференциалом давления dP, а:

;

; (3.24)

---

;

,

уравнение (3.23) согласно выражениям (3.24) запишется в следующем виде:

. (3.25)

Произведем интегрирование полученного уравнения для некоторых случаев движения.

Рассмотрим установившееся движение идеальной жидкости, например, струйки, если струйка расположена горизонтально и ось ОХ совпадает с осью струйки, ось OZ направлена вертикально вверх и, кроме того, на струйку из массовых сил действует только сила тяжести, что возможно при плавно изменяющемся движении жидкости, когда вектор скоростей имеют очень малый угол расхождения. Тогда силы инерции можно не учитывать. В этом случае проекции единичной массовой силы будут равны:

Х=0; Y=0; Z= - g ,

тогда уравнение (3.25) примет вид:

- , (3.26)

или, учитывая, что γ=ρg, можно записать:

. (3.27)

Проинтегрируем полученное уравнение (3.27):

. (3.28)

Уравнение (3.28) называется уравнением Бернулли, которое связывает скорость U, давление P и геометрическую высоту точек Z. Первоначально оно было получено Коши путем интегрирования дифференциальных уравнений Эйлера. Бернулли получил свое уравнение в 1788 году исходя из известного закона механики об изменении кинетической энергии (закон живых сил).

Механический смысл уравнения Бернулли вытекает из самого вывода и его можно пояснить так: работа сил тяжести и сил давления расходуется на изменение кинетической энергии движущегося участка струйки:

(Z₁-Z₂) – работа сил тяжести на единицу веса жидкости;

– работа сил давления на единицу веса жидкости;

– изменение кинетической энергии на единицу веса жидкости.

Уравнение Бернулли с геометрической точки зрения можно сформулировать следующим образом: при установившемся движении идеальной жидкости сумма высот положения, давления и скоростной есть величина постоянная вдоль данной элементарной струйки.

Эта постоянная величина называется полным или гидродинамическим напором Н_D:

. (3.29)

Энергетический смысл уравнения Бернулли выражается в законе сохранения энергии элементарной струйки.

Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости записывается следующим образом:

---

Смотрите также файлы

• Проявления мультимодальности в дизайне.zip

• Kuznecov_V.G._Problemy_i_perspektivy_neftegazovoy__litologii.pdf

• Тепловой расчёт двигателя внутреннего сгорания ВАЗ 2103.rtf

• Управления рисками.rtf

• Политическая концептология как компаративистика в пространстве плюралистического дискурса.zip